A. Stefanel - Fluidodinamica Dinamica del fluidi A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Per descrivere il moto di un fluido ci sono due formalismi equivalenti: Lagrange: si descrive il moto di ogni porzione di fluido x y z Porzione di fluido di massa m che al tempo t si trova in (x,y,z). Le sue grandezze si descrivono come f=f(x,y,z,t). Eulero: si descrive ciò che accade in ogni singolo volumetto attraversato dal fluido x y z (x,y,z,t) v= v(x,y,z,t) A. Stefanel - Fluidodinamica = (x,y,z,t)

A. Stefanel - Fluidodinamica Tipi di flusso: Flusso non stazionario: ad ogni punto viene associata una velocità che dipende esplicitamente dal tempo: v = v (x,y,z,t)) Flusso stazionario: ad ogni punto viene associata una velocità costante: v = v (x,y,z) Flusso rotazionale: 0 Flusso irrotazionale: =0 Proprietà del fluido: Densità: = (x,y,z,t) in generale varia da punto a punto da istante a istante Fluido incomprimibile: =(x,y,z,t) = o [con ottima approx Liquidi] Viscosità: = (x,y,z,t) si manifesta come forza parallela alla velocità e che dipende da essa. Si oppone allo scorrimento delle diverse parti di fluido una sull’altra (forze di taglio presenti in condizioni dinamiche) Fluido non viscoso: =0 [solo in prima approssimazione] A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Si tratta da qui fino a indicazione contraria di: Flussi stazionari, irrotazionali di fluidi incomprimibili e non viscosi. Linea di flusso x y z Un linea di flusso è tangente punto a punto al vettore velocità in quel punto Con moti stazionari: le linee sono fisse nel tempo e non si incrociano A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica x y z Si considerano due superfici S1 e S2  a v S2 S1 A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica x y z Si considerano due superfici S1 e S2  a v v1 v2 S2 S1 Nel volume delimitato dalle due superfici considerate in un tempo t: - entra una massa di fluido : m1=1S1v1 t - esce una massa di fluido : m2=2S2v2 t Volume di fluido entrato S1v1t S1 Dato che non vi sono sorgenti: m1 m2 t t ------ = ------- v1t Distanza percorsa da fluido in t e quindi 1S1v1 =2S2v2 Equazione di continuità:  S v =cost A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Per un fluido incomprimibile: 1=2= uniforme Non solo:  S v =cost Ma anche: S v =cost’ la portata Q=Sv è costante Se la portata è costante la velocità e inversamente proporzionale alla sezione v w w > v A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A ,percorre un tratto vA t. Questa massa è compresa tra le superfici SA e SA1 h vAt vA SA SA1 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA1 A A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A1, percorre un tratto vA1 t. Questa massa è compresa tra le superfici SA1 e SA2 h vA1t vA1 SA1 SA2 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA2 A1 A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A ,percorre un tratto vA2 t. Questa massa è compresa tra le superfici SA2 e SA3 h vA2t SA2 vA2 SA3 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA3 A2 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A ,percorre un tratto vA3 t. Questa massa è compresa tra le superfici SA3 e SA4 h vA3t SA3 SA4 vA3 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA4 A2 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A ,percorre un tratto vA4 t. Questa massa è compresa tra le superfici SA4 e SA5 vA4t h SA5 SA4 vA4 A4 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA5 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin vA5t Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A ,percorre un tratto vA5 t. Questa massa è compresa tra le superfici SA5 e SA6 SA6 vA5 SA5 h A5 Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA6 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli vA6t Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin SA6 vA6 SA7=SB A6 Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A ,percorre un tratto vA6 t. Questa