Elementi di Teoria dei giochi

Teoria dei giochi Studio dei modelli matematici di cooperazione e conflitto tra individui intelligenti e razionali. Razionalità: ciascun individuo massimizza la sua utilità attesa rispetto a qualche credenza Intelligenza: ciascun individuo comprende la situazione in cui è coinvolto, compreso il fatto che gli altri individui sono intelligenti e razionali.

Cos’è un gioco? Un gioco è descritto da quattro cose: I giocatori Le regole: ordine delle mosse, azioni possibili, informazione Esiti (per ogni possibile profilo di scelte) Vincite o utilità attesa.

Azioni vs Strategie Azioni L’insieme delle “mosse” a disposizione dei giocatori Strategia Piano completo di azione. La strategia specifica un’azione per ognuna delle situazioni in cui il giocatore può essere chiamato a decidere (indipendentemente dal fatto che poi venga effettivamente a trovarsi in quella situazione NB: In alcuni casi possono coincidere!

Dilemma del prigioniero Due criminali che hanno commesso in complicità un grave delitto sono detenuti in celle separate (non possono comunicare). Ci sono le prove solo per accusarli di un delitto minore la cui pena è 1 anno di reclusione Ogni prigioniero può confessare il delitto grave o tacere. Se confessa uscirà subito di prigione, mentre il complice avrà una pena di 20 anni di reclusione. Se entrambi confessano saranno condannati ad una pena intermedia di 5 anni. Se nessuno dei 2 confessa la pena sarà di 1 anno.

Dilemma del prigioniero Giocatori: I due criminali Regole: detenuti non possono comunicare, possono confessare o tacere, decidono contemporaneamente. Azioni: Confessare o tacere Strategie: confessare o tacere (coincidono con azioni in questo caso!) Vincite: gli anni di reclusione (vincite negative)

Gioco in forma strategica Insieme dei giocatori i  N = {1,...,n} Insieme delle strategie si  Si Funzione di vincita ui(s):S Gioco in forma strategica  = {S1,...,Sn;u1,...,un} NOTAZIONE: Profilo di strategie (s1,...,sn)  S = S1...Sn

Gioco in forma strategica Prig 2 Prig 1 Confessare Tacere -5 , -5 0 , -20 -20 , 0 -1 , -1

Gioco in forma estesa Fornisce l’informazione per rispondere ai seguenti quesiti: Chi gioca quando? Cosa possono fare i giocatori? Che informazione hanno i giocatori? Quali sono le possibili vincite?

Gioco in forma estesa confessa -5, -5 confessa 2 tace 0, -20 1 -20, 0 tace 2 tace -1, -1

Gioco dell’entrata 2 imprese: X e Y Y monopolista di un mercato; X decide se entrare o no Se X entra, allora Y può produrre poco o tanto. Se Y produce poco entrambe hanno profitto 1 Se Y produce tanto entrambe avranno profitti -1 Se X non entra avrà profitti nulli e Y può sempre produrre poco o tanto, ma resta monopolista Se Y produce poco avrà profitto 2 Se Y produce tanto avrà profitto 3

Gioco dell’entrata Giocatori: Le 2 imprese Regole: Impresa X decide per prima, Y può vedere l’azione di X Vincite: I profitti

Gioco dell’entrata Azioni Strategie X ENTRA o NON ENTRA Y produrre POCO o TANTO Strategie Impresa X ENTRA o NON ENTRA (coincide con azioni) Impresa Y Produrre POCO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRA Produrre POCO se X ENTRA, TANTO se X NON ENTRA Produrre TANTO sia se X ENTRA, sia se X NON ENTRA Produrre TANTO se X ENTRA, POCO se X NON ENTRA

Gioco in forma estesa tanto -1, -1 entra Y poco 1, 1 X tanto 0, 3 Non entra Y poco 0, 2

Gioco in forma strategica Y X Poco, poco Poco, tanto Tanto, poco tanto, tanto Entra 1,1 -1,-1 Non entra 0,2 0,3

Informazione Informazione Perfetta: ciascun insieme informativo è composto da un nodo singolo (ad esempio gli scacchi, gioco di entrata) Informazione imperfetta: in un qualche punto dell’albero di gioco un giocatore non è sicuro della storia passata del gioco, cioè ignora qualche azione passata. In altre parole qualche insieme di informazione contiene più di un nodo. (dilemma del prigioniero)

Rappresentazioni equivalenti

Strategie dipendono da informazione

Cos’è la SOLUZIONE di un gioco? Se desideriamo prevedere l’esito verosimile di una situazione di interazione strategica dobbiamo prevedere il comportamento dei giocatori, cioè dobbiamo individuare la SOLUZIONE del gioco. La soluzione di un gioco è un modello di comportamento dei giocatori che soddisfa delle condizioni di “plausibilità”.

