Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Il Problema dellordinamento Ing. Simona Colucci

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Indice Il problema dellordinamento Ordinamento per selezione(selection sort): il metodo di selezione diretta Ordinamento per scambio: –Il metodo dellaffioramento(bubble sort) –Il metodo dellordinamento non decrescente(quick sort) Ordinamento per fusione(merge-sort)

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Il problema dellordinamento Il problema è quello di ordinare gli elementi di un insieme secondo una prefissata relazione dordine, che dipende dalla natura dei dati da ordinare I metodi di ordinamento si applicano ad –insiemi di dati elementari (singoli numeri o lettere) –dati rappresentati in forma complessa: in generale si fa riferimento ad un insieme di record, dei quali si seleziona un campo che viene usato come campo chiave per lordinamento; il risultato dellordinamento sarà una ridisposizione dei record secondo lordinamento introdotto nel campo considerato.

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Metodi di ordinamento Classificazione: Inserzione: Si considerano gli elementi uno alla volta e ciascun nuovo elemento viene collocato nella posizione che gli compete allinterno dellinsieme di elementi considerati in precedenza. Selezione: Si scandisce linsieme in modo da individuare lelemento più piccolo, che viene separato dal resto dellinsieme. Dellinsieme rimasto viene ancora trovato il più piccolo elemento e lo si colloca di seguito a quello trovato in precedenza. Questo procedimento si itera fino a quando non si sono considerati tutti gli elementi. Scambio: Si scandisce tutto linsieme, se due elementi vengono trovati fuori posto si scambiano tra loro. Questo procedimento viene ripetuto fino a quando non si hanno più cambiamenti. Fusione: Si sfrutta unoperazione più semplice dellordinamento, chiamata fusione, che consiste nel formare un insieme ordinato a partire da due insiemi già ordinati

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Prestazioni degli algoritmi Misurate tramite due fattori: –Numero di confronti necessari per determinare gli elementi fuori posto –Numero di spostamenti da effettuare per riportare gli elementi al loro posto Algoritmi con valore basso per i due fattori sopra esposti sono più efficienti: eseguono lordinamento in meno passaggi, cioè impiegando meno tempo e spazio

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Ipotesi di lavoro Nel seguito: come insieme di dati da ordinare considereremo un vettore di numeri interi V di dimensione N; V[i] indicherà li-esimo elemento del vettore. La relazione dordine che si prenderà in considerazione è lusuale ordinamento numerico (basato sui concetti di minore e maggiore) Supporremo di realizzare un ordinamento crescente. Con listruzione V[i] V[k] abbrevieremo il seguente blocco di istruzioni di scambio: –lavoro = V[i]; –V[i] = V[k]; –V[k]= lavoro;

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Ordinamento per selezione Selection Sort : Il metodo di selezione diretta: Il metodo fa uso di due indici di posizione : –i: è lindice dellelemento del vettore che delimita linizio dellinsieme dei valori presi in considerazione ad ogni singolo passo –j: è un cursore che ad ogni passo percorre linsieme dei valori da scandire –k: è un indice che allinterno di ogni passo tiene traccia del minimo progressivo dellinsieme da scandire

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Ordinamento per selezione Algoritmo di selezione diretta: Passo 0: –Allinizio lindice i viene posizionato sul primo elemento del vettore V; j invece comincia a scandire dal secondo elemento Passo 1: –Il primo elemento viene confrontato con i rimanenti (scanditi da j), scambiando di posto il primo elemento e quello di posizione j se questultimo ha valore inferiore Passo 2: –Al secondo passo lindice i viene portato alla seconda posizione, perché il nuovo insieme dei valori da scandire non comprende il primo, che è sicuramente il minimo Passi successivi: –Lindice j percorre linsieme dei valori da scandire, a partire dallelemento successivo a i; il processo riprende in maniera analoga al passo precedente e viene iterato finché lindice i non giunge allultima posizione.

