PROBABILITÀ Corsi Abilitanti Speciali Classe 59A III semestre - 2

SI ASSUME COME VALORE DELLA PROBABILITÀ LA FREQUENZA RELATIVA, QUANDO IL NUMERO DELLE PROVE È SUFFICIENTEMENTE ELEVATO. DEFINIZIONE FREQUENTISTA

Aumentando il numero delle prove la frequenza di un risultato oscilla attorno a un valore verso il quale tende a stabilizzarsi. Se è possibile conoscere la probabilità a priori di tale risultato si osserva che le frequenze ottenute sono approssimazioni della probabilità calcolata a priori. DEFINIZIONE FREQUENTISTA Si tratta di un fatto sperimentale! LEGGE EMPIRICA DEL CASO

È UNA CONCEZIONE “ A POSTERIORI” Affonda le sue radici nelle osservazioni sperimentali di certe regolarità in una grande quantità di risultati. LIMITI DI APPLICABILITÀ DEFINIZIONE FREQUENTISTA

Fermat, Pascal e Huygens non si occupano apertamente del concetto di frequenza. Lo fa invece Jacob Bernoulli, che nella prima parte dell’Ars conjectandi ragiona con mentalità statistica.La Statistica si sta infatti sviluppando, muovendo i suoi primi passi. La concezione frequentistica trova però la sua sistemazione rigorosa solo nel XIX secolo. DEFINIZIONE FREQUENTISTA

LA PROBABILITÀ DI UN EVENTO A RAPPRESENTA IL GRADO DI FIDUCIA CHE UN INDIVIDUO COERENTE ATTRIBUISCE, SECONDO LE SUE INFORMAZIONI, ALL'AVVERARSI DI A. DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA

Se vogliamo essere più operativi possiamo dire che la probabilità di un evento A per un individuo è il prezzo che egli stima equo attribuire a un importo unitario esigibile, se A si verifica. DEFINIZIONE SOGGETTIVISTA Questa concezione è interpretabile in termini di scommessa.

Lancio una moneta. Se esce TESTA vinco io, altrimenti vince Dario. Decido con il mio avversario che la vincita deve essere 1€. Quanto sono disposto a mettere sul banco? Siccome ritengo che entrambi abbiamo la stessa possibilità di vincere, sarò disposto a puntare 0,50 €

Lancio due dadi. Vinco 1€ se la somma dei due numeri usciti è 3, mentre il mio avversario vince se la somma è 7. Se non si ottiene nessuno dei due numeri si ripete il lancio.Quanto sono disposto a puntare? p(uscita n.3) = 1/18 p(uscita n.7) = 1/6 La mia probabilità di vincere è 1/3 di quella dell’avversario. Sono disposto a puntare …. 0,25 euro!

L’APPROCCIO ASSIOMATICO

ESPERIMENTO - processo qualunque di cui non possiamo conoscere il risultato, ma del quale ci sono noti gli esiti possibili, che chiamiamo casi elementari.  : spazio dei casi elementari (insieme che ha come elementi i casi elementari). L’ambiente Ogni sottoinsieme di  è detto evento. Ogni caso elementare è anche un evento  è l’evento impossibile  è l’evento certo

È QUELLO DELLA TEORIA DEGLI INSIEMI Il linguaggio Dati due eventi A e B, si indicherà: con A  B l’evento corrispondente al verificarsi di A o di B ( cioè se si verifica almeno uno dei due eventi) con A  B l’evento corrispondente al verificarsi di A e di B ( cioè se si verificano entrambi gli eventi) con A c l’evento corrispondente al non verificarsi di A ( evento contrario ad A) con A - B l’evento corrispondente al verificarsi di A e al non verificarsi di B (A - B = A  B c )

EVENTI INCOMPATIBILI - la loro intersezione è l’insieme vuoto (non possono verificarsi contemporaneamente) Il linguaggio EVENTI INDIPENDENTI- il verificarsi di uno non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro N.B. Due eventi indipendenti possono essere compatibili Due eventi incompatibili sono sempre dipendenti

 può essere anche un insieme costituito da infiniti elementi L’approccio assiomatico Tutti gli eventi sono sottoinsiemi di , ma non è necessario che tutti i sottoinsiemi dello spazio dei casi elementari siano eventi.

L’approccio assiomatico Ad ogni esperimento è possibile associare una coppia (  ; F ), dove -  è l’insieme dei casi elementari ( casi possibili) - F è una famiglia (  -algebra) di sottoinsiemi di  che contiene tutti gli eventi a cui siamo interessati. Es. Nel lancio di un dado, F può essere costituita dagli eventi:“esce un numero pari” e “ esce un numero dispari”

L’approccio assiomatico La terna (  ; F; p ) è detto spazio di probabilità. Def. : Misura di probabilità su (  ; F ) è una funzione da R nell’intervallo [0;1], che soddisfa le seguenti proprietà a) p(  ) = 1 b) Se A e B sono elementi disgiunti di F, allora p(A  B) = p(A) + p(B) c) se A 1, A 2,.....,A n, è una collezione di elementi disgiunti di F, allora proprietà di additività infinita

L’approccio assiomatico La probabilità costituisce un caso particolare di misura in (  ; F ) ed è espressa da un numero reale appartenente all’intervallo [0;1]. Una misura è una funzione  : F  [0;+  ) tale che  (  )=0, e valga la proprietà di additività. Esercizio – Dimostrare le seguenti proprietà: a) p(  ) = 0; b) p(A c ) = 1 – p(A) corollario: p(  )=1-p(  )=1-1=0

L’approccio assiomatico N.B. Gli eventi che non possono accadere hanno probabilità 0, ma non vale il viceversa; cioè non è vero che un evento con probabilità 0 non può accadere. Esercizio – Dimostrare: p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)

L’approccio assiomatico Se  è un insieme finito di cardinalità n, F è l’insieme delle parti di  e p(A) =  A  F, si ritrova la definizione classica di probabilità.