Come definire la soluzione di un gioco? Solitamente gli economisti usano l’IPOTESI DI RAZIONALITA’. Problema: come definire la razionalità in situazioni di interazione strategica? Ricordiamo la definizione di teoria dei giochi: i giocatori sono razionali e intelligenti Il problema è formalizzare razionalità E intelligenza.

Applicazione dell’ipotesi di razionalità nei GFN Per ogni giocatore ricerco la strategia che massimizza la vincita PER OGNI POSSIBILE SCELTA DEGLI ALTRI, In altre parole cerco le RISPOSTE OTTIME in funzione di tutte le possibili strategie altrui.

Il dilemma del prigioniero 2 1 Non confesso Confesso Non confesso -0.5, -0.5 -3, 0 Confesso 0, -3 -1, -1 I numeri sono gli anni di prigione

Un concetto di equilibrio come soluzione: l’equilibrio di Nash Dato un gioco in forma strategica, un profilo di strategie s*  S è un equilibrio di Nash in strategie pure se per tutti i giocatori i

INTERPRETAZIONI DELL’EQUILIBRIO DI NASH NB: è definito come un profilo di strategie, non come un prodotto cartesiano, come abbiamo visto nel caso precedente. Questo dipende dal fatto che stiamo considerando un concetto di equilibrio. Tre INTERPRETAZIONI: Equilibrio di Nash come soluzione eduttiva Equilibrio di Nash come punto di equilibrio di un processo dinamico (implicito) Equilibrio di Nash come equilibrio di aspettative razionali.

Pari o dispari: non esiste un equilibrio in strategie pure 2 1 P D P +1, -1 -1, +1 D -1, +1 +1, -1

Strategie miste Due tipi di strategie: Due tipi di equilibrio pure In strategie pure In strategie miste

Definizione Un profilo di strategie miste  = (1,...,n) è un equilibrio di Nash se per ogni i,

Il gioco dell’entrata 0, 0 Guerra Entra IBM Accomoda Telex 2, 2 Fuori 1, 5

La forma normale del gioco dell’entrata IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5 1, 5

Equilibri nel gioco dell’entrata: le strategie ottime per Telex IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5 1, 5

Le strategie ottime per IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5 1, 5

Due equilibri IBM Telex Guerra Accomoda Entra 0, 0 2, 2 Fuori 1, 5

L’equilibrio credibile 0, 0 Guerra Entra 2 Accomoda 1 2, 2 Fuori 1, 5

L’equilibrio non credibile 0, 0 Guerra Entra Accomoda 1 2, 2 Fuori 1, 5

Problemi con gli equilibri di Nash Equilibrio di Nash: ogni giocatore deve agire ottimamente date le strategie altrui, cioè ogni giocatore gioca una risposta ottima alle strategie degli altri giocatori. Problema: la condizione di ottimizzazione è posta solo all’inizio del gioco.Perciò qualche equilibrio di Nash nei giochi dinamici può coinvolgere minacce non credibili.

Un nuovo concetto di soluzione per risolvere il problema della credibilità

Perfezione nei sottogiochi (Selten, 1965) Applica una nozione di comportamento razionale (in particolare l’equilibrio di Nash) ogni volta che si fronteggia una situazione strategica ben definita. La nozione di sottogioco proprio modella l’idea di “una situazione strategica ben definita”.

Il concetto di sottogioco 0, 0 Guerra Entra IBM Accomoda Telex 2, 2 Fuori 1, 5

Un esempio di non esistenza di sottogiochi propri 0, 0 Guerra Entra 2, 2 Accomoda IBM Telex Guerra 1, 5 Fuori Accomoda 1, 5

Credibilità e perfezione nei sottogiochi Equilibri perfetti nei sottogiochi: gioca un equilibrio in tutti i sottogiochi. Questo implica che i giocatori fanno minacce e promesse che poi hanno un incentivo a rispettare effettivamente.

Comportamento razionale nel sottogioco 0, 0 Guerra 2 Accomoda 2, 2

Definizione Un equilibrio Nash di  è perfetto nei sottogiochi se specifica delle strategie di equilibrio Nash in ogni sottogioco proprio di . In altre parole, i giocatori devono scegliere razionalmente in ogni occasione durante il gioco.