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Esempio le colonne rappresentano i passi dellalgoritmo gli elementi evidenziati in azzurro rappresentano il sottoinsieme del vettore da scandire per lordinamento ad ogni passo il cerchio rosso rappresenta lelemento minimo di ognuno dei sottoinsiemi

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Prestazioni dellalgoritmo Il metodo di selezione diretta presenta un numero di confronti proporzionale ad N 2 : –al primo passaggio si effettuano N-1 confronti, al secondo N-2 e così via, fino ad arrivare allultimo confronto; si ha pertanto: (N-1) + (N-2) + (N-3) + ….. +1 = N(N-1)/2 Per quanto riguarda il numero di spostamenti essi sono al più N-1. La prestazione del metodo per quanto riguarda il numero di confronti non è influenzata dalla configurazione iniziale dei dati(se sono ordinati o meno)

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Selezione diretta: flow-chart inizio i =0 j = i+1 V[k]<= V[j] V[i] V[k] j++ j<N i<N-1 i++ k = j k = i falso vero falso vero fine falso Le istruzioni di scambio si trovano nel ciclo scandito dalla i, per cui vengono eseguite N-1 volte AL PIU (solo se K!=i) I confronti vengono effettuati N-1 volte per ognuno degli N cicli scanditi dalla i, perché si trovano in unistruzione di controllo allinterno dei due cicli

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Ordinamento per scambio Il procedimento tipico di qualsiasi algoritmo di scambio è il seguente: si considerano i primi due elementi dellinsieme; se il primo elemento della coppia è maggiore del secondo i due elementi vengono scambiati di posto tra di loro; si considera ora una nuova coppia formata dal secondo e dal terzo elemento dellinsieme, si confrontano e si scambiano le posizioni se necessario; questo procedimento si ripete, considerando coppie di elementi consecutivi, fino a quando non si è esaurito tutto linsieme

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Ordinamento per scambio Il metodo dellaffioramento (Bubble Sort) Gli elementi più pesanti tendono ad andare verso il basso e quelli più leggeri verso lalto: –ad ogni passo (step) dellalgoritmo lelemento in assoluto più pesante sarà collocato nella posizione finale, che al passo successivo non verrà più scandita Il numero massimo di passi è N-1, ma dato che ad ogni passo più elementi potrebbero essere a posto, i passi potrebbero anche di meno

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Esempio le colonne rappresentano i passi dellalgoritmo gli elementi evidenziati in azzurro rappresentano il sottoinsieme del vettore da scandire per lordinamento ad ogni passo il cerchio rosso rappresenta lelemento massimo di ognuno dei sottoinsiemi

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Bubble Sort: Flow-chart La variabile più importante usata nel procedimento è: –scambi: viene inizializzata a 0 ad ogni passo e serve per controllare se ci sono stati scambi ad un certo passo: se non ce ne sono il resto di vettore è ordinato j = j + 1 j < N - step V[j] V[j+1] scambi = 1 inizi o fine step = 1 j = 0 step = step + 1 step < N && scambi = 1 vero falso vero falso vero V[j]<=V[j+1] scambi = 0

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Prestazioni Numero di confronti: –lanalisi del caso peggiore porta a concludere che il metodo è di ordine N 2 ; il caso peggiore si ha quando linsieme è ordinato in modo decrescente e da vita ad un numero complessivo di confronti pari a (N-1) + (N-2) + (N-3) + ….. +1 = N(N-1)/2 –Si può dimostrare che questa valutazione è vera anche nella media dei casi –Nel caso in cui in qualche passo vada a posto più di un elemento il numero di confronti complessivi da operare sarà inferiore Numero di spostamenti: –Si segue un ragionamento analogo (nel caso peggiore sono N(N-1)/2). La prestazione del metodo è pertanto influenzata dalla configurazione iniziale dei dati

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort Considerato un elemento a caso, che chiamiamo perno o separatore, si effettua una partizione dellinsieme collocando nella sua giusta posizione il perno e allocando alla sua sinistra tutti gli elementi più piccoli ed alla sua destra tutti gli elementi più grandi del perno stesso Sui due sottoinsiemi disordinati così individuati si applica ricorsivamente il concetto di partizione

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort: strategia Concetto base: Una sola scansione del vettore è sufficiente per collocare definitivamente un elemento (per esempio il primo) nella sua destinazione finale e allo stesso tempo per lasciare tutti gli elementi con un valore inferiore a quello da una parte, anche se disordinati, e tutti quelli con un valore maggiore, dall'altra In questo modo, attraverso delle chiamate ricorsive, è possibile elaborare i due segmenti del vettore rimasti da riordinare.

