Spazio e tempo II Nelle prime lezioni abbiamo usato un modello molto semplice della realtà: Si può descrivere lo spazio con un sistema di coordinate fatto da metri, e questi non dipendono da noi in nessun modo, ma sono una cosa “per conto loro”, è la stessa cosa per il tempo, che viene misurato con un orologio tutto indipendente da noi. In parte questo concetto viene espresso in modo scientifico con le trasformazioni di Galilei Galileo Galilei (1564-1642): matematico, filosofo, fisico (ha studiato anche medicina), “…il suo contributo più importante consiste nel suo nuovo punto di vista della natura della conoscenza fisica…”. Al suo tempo era anche considerato un criminale asociale, minacciato con la tortura e chiuso gli ultimi 8 anni della sua vita in casa – nonostante avesse promesso di migliorare.

x trasformazione di Galilei S’ si muove a velocità v lungo la asse x di S S’ x S punto per In S il punto ha le coordinate: => In S’ il punto ha: trasformazione di Galilei Attenzione!: nella discussione della relatività si usa chiamare le variabili è solo un nome Non si tratta però della derivata

Con le trasformazioni di Galilei, la lunghezza di un oggetto non cambia, non dipende dal osservatore E le velocità – che sono velocità relative -, si sommano: Un oggetto si muova nel sistema S’ con velocità v’ (più precisamente: un osservatore che sta fermo in S’, usando S’ per descrivere S’ S la posizione di un punto, misura che detto oggetto si muove a velocità v) Partenza dell’oggetto in S (al tempo t): Arrivo (al tempo t+Dt): Visto da S, l’oggetto si muove a velocità:

Nel nostro modello del mondo, espresso con le trasformazioni di Galilei, velocità si sommano, non sono una proprietà del oggetto, ma dipendono dal sistema di riferimento scelto dall’osservatore – e non c’è nessun limite di velocità. Nel nostro modello del mondo, espresso con le trasformazioni di Galilei una velocità assoluta non è prevista, non è possibile, non è pensabile

Esiste invece una cosa che ha una sua velocità: La luce. Viaggia sempre con velocità

x x S’ si muove a velocità v lungo la asse x di S Se un segnale di luce, che viaggia da punto (1) a punto (2) viene osservato da S e da S’ con la stessa velocità = c S’ S x x punto(1) punto(2) segue qualitativamente che la lunghezza di un metro e/o la velocità di cammino di un orologio devono essere diverse per S e S’.

Per una discussione quantitativa usiamo un “orologio di luce”: Un raggio di luce rimbalza fra due specchi, Quando viene riflesso in alto, il orologio fa “tic”, quando viene riflesso in basso, fa “tac”. tic l L’orologio viaggia con S’ a velocita’ v ed e’ fermo rispetto a S’ => (“Dt0“ perche x(tic) = x(tac)) tac x y l’osservatore S la vede come segue: vista da S, la luce ha una velocità veff per superare la distanza l di

x y Con: Dilatazione del tempo con

orologio B v 0:00 orologio A 0:00 fermo Orologi in movimento sono più lenti, per un fattore orologio B v 5:30 orologio C 6:00 fermo

ding -dong 0:00 ding -dong 5:00 5:00 0:30 Un ora fa Quando avete suonato le campane? Strano, loro suonano le campane alle 5.30 0:30 Un ora fa Eventi che succedono contemporamente per l’osservatore “fermo”, non succedono contemporamente per l’osservatore in viaggio 6:00

E: Le particella muoni sono instabili, con Vita media di 2.200 ms (muoni fermi, orologi fermi in laboratorio) Se invece i muoni sono in movimento attraverso il laboratorio (con velocità v=0.9994c) la vita media misurata con gli orologi del laboratorio diventa:

