Analisi Numerica: AutoValori e Autovettori Valentina Campisi

Autovalori e Autovettori (1/2) Sia ACnxn. Un vettore vCn, v≠0 si dice autovettore per A se Av = v con C  è detto autovalore per A. Si ricava il sistema (A-I)v = 0. Da cui segue che gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico pA()=det(A-I) cioè� i valori per cui la matrice A-I è� singolare e quindi il sistema ammette soluzioni diverse da v=0 .

Autovalori e Autovettori (2/2) Ricavarsi gli autovalori in questo modo comporta il calcolo del determinante di una matrice che � una operazione altamente costosa. Si cercano quindi strade alternative per la ricerca degli autovalori. Noi considereremo solo uno di questi metodi, che si applica ad un caso molto particolare e tuttavia molto frequente nelle applicazioni: la ricerca dell'autovalore dominante cio�è di un autovalore maggiore in modulo di tutti gli altri.

function [lam,x] = ray_quo Quoziente di Rayleigh L’autovalore  corrispondente all’autovettore v si ottiene calcolando il quoziente di Rayleigh =vTAv/ vTv Implementazione: function [lam,x] = ray_quo Riceve in input la matrice A a partire da un vettore non nullo calcola il quoziente di Rayleigh per restituire l’autovalore in lam e in x l’autovettore associato

Metodo delle Potenze (1/3) Supponiamo che la matrice A abbia un autovalore dominante 1 tale che | 1|> | 2|≥…. ≥ | n| Il metodo delle potenze fornisce un metodo iterativo per approssimare l'autovalore dominante. Dato un vettore di innesco u0≠0 si definisce una successione di vettori in questo modo: uk+1 = A uk Si pu�ò dimostrare che l'autovalore dominante � approssimato dalla seguente espressione: k= (uk)Tuk+1 / (uk)Tuk

Metodo delle Potenze (2/3) Per evitare problemi di overflow o underflow si usa una versione normalizzata del metodo delle potenze, nella quale tutti i vettori uk sono divisi per la loro norma in modo che la norma dei vettori cos� ottenuti sia sempre unitaria. yk= uk /||uk||2 uk+1 = Ayk k+1= (yk)Tuk+1/ (yk)Tyk= (yk)Tuk+1 dove l'ultima eguaglianza deriva dal fatto che (yk)Tyk=||yk||2=1

Metodo delle potenze (3/3) Implementazione: La procedura metodoPotenze utilizza lo schema usando come condizione di arresto | k- k-1 |<. [lambda,x,iter]=potenze Riceve in A la matrice di cui si vuole calcolare l'autovalore dominante, in x0 un vettore di innesco (non nullo), in toll l’accuratezza desiderata e in nmax un limite superiore al numero di iterazioni. Restituisce in lambda l'approssimazione dell'autovalore dominante, in x l’autovettore e in iter il numero di iterazioni effettuate.

Matrice di Hessenberg Siano A,B simili, aventi cioè gli stessi autovalori,   S, S-1 : A=SBS-1 Inoltre,per motivi di efficienza, il calcolo degli autovalori di B deve essere più facile di quello di A. Se B è triangolare gli autovalori sono gli elementi della diagonale. Si ha: U : A=UTU* dove T è triangolare superiore. Ma ricavare A in questo modo non è semplice allora troviamo S tale che B=SAS-1 sia una matrice di Hessenberg: H = h11 h12 …. h1n h21 h21 . h2n . . 0 hmn-1 hmn Per ridurre una matrice qualunque in forma di Hessenberg utilizziamo il metodo di HouseHolder

Metodo di Householder (1/2) Se v �è dato come un vettore colonna unità� e I �è la matrice identità la trasformazione lineare è data dalla matrice di Householder P=I-2vvT/vTv La matrice di Householder ha le seguenti propriet�à: simmetrica: P = PT ortogonale: P-1 = PT Si trova che P riflette effettivamente un punto x, che viene rappresentato con il suo vettore posizione x: Px = x − 2vvTx Questo vettore è detto vettore di riflessione o di Householder

Metodo di Householder (2/2) Implementazione: Ciascun passo k-esimo consiste in una trasformazione per similitudine di A tramite la matrice di Householder che ha l’effetto di rendere nulli gli elementi di posizione di k+2,..,n della colonna k-esima della matrice per k=1,..,n-2. function [Q,H] = houseHolder_Hessenberg(A) Riceve in A una matrice e restituisce in H la matrice trasformata in forma di Hessenberg e in G la matrice ortognale. Per il calcolo del vettore di Householder si utlizza il programma: function[v,beta]=vHouse(x)

function [Q,R]=rotqr_demo(A) Metodo di Givens Le matrici di Givens sono matrici di rotazioni ortogonali che hanno la proprietà di annullare selettivamente singoli elementi di una matrice o di un vettore. Fissati due indici i e K e un certo angolo , esse sono definite come: G(i,k,) = I - Y dove YCnxn è una matrice identicamente nulla fatta eccezione per gli elementi yii = ykk = 1-cos e yik = -sin = -yki G(i,k,) = 1 0 1 cos sin -sin cos 0 1 Data una matrice possiamo calcolare la fattorizzazione QR, ottenendo A=QR che tende ad assumere una forma triangolare. Utilizziamo function [Q,R]=rotqr_demo(A)