Un principio generale L’idea di giocare in modo ottimale ad ogni occasione del gioco è chiamata induzione a ritroso. L’induzione a ritroso induce un equilibrio perfetto nei sottogiochi Nei giochi ad informazione perfetta, si giocano delle risposte ottime ad ogni nodo decisionale.

Esempio 2: un gioco ad informazione perfetta

Il gioco in forma normale Tre equilibri Nash in strategie pure: {R,ll}, {L,lr}, and {R,rl}. {L,lr} e {R,rl} coinvolgono minacce non credibili.

Esempio 2: induzione a ritroso

Esempio 3: Stackelberg Un impresa per prima stabilisce quanto produrre, successivamente una seconda impresa, dopo aver osservato la decisione della prima, decide a sua volta quanto produrre. E’ un gioco ad informazione perfetta La strategia dell’impresa che muove per seconda è una funzione.

OLIGOPOLIO

Calcolo degli equilibri per i giochi con un continuo di possibili strategie Uso del calcolo differenziale per massimizzare l’utilità e risolvere i giochi Equilibrio come soluzione di condizioni del primo e secondo ordine.

Concorrenza nelle quantità tra due imprese Concorrenza alla Cournot L’equilibrio di Cournot si colloca tra monopolio e concorrenza perfetta

Concorrenza alla Cournot tra due imprese Funzione di domanda: P = 130 - Q se Q  130 = 0 altrimenti Quantità di mercato: Q = x1 + x2 + … + xn = xi Vettore delle quantità individuali: x = (x1, x2, … , xn) dove xi rappresenta la quantità dell’impresa i  Perciò per un mercato con due imprese Q = x1+ x2 e x = (x1, x2) Costo marginale costante = c

Concorrenza alla Cournot Profitti dell’impresa i: ui(x) = ricavi - costi = Pxi - cxi = (P - c)xi  u1(x) = (P - c)x1 e u2(x) = (P - c)x2

Calcolo della funzione di risposta ottima Funzione di vincita dell’impresa i: ui(x) = (P - c)xi Condizioni del primo ordine: L’impresa 1 massimizza il suo profitto producendo fino al punto in cui il profitto marginale è nullo: 0 = u1/x1 = (P - c) + x1P/x1  0 = (120 - x1 - x2) + x1(-1)  0 = 120 - 2x1 - x2

La funzione di risposta ottima nella concorrenza alla Cournot La condizione del primo ordine per l’impresa 1 è: 2x1 + x2 = 120 Risolvendola per x1 in funzione di x2 otteniamo la funzione di risposta ottima dell’impresa 1: x1 = f1(x2) = 60 - x2/2 Analogamente, la funzione di risposta ottima dell’impresa 2 è: x2 = f2(x1) = 60 - x1/2.

L’equilibrio di Cournot x* 120 x2 = f2(x1) = 60 - x1/2 (40, 40) = x* x1 120 x1 = f1(x2) = 60 - x2/2

Concorrenza perfetta con due imprese Prezzo uguale al costo marginale In questo mercato il costo marginale = c = $10 Q = 130 - P = 130 - 10 = 120 x* = (60, 60) Il profitto per ogni impresa è (10 - 10)  60 = 0.

Equilibrio di monopolio per due imprese Un monopolista massimizzerà il profitto totale: u = u1 + u2 = (P - c) Q  u = (120 - Q) Q Condizioni del primo ordine per massimizzare il profitto totale:  0 = u/Q = 120 - 2Q  Q* = 60 and profitti totali = (120-60)  60 = $3600

Concorrenza alla Cournot, concorrenza perfetta e monopolio La concorrenza alla Cournot tra due imprese ha un equilibrio che si colloca tra monopolio e concorrenza perfetta

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot Il monopolio è associato al prezzo più alto, la minore quantità e il profitto più alto La concorrenza perfetta è associata al prezzo più basso, la quantità più alta e a un profitto nullo L’equilibrio di Cournot si colloca in una posizione intermedia rispetto a tutte e tre queste dimensioni.

Caratteristiche dell’equilibrio di Cournot P $130 Equilibrio di monopolio $70 Equilibrio di Cournot $50 Equilibrio di concorrenza perfetta $10 Q 60 80 120

Concorrenza alla Cournot con molte imprese Profitto dell’impresa i: ui(x) = (P - 10)xi Poiché tutte le imprese fronteggiano gli stessi costi e vendono lo stesso prodotto, il gioco è simmetrico. Quindi la strategia di massimizzazione del profitto sarà la stessa per tutte le imprese. Consideriamo una generica impresa i.

