Potenziamento di matematica Scoperta di un nuovo mondo

Probabilità È la branca della matematica che studia gli avvenimenti che sono legati al caso. Nel calcolo delle probabilità con la parola evento si intende ogni fatto che in seguito ad una prova può accadere oppure no.

Insieme universo U dei risultati cioè tutti i risultati Se U=H allora si ha un evento certo. Se H=Ø allora si ha un evento impossibile. Gli eventi possibili, che non sono certi vengono detti aleatori o casuali. Con H si identifica l’insieme casi favorevoli cioè i casi che rispondono alla richiesta. Tipologie di eventi

Analisi degli eventi La probabilità del verificarsi di un evento = al rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili. La frequenza assoluta = numeri di successi dell’evento. La frequenza relativa = al rapporto tra il numero di successi e il numero di prove effettuate. Operazioni con gli eventi: H1UH2={2;3;4;6} H1= {2;4;6} H2={3;6} H1∩H2= {6}

Faccia Frequenza assoluta Frequenza relativa % Frequenza in azione

Statistica È l’insieme delle metodologie, per raccogliere, analizzare e comunicare i dati per studiare dei fenomeni.

Le fasi dell’indagine statistica Individuazione del fenomeno sul quale si deve indagare. ( es. la moda) Determinazione dei singoli casi rispetto ai quali il fenomeno si manifesta.( es. vista sotto vari aspetti, analisi campione, quantitativa, qualitativa.) Determinazione delle unità statistiche sulle quali viene eseguita l’indagine.(età dai 13-18;18- 25; )

Svolgimento operativo Determinare le modalità di svolgimento dell’indagine. Raccolta dei dati. Spoglio dei dati. Rappresentazione ed elaborazione dei dati. Interpretazione dei dati.

Modalità svolgimento indagine Il questionarioL’intervista Il questionario viene fatto da un intervistatore, il quale porge le domane e segna le risposte sul modulo. Sono una via di mezzo tra quelli aperti e quelli rigidamente strutturati. Aperti Semistrutturati Rigidamente strutturati Le risposte le danno gli intervistati con parole proprie. Gli intervistati rispondono con una crocetta su una delle risposte previste.

Raccolta dei dati Spoglio dei dati Che consiste nell’esaminare tutte le schede, scartarle, contarle e riassumere i risultati attraverso tabelle.

Interpretazione dei dati Analisi quantitativa: si possono ottenere informazioni riguardanti la composizione del campione in esame. Analisi qualitativa: si forniscono informazioni sui rapporti di “forza” tra le varie componenti del campione in esame. Altri rapporti Statistici: altri rapporti che trovano applicazione in svariati campi di indagine (rapporti di frequenza relativa,assoluta,…).

I valori medi La media aritmetica cioè quel numero che, sostituito a ciascuno degli elementi dell’insieme di partenza, ne conserva inalterata la somma. M=x 1 +x 2 +…+x n /n Le medie lasche cioè sono calcolate considerando solo particolari modalità quantitative del carattere e si dividono: Moda Mediana È il dato presente in una maggiore frequenza. È il valore che occupa il posto centrale, in una successione di dati.

Faccia Frequenza assoluta Frequenza relativa % Frequenza in azione

Indici di Variabilità Varianza,si indica con il simbolo σ², si definisce come la media aritmetica dei quadrati degli scarti alla media. σ²=( x 1 -M)² + ( x 2 -M)² +…+( x n -M)²/n Scarto Quadratico Medio, si indica con il simbolo σ, si definisce come la radice quadrata della varianza. σ= √ ( x 1 -M)² + ( x 2 -M)² +…+( x n -M)²/n

Rappresentazione dei dati La rappresentazione grafica dei dati raccolti può essere effettuata utilizzando principalmente: Diagrammi cartesiani:si usano generalmente per fenomeni a carattere continuo. Istogrammi:servono per rappresentare delle serie o delle seriazioni.

