A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Tr2 Stazione B Stazione C Tr1 LAC Stazione A Due treni Tr1 e Tr2 partono da due stazioni diverse, distanti L, allo stesso istante. Si muovono entrambi verso la stazione C, distante LAC dalla stazione A, su due binari paralleli con velocità costanti: il treno Tr1 con velocità v1, il treno tr 2 con velocità v2<v1. D) Il treno Tr1 riesce a raggiungere il treno Tr2 prima di arrivare alla stazione C? D1) A che istante ciò avviene? D2) che distanza dalla stazione A, Tr1 raggiunge Tr2? A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 y Tr2 Tr2 Stazione B Tr1 Stazione C Tr1 x Stazione A x1(t) = v1 t y1(t) = 0 z1(t) = 0 Tr1: (x1;y1;z1) Moto uniforme con velocità v1 lungo x Il treno Tr1 raggiunge il treno Tr2 se ad un certo istante t’ si ha: x1(t’) =x2(t’) x2(t) = v2 t + L y2(t) = y2(0) z2(t) = 0 Tr2: (x2;y2;z2) Moto uniforme con velocità v2 lungo x A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 y Tr2 Stazione B Tr1 Stazione C x Stazione A Il treno Tr1 raggiunge il treno Tr2 se ad un certo istante t’ si ha: Tr1: (x1;y1;z1) Moto uniforme con velocità v1 lungo x x1(t) = v1 · t y1(t) = 0 z1(t) = 0 x1(t’) =x2(t’) v1 · t’ = v2 · t’ + L x2(t) = v2 · t + L y2(t) = y2(0) z2(t) = 0 Tr2: (x2;y2;z2) Moto uniforme con velocità v2 lungo x (v1 - v2) · t’ = L t’ = L/(v1 - v2) x1(t’) = v1 · t’ = L v1/(v1 - v2) A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Tr2 Stazione B Stazione C Tr1 LAC Stazione A D1) A che istante ciò avviene? D2) che distanza dalla stazione A, Tr1 raggiunge Tr2? R1: t’ = L/(v1 - v2) R2: x1(t’) = L v1/(v1 - v2) D) Il treno Tr1 riesce a raggiungere il treno Tr2 prima di arrivare alla stazione C? R: Si, se LAC > L v1/(v1 - v2) No, se LAC < L v1/(v1 - v2) NB: i due treni giungono insieme alla stazione se LAC = L v1/(v1 - v2) Che velocità deve tenere il treno Tr1 affinché ciò accada? A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Tr2 Stazione B Stazione C Tr1 LAC Stazione A D1) A che istante ciò avviene? D2) che distanza dalla stazione A, Tr1 raggiunge Tr2? R1: t’ = L/(v1 - v2) R2: x1(t’) = L v1/(v1 - v2) R: Si, se LAC > L v1/(v1 - v2) No, se LAC < L v1/(v1 - v2) D) Il treno Tr1 riesce a raggiungere il treno Tr2 prima di arrivare alla stazione C? Dati numerici: v1 = 100 km/h v2 = 80 km/h L = 30km LAC = 120 km v1 = 27,78 m s-1 v2 = 22,22 m s-1 L = 3,0·104 m LAC = 1,20 105 m t’ = L/(v1 – v2) = 3 104 /(27,78-22,22) = 5,00·103 s t’ = 1,5 h x1(t’) = L v1/(v1 - v2) = 3 ·104 ·27,78/(27,78-22,22)= 1,5 105 m A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Tr2 Stazione B Stazione C Tr1 LAC Stazione A I due treni giungono insieme alla stazione se LAC = L v1/(v1 - v2) Che velocità deve tenere il treno Tr1 affinché ciò accada? (v1 - v2) LAC = L v1 v1 (LAC – L) = LAC v2 v1 = LAC v2/(LAC – L) Dati numerici: v2 = 80 km/h L = 30km LAC = 120 km v2 = 22,22 m s-1 L = 3,0·104 m LAC = 1,20 105 m v1 = LAC v2/(LAC – L) = 1,20 ·105 ·22,22/[(1,20 -0,3)·105] = 29,63 m s-1 v1 = 106,67 km h-1 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Una palla viene calciata con velocità orizzontale vo dalla sommità di un palazzo, alto h. Determinare, nel caso in cui sia trascurabile l’attrito dell’aria: D1) a che distanza dalla base del palazzo cade la palla D2) in quanto tempo cade D3) qual è il modulo della velocità D4) che angolo forma con il piano