Concorrenza alla Cournot con molte imprese L’impresa i desidera massimizzare il profitto ui(x) = (P - 10)xi Condizioni del primo ordine: 0 = ui/xi = (P - 10) + xi(P/xi) = 120 - xs - xi Per simmetria, xs = nxi  0 = 120 - (n+1) xi  xi* = 120/(n+1)

Concorrenza alla Cournot con molte imprese Quantità di mercato: Q* = x1 = nx1 = 120n/(n+1) prezzo di mercato: P* = 130 - Q* =130 - [120n/(n+1)] n    P* = $10 and Q* = 120 L’equilibrio di Cournot coincide con l’equilibrio di concorrenza perfetta quando il numero di imprese tende ad infinito.

Il risultato limite di Cournot in termini di surplus: n = 1 $130 Compratori $70 Venditore $10 Q 60

Il risultato limite di Cournot in termini di surplus: n = 2 $130 Compratori $50 Venditori $10 Q 80

Il risultato limite di Cournot in termini di surplus: n =  $130 Compratori $10 Q 120

Concorrenza di prezzo tra due imprese: il modello di Bertrand La concorrenza di prezzo è diversa dalla concorrenza nelle quantità La concorrenza di prezzo porta al prezzo uguale al costo marginale con appena due imprese.

Concorrenza di prezzo tra due imprese Domanda di mercato: Q = 130 - P Vettore dei prezzi: p = (p1, p2) dove p1 e p2 sono i prezzi rispettivamente dell’impresa 1 e dell’impresa 2 xi(p) è la domanda fronteggiata dall’impresa i Profitto dell’impresa i: ui(p) = (pi - c) xi(p)

Le domande fronteggiate dalle due imprese La curva di domanda dell’impresa 1: x1(p) = 130 - p1 se p1 < p2 = (130 - p1)/2 se p1 = p2 = 0 se p1 > p2 La curva di domanda dell’impresa 2: x2(p) = 130 - p2 se p2 < p1 = (130 - p2)/2 se p2 = p1 = 0 se p2 > p1

La curva di domanda fronteggiata dall’impresa 1 x1 = 0 x1 = 65 - P1/2 P2 x1 = 130 - P1 x1 130

L’equilibrio nel modello di Bertrand Se n è maggiore o uguale a 2, tutti i prodotti sono sostituti perfetti e nessuna impresa ha un vantaggio di costo, allora nell’equilibrio del gioco di Bertrand il prezzo è uguale al costo marginale.

Differenziazione del prodotto La caratteristica comune a tutti i modelli con differenziazione del prodotto è che se il prezzo è leggermente maggiore del prezzo medio di mercato, un’impresa non perde tutta la domanda per i suoi prodotti.

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa 1: x1(p) = 180 - p1 - (p1 – prezzo medio) La funzione di domanda fronteggiata dall’impresa 2: x2(p) = 180 - p2 - (p2 – prezzo medio)

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto Profitto dell’impresa 1: u1(p1,p2) = (p1 - 20) x1 = (p1 - 20) (180 - 2p1 + prezzo medio) = (p1 - 20) (180 - 1.5p1 + 0.5p2) Profitto dell’impresa 2: u2(p1,p2) = (p2 - 20) (180 - 1.5p2 + 0.5p1)

Concorrenza di prezzo con differenziazione del prodotto Condizioni del primo ordine per la massimizzazione del profitto dell’impresa 1: 0 = u1/p1 = (p1 - 20) (-1.5) + (180 - 1.5p1 + 0.5p2)  0 = 210 - 3p1 + 0.5p2 Funzione di risposta ottima dell’impresa 1: p1 = f1(p2) = 70 + p2/6 Analogamente, funzione di risposta ottima dell’impresa 1 : p2 = f2(p1) = 70 + p1/6

Equilibrio con concorrenza di prezzo tra due imprese e differenziazione del prodotto p1 = f1(p2) = 70 + p2/6 p2 p2 = f2(p1) = 70 + p1/6 p* = (84, 84) p1

Equilibrio con differenziazione del prodotto L’equilibrio si trova in corrispondenza del vettore di prezzi (84, 84) Il prezzo di mercato è quindi 84, significativamente più alto del costo marginale, che è 20 Ogni impresa vende (180 - 84) = 96 Il profitto di ciascuna impresa è = (84 - 20)  96 = 6144 Di conseguenza ogni impresa può spendere più di 6000 per differenziare il proprio prodotto, ed averne ancora un vantaggio per il profitto.