E: La vostra navicella spaziale si allontana dalla Terra con velocità relativa di 0.9990 c. Dopo aver viaggiato per 10.0 anni (secondo il vostro orologio, “x(tic)= x(tac)”) vi fermate (sempre rispetto alla terra) alla Stella XY, girate e tornate in dietro in direzione della Terra con la stessa velocità relativa (in modulo). Il viaggio di ritorno dura altri 10.0 anni. Quanto e’ durato l’intero viaggio secondo una misurazione fatta sulla Terra? (si trascurino le fasi di accelerazione) Andata: Dt0 = 10.0 anni Con v = 0.9990 c: Nel viaggio di ritorno tutti i dati rimangano gli stessi, la durata complessiva secondo voi e’ di 20 .0 anni, ma

Se l’astronave viaggia dalla terra alla stella XY, L’orologio fermo, Dt0, e’ nella astronave ( x(tic)=x(tac) ) Ma il metro fermo, L0, e’ quello della terra (distanza terra-stella) Visto dall’ astronave Visto dall’ astronave contrazione della lunghezza

Una astronave di lunghezza 100 m (L0) passa a velocità v=0.9*c Che lunghezza osserviamo noi? Con v=0.9*c =>

=> Niente può avere una velocità più alta di c, per in diventa 0 visto dall’“osservatore fermo” il tempo del viaggiatore “si ferma”. per in diventerebbe negativo => Niente può avere una velocità più alta di c, non esistono velocità infinite.

Non per l’esame: La “ragione pratica” del perchè velocità infinite non possono essere raggiunte sta nel fatto che aumentando l’energia cinetica di un corpo (con una forza che lo accelera) anche la sua massa aumenta. Spingendo più forte un corpo che ha quasi la velocità della luce, questo corpo non aumenterà di tanto la sua velocità, ma invece la sua massa. E vale

Trasformazioni di Lorentz

La teoria di Relatività non è una cosa accademica, che riguarda solo particelle che viaggiano ad altissime velocità, ma invece ha applicazione molto pratiche e quotidiane – infatti noi probabilmente non esiteremmo senza gli effetti protettivi della relatività. un flusso di elettroni viaggia in un filo di metallo: Ogni volta che un elettrone esce dalla fine del filo, un altro elettrone entra all’ inizio del filo, cosi che il numero totale di elettroni rimane costante. Normalmente ci sarà un numero di ioni positivi nel filo uguali al numero di elettroni in moto, cosi il filo è neutrale. Un altro elettrone distante dal filo non sentirà nessuna forza

xa xb ta = tb Detto più precisamente: Il numero di elettroni rimane costante, e il filo in totale non diventa carico perchè allo stesso tempo quando entra un elettrone nel filo, ne esce un altro elettron Anche per il elettrone distante – che non si muove rispetto al filo : ta = tb xa xb Un elettrone entra nel filo a tempo ta Un elettrone esce dal filo a tempo tb ta = tb Teoricamente, gli elettroni possono anche essere numerati: ci sono sempre m elettroni nel filo n+m n n+1

Se invece l’elettrone distante si muove a velocità v, la situazione cambia: ta e tb (visto dal elettrone in moto) non saranno più uguali. Vuol dire: per l’elettrone distante, quando l’elettrone “n” entra nel filo, l’elettrone n+m non esce ancora Per l’elettrone distante, il filo adesso contiene più di m elettroni. => Per l’elettrone, il filo e’ carico: n n+1 n+m Visto che in generale l’elettrone si muove lentamente, v<<c, questo effetto relativistico è molto piccolo. Però, come vedremmo in seguito, la forze elettrica è molto forte, e ci sono tantissimi elettroni nel filo…. L’elettrone in moto viene spinto via dal filo (o attratto, dipende dalla direzione del suo viaggio) xa xb

Non per l’esame, Ma solamente per dimostrarvi che anche voi con alcune ore di lezione in più potreste capire in dettaglio anche queste cose estremamente avanzate, scriviamo la formula precisa: Per ta=tb l’elettrone in viaggio trova (dalle equazioni di Lorenz): e da segue direttamente che il numero totale di “carica in eccesso”, è di conseguenza la forza che agisce sul elettrone in viaggio

Forze gravitazionale e elettrica (spazio e tempo III) I campi Si parla di un campo, quando ad ogni punto dello spazio si può associare una grandezza. Se questa grandezza e’ un vettore, il campo si chiama vettoriale. Si può illustrare un campo vettoriale con le linee di campo: le linee di campo vanno nella direzione dei vettori, e la distanza fra le linee indica la grandezza di questi vettori, esempio: Campo di velocità di un fiume: ad ogni punto nel fiume, l’acqua ha una certa velocità. Dove la sezione del flusso si abbassa, per esempio per la metà, le densità delle linee di flusso raddoppia per ragioni di geometria.

