Network Biologiche

Indice Esempi di network biologiche Network di interazione proteina proteina (PPI networks) Network metaboliche Pathway Caratterizzazione delle network (grafi) Grafi random Network scale-free Network gerarchici Esempi di topologie scale-free e gerarchiche Rilevamento della struttura modulare Algoritmi tradizionali Misure di distanza Single linkage clustering Average linkage clustering Algoritmi basati su betweenness centrality (Girvan, Newman) Applicazioni su network sociologiche, metaboliche e biochimiche

PPI network Interazioni tra proteine Una proteina crea un legame temporaneo o permanente con un’altra proteina o con un gruppo di proteine Nel caso di legame di lungo periodo si ha un complesso proteico I legami per brevi periodi servono a svolgere alcune funzioni della cellula: trasporto, segnalazione etc. Tutte le interazioni possono essere rappresentate attraverso una grande network in cui i nodi sono proteine e gli archi rappresentano le interazioni tra proteine Colicin-immunity protein complex David Masica, Mike Daily, and Jeff Gray, March 2004 RanGTP Cycle and Nuclear Import/Export (Nakielny and Dreyfuss, 1999)

Network metaboliche Rappresentano un insieme di reazioni chimiche in una cellula Un insieme di metaboliti (composti chimici) subiscono delle trasformazioni (reazioni chimiche) catalizzate da altre sostanze (enzimi) Alla network possono essere aggiunti altri elementi: interazioni con proteine, elementi regolatori Schwarz et al. BMC Bioinformatics 2007

Pathway Una pathway rappresenta un determinato processo biologico (es. apoptosi) Nodi: proteine, metaboliti, piccole molecole, geni, RNA, tutto ciò che è coinvolto nei processi in questione Archi: relazioni tra i nodi (interazioni, trasformazioni, etc.)

Indice Esempi di network biologiche Network di interazione proteina proteina (PPI networks) Network metaboliche Pathway Caratterizzazione delle network (grafi) Grafi random Network scale-free Network gerarchici Esempi di topologie scale-free e gerarchiche Rilevamento della struttura modulare Algoritmi tradizionali Misure di distanza Single linkage clustering Average linkage clustering Algoritmi basati su betweenness centrality (Girvan, Newman) Applicazioni su network sociologiche, metaboliche e biochimiche

Caratteristiche di una network Grado Di un nodo: numero di archi entranti e/o uscenti Di un grafo: media dei gradi dei nodi Distribuzione del grado P(k) = N(k) / n Poisson Esponenziale Lunghezza del cammino minimo Tra due nodi Media di un grafo Coefficiente di clustering Di un nodo: Ci = 2ni/[ki(ki-1)] Di un grafo: media dei coefficienti dei nodi Dipendenza dal grado: C(k)

Network Biology COEFFICIENTE DI CLUSTERING In molte network se A è connesso con B (con un link diretto) e B è connesso con C allora con alta probabilità anche A ha un link diretto a C. Questo fenomeno può essere quantificato con Dove ni è il numero di link che connettono i k vicini del nodo i ad ogni altro. La media <C> caratterizza la tendenza globale dei nodi a formare cluster.

Network Biology COEFFICIENTE DI CLUSTERING In altre parole Ci da il numero di triangoli che passano attraverso i. k(k-1)/2 è il numero massimo possibile di triangoli. Esempio: Solo B e C fra i vicini di A sono linkati. Quindi: nA=1 CA=2/20 Invece per F si ha CF=0

Network Biology COEFFICIENTE DI CLUSTERING Ha molta importanza anche la funzione C(k) definita come la media del coefficiente di clustering per tutti i nodi con k link. Per molte network reali si ha: Ciò caratterizza una rete gerarchica.

Grafi random Presi n nodi, per ogni coppia di nodi si inserisce un arco con probabilità p Caratteristiche Grado medio: p(N-1) Distribuzione del grado: di Poisson Lunghezza del cammino minimo: l  log n Coefficiente di clustering medio: C = p Coeff. clustering costante al variare del numero di nodi I grafi random presentano caratteristiche differenti da quelle delle network biologiche (e in generale di altri tipi di network). Infatti, le network risentono dei fenomeni di attaccamento preferenziale e duplicazione genica.