massa è compresa tra le superfici SA6 e SA7 h Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA7 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica vBt Teorema di Bernoulli SA8 SA7=SB vA7=vB Si applica il teorema dell’energia cinetica: L = Ecin A7=B Si considera la massa di fluido che in un tempo t, quando si trova in A ,percorre un tratto vA7 t. Questa massa è compresa tra le superfici SA7 e SA8 h Dopo un ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente SA8 Dopo ogni ulteriore intervallo di tempo t la massa avrà attraversato completamente la superficie che la delimitava anteriormente A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Sulla massa di fluido considerata, all’istante iniziale, agiscono le seguenti forze: h p =mg FA1 FA m FA = PA SA , dovuta al fluido che precede SA e che si trova a pressione PA FA1 = - PA1 SA1, dovuta al fluido che segue SA1 e che si trova a pressione PA1 p=mg=gSAvAt, la forza peso FA1 FA SA SA1 p =mg A A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Tali forze compiono il seguente lavoro: LA=FA vAt= PA SA vAt LA1=FA1 vA1t = - PA1 SA1 vA1t L1=mg vAt cos ( angolo fra vA e p) h FA1 FA SA SA1 p =mg A A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Teorema di Bernoulli Nell’intervallo successivo, sulla massa di fluido considerata agiranno le forze: -FA1 = PA1 SA1 , dovuta al fluido che precede SA e che si trova a pressione PA FA2 = -PA2 SA1, dovuta al fluido che segue SA1 e che si trova a pressione PA1 p=mg=gSA1vA1t, la forza peso h vA1t SA1 FA1 FA2 SA2 A1 p =mg -LA1=-FA1 vA1t= -PA1 SA1 vAt LA2=FA2 vA2t = - PA2 SA2 vA2t Lp=mg vA1t cos1 (1 angolo fra vA1 e p=mg) Tali forze compiono il seguente lavoro: A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Lavoro delle forze agenti tra 0 e t=t Lavoro delle forze agenti tra t=t e t=2t LA=FA vAt= PA SA vAt LA1=FA1 vA1t = - PA1 SA1 vA1t L1=mg vAt cos ( angolo fra vA e p) -LA1=-FA1 vA1t= -PA1 SA1 vAt LA2=FA2 vA2t = - PA2 SA2 vA2t L2=mg vA1t cos1 (1 angolo fra vA1 e p) Se si somma il lavoro compiuto dalle diverse forze agenti sulla massa di fluido considerata si ottiene: (LA+LA1+Lp)+ (-LA1+LA2+Lp1)= LA+LA2+Lp+Lp1 = = PA SA vAt – PA2 SA2 vA2t-p h A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica vBt Teorema di Bernoulli SB vB Si ripete la procedura per ogni intervallo di tempo t. Si ottiene che il lavoro complessivamente effettuato dalle forze agenti sulla massa fluida in movimento è dato da: B h vAt L= PA SA vAt – PB SB vBt – mg h vA SA A La variazione di energia cinetica è data semplicemente dalla energia cinetica finale (energia cinetica in B), meno l’energia cinetica iniziale (energia cinetica in A) della massa di fluido considerata: Ec= (1/2) m vB2– (1/2) m vA2 A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica vBt Teorema di Bernoulli SB vB Il teorema dell’energia cinetica L= Ec permette di scrivere la relazione: B h vAt vA SA A PA SA vAt – PB SB vBt – mg h = (1/2) m vB2– (1/2) m vA2 Dato che il fluido è incomprimibile: SA vA t=SBvBt =V PA V – PB V – Vg h = (1/2)  V vB2– (1/2)  V vA2 A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica vBt Teorema di Bernoulli SB vB PA – PB –  g h = (1/2)  vB2– (1/2)  vA2 PA – PB =  g h +(1/2)  vB2– (1/2)  vA2 B h vAt vA SA A PA + (1/2)  vA2 +0 = PB + (1/2)  vB2+  g h In un tubo di flusso la somma dei tre termini è uguale agli estremi del tubo stesso P + (1/2)  v2 +  g h = cost. A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica PA – PB =  g h +(1/2)  vB2– (1/2)  vA2 Teor. Bernoulli Casi particolari: v=0 PA – PB =  g h Legge di Stevino Principio di Pascal v=0 e h=0 PA – PB = 0 h=0 PA – PB = (1/2)  vB2– (1/2)  vA2 Se vB> vA  PA > PB PA PC PB vB vA vc vB > vA A. Stefanel - Fluidodinamica

A. Stefanel - Fluidodinamica Po Teorema di Torricelli Velocità di efflusso h P + (1/2)  v2 +  g h = cost. vo=0 v? P v = 2gh Po +  g h = Po + (1/2)  v2 Indipendente da  Uguale velocità di un sasso che cade! A. Stefanel - Fluidodinamica