Diagrammi a settori: vengono utilizzati principalmente per eseguire confronti tra gruppi e i dati vengono visualizzati come percentuali dell'intero. Ideogrammi: con questo tipo di rappresentazione grafica si da un’idea del fenomeno mediante figure rappresentative della natura del fenomeno stesso. Cartogramma: è una rappresentazione grafica che esprime l’intensità di un fenomeno relativo a zone territoriali mediante colorazioni diverse.

La probabilità e la statistica vengono utilizzate in un altro ambito della matematica la ricerca operativa.

Ricerca operativa Essa è un metodo scientifico che serve per raccogliere informazioni sulla ricerca di problemi legati al campo economico, finanziario, aziendale,…, ed analizzarli e cioè il metodo per risolvere i problemi di scelta. Problemi di scelta Vengono utilizzati nel campo economico con lo scopo di individuare il migliore impiego delle varie risorse a disposizione.

Esempi di problemi di scelta Problemi di gestione: riguardano la gestione aziendale. (es. ottimizzare i costi in una fabbrica) Problemi di produzione: riguardano la scelta dei prodotti da fabbricare per ottenere il massimo profitto.(es. prodotti più funzionali rispetto ad altri, che si presentano in modo più attraente) Problemi di traffico e trasporti: riguardano ad esempio la programmazione dei viaggi e dei voli di compagnie di navigazione e aeree. Problemi economico-finanziari: riguardano la scelta degli investimenti finanziari e industriali.

Fasi per la risoluzione di un problema di scelta Individuazione del problema: bisogna individuare chiaramente i confini, il contenuto, le variabili, la funzione da rendere massima o minima, i vincoli. Si può dire che il problema deve essere scoperto. Campo di scelta: consiste nel mettere insieme tutte le alternative fra le quali si deve scegliere la migliore. Definizione Funzione e Vincoli: è una funzione matematica con una o più incognite che indica la scelta da effettuare fra le possibili alternative, in genere è una quantità che misura un ricavo, oppure un costo, un utile, una produzione o qualsiasi altro ente che in qualche modo possa favorire l’organizzazione del lavoro. I vincoli sono costituiti da un certo numero di relazione che impongono i limiti di variabilità alle incognite introdotte. Raccolta dei dati: vengono raccolti dati inerenti al problema in base a vari aspetti che necessitano l’analisi.

Costruzione di un modello: una volta raccolti i dati bisogna costruire il modello matematico per studiarli distinguendo gli elementi essenziali da quelli superflui ed utilizzando elementi di algebra come equazioni, disequazioni, risoluzione grafica della funzione.. Determinazione della soluzione: cioè ha lo scopo di determinare la soluzione ottimale e non una soluzione soddisfacente risolvendo i contenuti algebrici del modello. Messa a punto e collaudo del modello e della soluzione: cioè bisogna provare che il modello rispetti tutti i parametri e che si ottengano gli obiettivi prefissati altrimenti devo rivisitare il modello stesso. Interpretazione dei risultati: vengono rappresentati con dei grafici ed analizzati analiticamente.

Es. Problema di scelta Un imprenditore desidera costruire su una terra un campo da golf di forma rettangolare. Stabilito che il perimetro deve essere di 120m vuole determinare le misure dei lati in modo che l’area del campo da golf sia la massima possibile. Dati: x e y = misure dei lati 2x +2y = 120 x + y =60 (vincolo del perimetro) x ≥ 0 y ≥ 0 z = x * y (Funzione obiettivo da massimizzare) Risoluzione: Il vincolo di uguaglianza x + y = 60 permette di eliminare un’ incognita. Infatti y = 60 – x nel vincolo y ≥ 0 si ottiene: z = x * (60 – x) z = x ² - 60 x con x ≥ 0 e x ≤ 60 P a = (60;0) P b =(0;0) V = (30;900) } vincoli di positività

z x 0Pb0Pb V PaPa Infatti per x = 30 → y = 60 – 30 → y = 30 ====> Z = 900 Risoluzione grafica MAX