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort: algoritmo approssimato L'algoritmo può essere descritto grossolanamente come: –localizzazione della collocazione finale del primo valore, separando in questo modo i valori(procedura di partizione); –ordinamento del segmento precedente all'elemento collocato definitivamente; –ordinamento del segmento successivo all'elemento collocato definitivamente. Variabili impiegate: –LISTA : il vettore da ordinare in modo crescente. –A: l'indice inferiore del segmento di vettore da ordinare. –Z: l'indice superiore del segmento di vettore da ordinare. –CF : sta per «collocazione finale» ed è l'indice che cerca e trova la posizione giusta di LISTA[A] nel vettore. –I: è l'indice che insieme a CF serve a ripartire il vettore.

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Procedura di partizione:PART Sia LISTA il vettore da ordinare Il primo elemento da collocare corrisponde inizialmente a LISTA[A], e il segmento di vettore su cui intervenire corrisponde a LISTA[A:Z] (cioè a tutti gli elementi che vanno dall'indice A all'indice Z) Alla fine della prima scansione, l'indice CF rappresenta la posizione in cui occorre spostare il primo elemento, cioè LISTA[A]. In pratica, LISTA[A] e LISTA[CF] vengono scambiati. Alla fine della prima scansione, gli elementi contenuti in LISTA[A:(CF-1)] devono contenere valori inferiori o uguali a LISTA[CF], mentre quelli contenuti in LISTA[(CF+1):Z] devono contenere valori superiori.

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort: QSORT Indichiamo con QSORT la procedura che esegue il compito complessivo di ordinare il vettore. Il suo lavoro consisterebbe nel chiamare PART per riordinare gli elementi che vanno dal primo all'ultimo del vettore LISTA restituendo l'indice della collocazione finale, e quindi di richiamare se stessa in modo da riordinare la prima parte e poi la seconda. Se l'indice Z non è maggiore di A, allora c'è un elemento (o nessuno) all'interno di LISTA[A:Z] e LISTA[A:Z] è già nel suo stato finale. Se Z è maggiore di A, allora PART ripartisce correttamente LISTA[A:Z]. L'ordinamento separato dei due segmenti completa l'ordinamento di LISTA[A:Z]

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A PART: fasi della scansione La scansione del vettore da parte di PART avviene portando in avanti l'indice I e portando indietro l'indice CF. Quando l'indice I localizza un elemento che contiene un valore maggiore di LISTA[A], e l'indice CF localizza un elemento che contiene un valore inferiore o uguale a LISTA[A], gli elementi cui questi indici fanno riferimento vengono scambiati, quindi il processo di avvicinamento tra I e CF continua

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quando la scansione è giunta al termine, quello che resta da fare è scambiare l'elemento LISTA[A] con LISTA[CF] PART: fasi della scansione

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A PART: la scansione in pratica L'indice I, iniziando dal valore A+1, viene spostato verso destra fino a che viene trovato un elemento maggiore di LISTA[A] quindi è l'indice CF a essere spostato verso sinistra, iniziando dalla stessa posizione di Z, fino a che viene incontrato un elemento minore o uguale a LISTA[A]. Questi elementi vengono scambiati e lo spostamento di I e CF riprende Si prosegue fino a che I e CF si incontrano, e in quel momento LISTA[A:Z] è stata ripartita, e CF rappresenta la collocazione finale per l'elemento LISTA[A]

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A PART: flow-chart

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort: algoritmo dettagliato Lalgoritmo di quicksort può essere schematicamente definito come: –se A= Z stop –esegui lalgoritmo di partizione su LISTA delimitato da A e Z determinando la posizione CF dellelemento separatore –Se A < CF esegui quicksort su LISTA delimitato da A, CF-1 –Se CF < Z esegui quicksort su LISTA delimitato da CF+1, Z

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort: esempio di applicazione LISTA ( ), di 8 elementi delimitato da A = 1 e Z = siccome A=Z è falso si va in sequenza; 2. si esegue partizione su LISTA delimitato da A=1 e Z=8 trovando la posizione CF = 4 per il separatore poiché A < CF è vero si esegue quicksort su LISTA delimitato da A=1 e Z= siccome A=Z è falso si va in sequenza; 3.2 si esegue partizione su LISTA delimitato da A=1 e Z=3 trovando la posizione CF = 3 per il separatore poiché A < CF è vero si esegue quicksort su LISTA delimitato da A=1 e Z= siccome A=Z è falso si va in sequenza; si esegue partizione su LISTA delimitato da A=1 e Z=2 trovando la posizione CF=2 per il separatore poiché A < CF è vero si esegue quicksort su LISTA delimitato da A=1 e Z= siccome A=Z è vero si rientra Poiché CF< Z è falso, si rientra 3.4 Poiché CF< Z è falso, si rientra