=> Il fatto che una massa (per esempio la terra) ne attiri un’altra (per esempio una mela) può anche essere descritto in termini di un campo vettoriale. Per cominciare la discussione in modo più semplice possibile, assumiamo che questa seconda massa sia molto piccola, così che non faccia un contributo rilevante al campo creato dalla massa primaria. Nel nostro esempio: la mela viene attirata dalla terra, ma senza modificare il campo della forza di gravità.

Il campo di forza intorno alla massa potrebbe essere così: Vogliamo però anche assumere, che rotare la massa non cambia il campo: Adesso, rotando in la densità delle linee non cambia

r y Caso bi-dimensionale: Lo spazio abbia solamente due direzioni, x e y: Non sappiamo dire un numero assoluto per le linee di campo, ma sicuramente per ogni circonferenza di 2rp troveremo lo stesso numero di linee di campo che vuol dire che la densità della linee di campo si abbassa con r come x r Nel caso tri-dimensionale: Il numero di linee di campo è la stessa per ogni sfera di raggio r. Superficie della sfera: => densità delle linee di campo diventa =>La forza (che è proporzionale alla densità delle linee) diventa

Altra assunzione ancora: I campi di due masse si sovrappongono, senza disturbarsi a vicenda – La forza creata da due masse è il doppio della forza creata da una massa Esempio: Con un insieme di masse Mi, che sono una sempre la metà Dell’altra, come Si può creare una qualsiasi massa, così come si può creare un qualsiasi numero con i numeri digitali E perciò è vero: se la doppia massa crea la doppia forza, in generale deve essere vero, che la forza è proporzionale alla massa

Il campo gravitazionale esploriamo con una piccola massa di prova, m. Dal precedente lucido e’ chiaro, che anche per esse deve essere vero, che la forza che sente, e’ proporzionale alla sua massa, m. In somma: la forza che crea una massa M su una massa m deve essere proporzionale a m M E ovviamente deve essere: forza= -controforza

Se vogliamo considerare anche il carattere vettoriale del campo, usiamo semplicemente la riduzione del vettore r stesso

Mantenendo la nostra assunzione, che i campi di due sorgenti si sovrappongono senza disturbarsi è vero anche: La massa di prova può anche essere grande, senza che F cambi. Scriviamo invece di M e m più in generale m1 e m2. 2) Le linee del campo saranno una sovrapposizione dei due campi che m1 e m2 avrebbero separatamente (e che sono separatamente simmetrici in f), e in conseguenza il campo risultante totale non potrà avere più simmetria rotatoria

Segue la legge della gravità: (I.Newton) Ad oggi, G non può essere ottenuto da considerazioni generali, ma deve essere misurato

Tre particelle con m1=6.0 kg, m2=m3=4.0 kg, a=2.0cm Qual è la forza di gravità netta F1 esercitata su m1 dalle altre masse? y m2 a m1 m3 x 2a

Segue la legge della gravità: (I.Newton) Ad oggi, G non può essere ottenuto da considerazioni generali, ma deve essere misurato In prossimità della superficie terrestre, questa forza diventa uguale alla forza peso, che abbiamo già discusso nel precedente m = “massa di prova” r = raggio della terra