I grafi random non descrivono bene le reti reali Attaccamento preferenziale Duplicazione genica

Network scale-free I nodi vengono aggiunti uno per volta. Ogni nuovo nodo viene connesso a un altro nodo i della rete con probabilità i = ki /j kj Caratteristiche Distribuzione del grado esponenziale: P(k)  k - <3. Infatti più piccolo è il valore di  più i clusters sono rilevanti. Con >3 i clusters perdono di importanza e non è più scale-free Presenza di hub Lunghezza del cammino minimo: l  log log n. Coefficiente di clustering basso Coeff. clustering non dipendente dal grado Coeff. di clustering decrescente sul numero di nodi (N-0,75)

Network gerarchiche

Caratteristiche delle network gerarchiche Topologia scale-free Distribuzione di grado esponenziale Presenza di hub Lunghezza del cammino minimo: l  log log n. Clustering Alto coefficiente di clustering medio C = 0,6 Dipendenza del coefficiente di clustering dal grado: C(k) = 1/k Coeff. clustering costante al variare del numero di nodi

Struttura delle network gerarchiche Modularità: la rete è suddivisa in sottoinsiemi di nodi detti moduli (o cluster) connessioni tra nodi dello stesso cluster molto dense connessioni tra nodi di differenti cluster poco dense Struttura gerarchica I moduli sono connessi formando meta-moduli I meta-moduli sono connessi in maniera più debole formando una gerarchia di moduli (gerarchia di cluster)

Confronti Grafi random scale-free gerarchiche Distribuzione di grado Poisson esponenziale Esistenza di hub No Si Lungh. Cammino minimo  log n  log log n Coeff. di clustering medio p basso alto (0,6) Coeff. di clustering - grado no 1/k Coeff. di clustering - nodi costante decrescente N-0,75

Esempi di network scale-free e gerarchiche Network sociologiche Network di conoscenze Network di collaborazione Reti tecnologiche Internet World Wide Web Reti elettriche Network biologiche Network di interazioni (tra proteine, RNA, DNA, piccole molecole) Network metaboliche Network cellulari Food web

Indice Esempi di network biologiche Network di interazione proteina proteina (PPI networks) Network metaboliche Pathway Caratterizzazione delle network (grafi) Grafi random Network scale-free Network gerarchici Esempi di topologie scale-free e gerarchiche Rilevamento della struttura modulare Algoritmi tradizionali Misure di distanza Single linkage clustering Average linkage clustering Algoritmi basati su betweenness centrality (Girvan, Newman) Applicazioni su network sociologiche, metaboliche e biochimiche

Rilevamento della struttura modulare Network sociologiche Gruppi di individui legati da interessi in comune Gruppi reali, società, club, associazioni, famiglie Reti tecnologiche (web) Gruppi di pagine su argomenti correlate (reti di link) Gruppi di articoli su uno stesso argomento (reti di citazioni) Network biologiche Gruppi funzionali o moduli (reti metaboliche)

Rilevamento della struttura modulare

Albero di clustering o Dendogramma

Algoritmi di clustering Tradizionali Si calcola un peso Wij per ogni coppia di nodi i, j del grafo Overlap topologico Numero di path indipendenti (massimo flusso) Numero di path totali Si applica un algoritmo di clustering classico usando come distanza l’inverso del peso (approccio bottom-up) Single linkage clustering Average linkage clustering Basati su betweenness centrality Approccio top-down. Si eliminano gli archi meno centrali (con maggiore betweenness)

Overlap topologico Overlap topologico OT(i,j) tra due nodi i e j Numero di nodi vicini di i oppure di j Numero di nodi vicini sia di i che di j Rapporto tra i due valori OT(i,j) = 1 se i e j sono connessi agli stessi nodi OT(i,j) = 0 se i e j non hanno vicini in comune

Numero di path indipendenti Numero di cammini indipendenti tra due nodi Due cammini sono indipendenti se non hanno archi in comune Trovare il massimo flusso tra i nodi (max-flow) Equivalente a trovare il taglio minimo (minimum-cut) Algoritmo Ford-Fulkerson (tempo polinomiale)

Algoritmo Ford-Fulkerson 4 2 5 1 3 1 1 2 2 s 4 t 3 2 1 3 Esempio: trovare il massimo flusso tra s e t