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort: esempio di applicazione 4. poiché CF < Z è vero si esegue quicksort su LISTA delimitato da A=5 e Z= siccome A=Z è falso si va in sequenza; 4.2 si esegue partizione su LISTA delimitato da A=5 e Z=8 trovando la posizione CF = 5 per il separatore poiché A < CF è falso si va in sequenza 4.4 poiché CF < Z è vero si esegue quicksort su LISTA delimitato da A=6 e Z= siccome A=Z è falso si va in sequenza; si esegue partizione su LISTA delimitato da A=6 e Z=8 trovando la posizione CF=8 per il separatore poiché A < CF è vero si esegue quicksort su LISTA delimitato da A=6 e Z= siccome A=Z è falso si va in sequenza si esegue partizione su LISTA delimitato da A=6 e Z=7 trovando la posizione CF=7 per il separatore poiché A < CF è vero si esegue quicksort su LISTA delimitato da A=6 e Z= siccome A=Z è vero si rientra poiché CF< Z è falso, si rientra Poiché CF< Z è falso, si rientra

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Quicksort: prestazioni Lalgoritmo di quicksort viene utilizzato quando la disposizione degli elementi è il più possibile casuale; in questo caso il numero medio di confronti risulta in ordine di grandezza inferiore al numero di confronti dei metodi visti in precedenza Data la complessità dellanalisi del quicksort, ci riferiremo solo al caso migliore: il caso in cui la disposizione di dati è tale che ad ogni passo il perno viene collocato alla metà esatta dellinsieme che si considera (es ). –Supponiamo che la dimensione dellinsieme sia: N = 2 h -1 –Il numero dei confronti per ogni passaggio risulta proporzionale ad N, perché N sono gli elementi globalmente interessati, mentre il numero di passaggi è h-1. Quindi il numero di confronti è proporzionale a N*(h-1). Tale ordine risulta valido anche nella media dei casi. Il caso peggiore si ha quando il vettore è ordinato, caso in cui il numero di passaggi di partizione è N e il numero di confronti risulta proporzionale ad N 2 La prestazione del metodo per il confronto è influenzata dalla configurazione iniziale dei dati; il numero di spostamenti è certamente inferiore al numero di confronti

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Ordinamento per fusione Sfrutta un problema più semplice dellordinamento: quello della fusione: – si parte da due insiemi ordinati, che vengono fusi per generare un unico insieme ordinato –Si acquisisce un elemento dal primo insieme e uno dal secondo, vengono confrontati tra loro e si copia nel vettore di destinazione lelemento più piccolo; si acquisisce un nuovo elemento dallinsieme dove è stata tolto lelemento e lo si riconfronta con quello rimasto –Il procedimento ha termine quando sono esaminati tutti gli elementi

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Fusione: algoritmo approssimato Lalgoritmo assume che i due insiemi di partenza, di dimensione N ed M, siano contenuti in un vettore V di dimensione N+M. –Il risultato viene posto in un vettore Z, di dimensione N+M. –Lalgoritmo fa uso di tre variabili: i è un cursore che delimita in V il primo insieme ordinato di partenza 1 i N j è un cursore che delimita in V il secondo insieme ordinato di partenza N+1 j N+M k è un cursore che scorre su tutto il vettore Z 1 k N+M

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Fusione: flow-chart

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Mergesort binario: algoritmo approssimato Ha come base lalgoritmo di fusione Suddivide gli elementi di V in coppie costituite da elementi consecutivi (primo-secondo, terzo-quarto,..) e ordina tra di loro gli elementi di una stessa coppia; si ottengono così delle coppie ordinate; a questo punto si ordinano tra di loro gli elementi della prima e della seconda coppia, della terza e della quarta, …. ottenendo alla fine delle quadruple ordinate; si ripete fino ad ottenere un unico insieme ordinato. Lalgoritmo suppone di partire da un insieme disordinato, di dividerlo in due sezioni e di fondere le due sezioni avendovi prima applicato ricorsivamente lalgoritmo Variabili: –Supponiamo che i due insiemi da ordinare siano allocati nel vettore V in due aree contigue delimitate da u,i la prima e i+1,t la seconda –La variabile i è in sostanza usata per dividere in due larea di memoria delimitata da u e t –Il risultato della fusione viene sempre collocato nel vettore Z –Alla fine della fusione supponiamo che in V si ricopi linsieme ordinato.