Pianeta Raggio (Km) Massa (kg) Mercurio 2433 3,2.1023 Venere 6080 Date le masse dei nove pianeti del sistema solare ed i loro raggi, completare la tabellina, calcolando l’ accelerazione di gravità sulle loro superfici Pianeta Raggio (Km) Massa (kg) Mercurio 2433 3,2.1023 Venere 6080 4,9.1024 Marte 3386 6,4.1023 Giove 71370 1,9.1027 Saturno 60369 5,7.1026 Urano 24045 8,7.1025 Nettuno 22716 1,0.1026 Plutone 5700 1,1.1024

Pianeta Raggio (Km) Massa (kg) g (m/s2) Mercurio 2433 3,2.1023 3,60 L’ accelerazione di gravità alla superficie è circa: G è la costante universale di gravitazione: G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 Sostituendo a R il raggio riportato nella prima tabellina, a M la massa del particolare pianeta, si ottiene: Pianeta Raggio (Km) Massa (kg) g (m/s2) Mercurio 2433 3,2.1023 3,60 Venere 6080 4,9.1024 8,84 Marte 3386 6,4.1023 3,72 Giove 71370 1,9.1027 24,87 Saturno 60369 5,7.1026 10,43 Urano 24045 8,7.1025 10,04 Nettuno 22716 1,0.1026 12,92 Plutone 5700 1,1.1024 2,26

Per forze conservative: Lavoro svolto dalla forza su una particella che si muove dal punto i al punto f Variazione di energia potenziale subita dal sistema

Velocità di fuga Lavoro per portare una massa, m, da R al infinito: con Velocità di fuga: Se mettiamo lo zero dell’ energia potenziale all’ infinito:

Giove ha diversi satelliti Giove ha diversi satelliti. Si consideri il satellite Io: esso orbita intorno a Giove in 42h 28m 16s, ad una distanza da Giove di 430000 km. Calcolare la massa di Giove Dalle leggi di Newton abbiamo: Cancellando la massa di Io ad entrambi i membri e tenendo conto della velocità angolare di Io: E della distanza da Giove si ha:

Tutti argomenti presentati riguardano solo lo spazio – Segue, che anche per altre “proprietà” e non solo per la massa, questa legge deve essere valida (a parte la costante), se i campi si sovrappongono e se la sorgente del campo è simmetrica sotto rotazioni. Perciò dalla forza fra cariche elettriche segue una legge della stessa forma, sono diversi solo le unità e la costante Con costante elettrostatica: Per ragioni storiche la costante elettrostatica spesso viene espresso come Con l’unica differenza, che esistono due tipi di carica elettrica – positiva e negativa -, così la forza può essere attrattiva o repulsiva, mentre la forza di gravità è sempre attrattiva “costante dielettrica del vuoto” La carica elettrica, q, ha come unità il Coulomb (definito fra poco) Charles Augustin Coulomb (1785)

Alcune osservazioni spesso, la sorgente del campo non è simmetrica verso rotazione, per esempio la pianeta terra non è una sfera perfetta. Perciò vale solo in approssimazione 2) Anche non è sempre vero che campi si sovrappongano senza disturbarsi. Per esempio per la forza forte questo non è vero. Il campo della forza forte è sorgente del campo di forza forte: ogni volume di campo crea un altro campo, che interagisce con il campo da cui è stato creato, creando un altro campo, che a sua volta …. 3) Non sappiamo di sicuro, cosa vuol dire “m” e “r” quando

Paragone di forze Dato una certa distanza, r, la forza F dipende da “G” e “m” o “k” e “q” m viene misurato in chilogrammi: un chilogrammo è circa la massa di una busta di mele q viene misurato in Coulomb: 1 Coulom è la carica elettrica che fluisce attraverso una piccola lampadina ogni secondo (1 Coulomb = 1 Ampere per 1 secondo) => Sia m sia q vengono espresso in unità “quotidiane” che corrispondono alla nostra esperienza nel mondo macroscopico Il fatto, che le costanti G e k siano molto differenti vuol veramente dire, che la forza elettrica è molto, molto più forte della forza di gravità.

Lo chiamiamo campo elettrico, E Se dividiamo il campo di forza per la “carica di prova” Otteniamo un campo che descrive solo l’effetto della carica q1 Lo chiamiamo campo elettrico, E