Ford-Fulkerson Max Flow 1 2 s 4 5 3 t Questo è il massimo flusso

Numero di path totali Numero di cammini tra due nodi (non per forza indipendenti) Problema Se un cammino ha un ciclo esistono infiniti cammini Soluzione ogni cammino è pesato di un fattore αl con l = lunghezza del path

Single linkage clustering Definita una funzione distanza tra nodi d(xi,xj) mediante matrice di adiacenza Si prende l’insieme di nodi senza archi Si seleziona la distanza più bassa. Si aggiunge un arco tra i nodi coinvolti. Se l’arco unisce due cluster si genera un nuovo cluster che li contiene Si procede iterativamente prendendo distanze via via crescenti Alla fine si ottiene un albero rappresentante la gerarchia di cluster

Average linkage clustering Definita una funzione distanza tra nodi d(xi,xj) mediante matrice di adiacenza Si definisce la distanza tra due cluster CK, CL come la media delle distanze tra tutte le copie appartenenti a cluster diversi Si sceglie la coppia di nodi con distanza minore e si uniscono in un cluster. Si calcola la distanza del nuovo cluster da tutti gli altri nodi della rete (come media delle distanze di ogni nodo dai nodi del cluster) Si aggiornano le entry della matrice di adiacenza relative ai nodi del cluster mettendo le distanze del cluster Si procede in maniera iterativa

Rilevamento della struttura modulare Consideriamo la network metabolica dell’ Escherichia coli, la cui classificazione funzionale dei metaboliti è stata ben studiata Applichiamo l’algoritmo average-linkage clustering per rilevare la struttura modulare della network metabolica Confrontiamo i risultati (moduli rilevati) con le caratteristiche conosciute (caratterizzazione funzionale dei metaboliti) Ravasz et. al.

Algoritmo Calcoliamo la matrice di overlap OT(i,j) della network metabolica Applichiamo l’algoritmo di clustering gerarchico (average-linkage method of Sokal e Michener) Output: albero di clustering gerarchico (dendogramma)

Esempio Ravasz et. al.

Risultati Blu = metabolismo dei carboidrati Rosso = metabolismo dei nucleotidi e acido nucleico Verde = metabolismo delle proteine e aminoacidi Ciano = metabolismo dei lipidi Rosa = metabolismo dei composti aromatici Giallo = metabolismo dei composti del carbonio Arancione = metabolismo dei coenzimi Ravasz et. al.

Problemi Overlap topologico Vengono considerate solo le caratteristiche locali ad ogni nodo Numero di path indipendenti Se un nodo e connesso con un unico link, il numero di path indipendenti con tutti gli altri nodi è 1 (minore di tutti gli altri nodi) Scarsi risultati su network la cui struttura modulare è ben conosciuta

Indice Esempi di network biologiche Network di interazione proteina proteina (PPI networks) Network metaboliche Pathway Caratterizzazione delle network (grafi) Grafi random Network scale-free Network gerarchici Esempi di topologie scale-free e gerarchiche Rilevamento della struttura modulare Algoritmi tradizionali Misure di distanza Single linkage clustering Average linkage clustering Algoritmi basati su betweenness centrality (Girvan, Newman) Applicazioni su network sociologiche, metaboliche e biochimiche

Approccio Girvan-Newman Si parte dal grafo completo Si identificano gli archi (o i nodi) meno centrali (con alta betweenness) Si eliminano gli archi (o i nodi) meno centrali e poi via via quelli più centrali. Ogni volta che si separano due componenti, queste vengono riportate nell’albero di clustering

Betweenness di un nodo Proposta originariamente da Freeman Fissato un nodo r Tra tutte le coppie di nodi si considerano i cammini minimi (per ogni coppia ce ne può essere più di uno) Tra tutti i cammini minimi di una coppia di nodi m, m’ (mm’) si prendono tutti i cammini minimi che passano per r (mm’ (r)) Si calcola il rapporto mm’ (r) / mm’ Si sommano tutti i rapporti calcolati per tutte le coppie di nodi

Betweenness di un arco Analoga alla betweenness di un nodo Algoritmo di Newman per il calcolo delle betweenness di tutti gli archi Complessità O(mn)