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Mergesort binario: algoritmo dettagliato –se u = t allora stop –i = (u+t)/2 –esegui merge sort su V delimitato da u ed i –esegui merge sort su V delimitato da i+1 ed t –esegui fusione su V delimitato da u, i e da i+1, t

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Mergesort binario: esempio di applicazione V ( ) N=8 u=1 e t =8 1.siccome u=t è falso si va in sequenza; 2.i 4 ; 3. esegui sort-merge su V delimitato da u=1 e t = 4; 3.1 siccome u=t è falso si va in sequenza; 3.2 i 2 ; 3.3 esegui sort-merge su V delimitato da u=1 e t = 2; siccome u=t è falso si va in sequenza; i 1 ; esegui sort-merge su V delimitato da u=1 e t = 1; siccome u=t è vero si rientra; esegui sort-merge su V delimitato da u=2 e t = 2; siccome u = t è vero si rientra; esegui fusione su V delimitato da u=1 i=1; i+1=2 t=2 3.4 esegui sort-merge su V delimitato da u=3 e t = 4; siccome u=t è falso si va in sequenza; i 3 ; esegui sort-merge su V delimitato da u=3 e t = 3; siccome u=t è vero si rientra; esegui sort-merge su V delimitato da u=4 e t = 4; siccome u = t è vero si rientra; esegui fusione su V delimitato da u=1 i=2; i+1=3 t=4 3.5 esegui fusione su V delimitato da u=1 i=2; i+1=3 t=4

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Mergesort binario: esempio di applicazione 4. esegui sort-merge su V delimitato da u=5 e t = 8; 4.1 siccome u=t è falso si va in sequenza; 4.2 i 6 ; 4.3 esegui sort-merge su V delimitato da u=5 e t = 6; siccome u=t è falso si va in sequenza; i 5 ; esegui sort-merge su V delimitato da u=5 e t = 5; siccome u=t è vero si rientra; esegui sort-merge su V delimitato da u=6 e t = 6; siccome u = t è vero si rientra; esegui fusione su V delimitato da u=5 i=5; i+1=6 t=6 4.4 esegui sort-merge su V delimitato da u=7 e t = 8; siccome u=t è falso si va in sequenza; i 7 ; esegui sort-merge su V delimitato da u=7 e t = 7; siccome u=t è vero si rientra; esegui sort-merge su V delimitato da u=8 e t = 8; siccome u = t è vero si rientra; esegui fusione su V delimitato da u=7 i=7; i+1=8 t=8 4.5 esegui fusione su V delimitato da u=5 i=6; i+1=7 t=8 5. esegui fusione su V delimitato da u=1 i=4; i+1=5 t=8

Sistemi Informativi DEE - Politecnico di Bari Fondamenti di Informatica I CDL in Ingegneria Elettronica - A.A Mergesort binario: prestazioni Lalgoritmo di merge-sort è particolarmente vantaggioso perché il numero di confronti è lo stesso in tutti i casi, anche quello peggiore. Il metodo opera partizioni dellinsieme di partenza che sono ad ogni passo della stessa dimensione. Supponiamo che la dimensione dellinsieme sia: N= 2 h Il numero dei confronti per ogni passaggio risulta N, perché N sono gli elementi globalmente interessati, mentre il numero di passaggi è h = log 2 N. Quindi il numero di confronti è proporzionale a N*(h) = N * log 2 N. Al primo passaggio abbiamo N/2 coppie di dimensione N/N/2 =2 su cui applicare lalgoritmo di fusione (per il quale nel caso peggiore si hanno un numero di confronti pari alla grandezza della coppia). Il numero di confronti al primo passo è pertanto (N/2) * 2= N. Al secondo passaggio abbiamo N/4 vettori di dimensione N/N/4 =4 su cui applicare lalgoritmo di fusione (per il quale nel caso peggiore si hanno un numero di confronti pari alla grandezza della coppia). Il numero di confronti al secondo passo è pertanto (N/4) * 4 = N. Procedendo è facile comprendere che il numero dei confronti risulta N ad ogni passaggio.