Algoritmo Calcola la betweenness di tutti gli archi del grafo utilizzando l’algoritmo di Newman Rimuovi l’arco con betweenness più alta Ricalcola la betweenness di tutti gli archi della componente affetta dalla rimozione Ripeti iterativamente finchè non ci sono più archi da rimuovere Complessità: O(m2n) (in media è inferiore)

Validazione Generato un grafo random 4 componenti 128 nodi 16 archi per nodo (z) zin di questi archi sono associati a nodi della stessa componente (in maniera random) I restanti zout = z - zin sono associati a nodi di una componente diversa (in maniera random)

Validazione

Indice Esempi di network biologiche Network di interazione proteina proteina (PPI networks) Network metaboliche Pathway Caratterizzazione delle network (grafi) Grafi random Network scale-free Network gerarchici Esempi di topologie scale-free e gerarchiche Rilevamento della struttura modulare Algoritmi tradizionali Misure di distanza Single linkage clustering Average linkage clustering Algoritmi basati su betweenness centrality (Girvan, Newman) Applicazioni su network sociologiche, metaboliche e biochimiche

Karate club di Zachary Osservazioni su 34 membri di un karate club in un periodo di 2 anni Rete di amicizie tra i membri del club Durante lo studio ci fu un disaccordo tra l’amministratore del club e l’istruttore L’istruttore lasciò il club e ne creò un altro portando con se circa la metà dei membri

Karate club di Zachary Algoritmo Dendogramma Rete di amicizie Club originario Nuovo club Algoritmo Dendogramma Rete di amicizie Classificazione non corretta

Incontri di football americano

Istituto Santa Fe

Chesapeake Bay food web

Applicazione alle network cellulari Struttura network biochimiche (grafo bipartito) Sostanze: Metaboliti, Macromoduli, Complessi Reazioni Ogni sostanza è collegata ad un’altra attraverso una reazione Una reazione ha archi entranti (sostanze che partecipano alla reazione) e archi uscenti (il risultato della reazione) Algoritmo di Girvan Newman modificato Si calcola la betweenness per tutti i nodi reazione e si divide per il numero di archi entranti Si eliminano i nodi reazione in sequenza (analogamente all’algoritmo di Girvan e Newman)

Applicazione alle network cellulari Struttura network biochimiche (grafo bipartito) Sostanze: Metaboliti, Macromoduli, Complessi Reazioni Ogni sostanza è collegata ad un’altra attraverso una reazione Una reazione ha archi entranti (sostanze che partecipano alla reazione) e archi uscenti (il risultato della reazione) Algoritmo di Girvan Newman modificato Si calcola la betweenness per tutti i nodi reazione e si divide per il numero di archi entranti Si eliminano i nodi reazione in sequenza (analogamente all’algoritmo di Girvan e Newman)

Risultati Holme, Huss, Jeong

Topologie Sono presenti due diverse topologie: Community-type ordering (fig. a): c’è una netta suddivisione tra i moduli Shell-type ordering (fig. b): partendo da un modulo più piccolo vengono aggiunti nuovi elementi generando moduli sempre più grandi (struttura a conchiglia) Holme, Huss, Jeong

Conclusioni L’analisi delle network è un processo importante nella comprensione dei processi cellulari. PPI networks e network metaboliche sono molto importanti in biologia. Il modello che meglio si adatta allo studio di network presenti in natura (biologiche, sociologiche) è la network gerarchica Gli algoritmi di clustering sono molto utili per identificare insiemi di componenti che contribuiscono a svolgere una stessa funzione (moduli funzionali o complessi). Algoritmi di clustering tradizionali possono essere utilizzati con opportune misure di distanza. Gli algoritmi basati su betweenness centrality hanno dato risultati migliori rispetto agli algoritmi classici.

Approfondimenti Network biology: Understanding the cell’s functional organization Ravasz, Somera, Mongru, Oltvai, Barabàsi – Science 297 (2002) Hierarchical organizzation of modularity in metabolic network Community structure in social and biological networks Michelle Girvan, M. E. J. Newman – Proc. Natl. Acad. Sci. USA 99 (2002) Subnetwork hierarchies of biochemical pathways Holme, Huss, Jeong – Bioinformatics 19 (2003) Modular organization of cellular network River, Galitski - Proc. Natl. Acad. Sci. USA 100 (2003)