orizzontale il vettore velocità A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 La palla in volo interagisce solo con la terra (dato che si è supposto trascurabile l’interazione con l’aria). L’unica forza agente sulla palla è la forza peso. Essa è diretta verticalmente verso il basso ed ha modulo costante uguale a mg. Scelti gli assi come in figura la forza peso è diretta lungo y nel suo verso positivo x z Moto lungo x : uniforme con velocità vo. Moto lungo y : uniformemente accelerato con accelerazione costante g=9,81 m s-2 con velocità iniziale di 0 m s-1. h Moto lungo z : uniforme con velocità 0 m s-1 m(la palla si muove nel piano yx a z costante) y A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 F = m a x ax = Fx/m = 0 ay = Fy/m = g az = Fz/m = 0 z vx = vo vy = g·t vz = 0 x = v ·t y = (g/2) · t2 z = 0 Traiettoria: sul piano x,y h y A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 x = v ·t y = (g/2) · t2 x (xo;h) z Traiettoria della palla: t = x / v y = [g/(2v2)] x2 Equazione di una parabola con vertice nell’origine e concavità nel verso positivo delle ordinate x2 = 2v2y/g x = v 2y/g xo = v 2h/g distanza caduta h t’ = 2h / g tempo caduta y A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Traiettoria della palla: y = [g/(2v2)] x2 x xo = v 2h/g distanza caduta z t’ = 2h / g tempo caduta Velocità di impatto al suolo vx (t’) = vo vz = 0 Modulo: v (t’) = vo2 + (gt’)2 = = vo2 + 2gh vy (t’) = g·t’ Direzione (xo;h) h  tg = vy(t’) / vx(t’) y A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 x D1) a che distanza dalla base del palazzo cade la palla D2) in quanto tempo cade D3) qual è il modulo della velocità D4) che angolo forma con il piano orizzontale il vettore velocità xo = v 2h/g z t’ = 2h / g v (t’) = vo2 + 2gh (xo;h) h tg = vy(t’) / vx(t’)  y A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il carrello in moto sul tavolo Un carrello di massa M appoggiato su un tavolo orizzontale subisce un colpo improvviso. Comincia a muoversi sul tavolo con una velocità v0. A causa delle forze d’attrito agenti su di esso, che nel caso specifico si possono descrivere con un’unica forza costante, si ferma dopo un tempo t = t’ e avendo percorso un segmento rettilineo lungo L. vo Determinare: D1: la velocità con cui si è mosso inizialmente il carrellino D2: la sua accelerazione D3: il coefficiente d’attrito Dati: t’ = 1,3 s; L = 0,24 m ; M = 0,7 kg; g = 9,81 m s-2 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il carrello interagisce con la Terra: la forza che la terra esercita sulla macchinina è il peso (mg) Il carrello interagisce con il piano del tavolo: la forza che esercita sulla macchinina è inclinata all’indietro verso l’alto. Terra Terra A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 x y z A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 x y z R = FT + P FT Rx = 0 Ry = FTy Rz = FTz + Pz P=mg Pz = - mg Dato che il tavolo non si sfonda FTz = - Pz = mg Rz = 0 FTy è la forza d’attrito esercitata sul carrello FTy = -  mg (ha verso opposto a quello positivo dell’asse y) A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 x y z II legge della dinamica R = m a FT ax m = Rx = 0 ay m =Ry = FTy az m = Rz =0 FTz = - Pz = mg FTy = -  mg P=mg ay =Ry / m = - g az = Rz / m =0 ax = Rx / m = 0 vy (t)= - g t + vo vz (t) = 0 vx (t) = 0 y (t) = - [(g)/2] t2 + vot z (t) = 0 x (t) = 0 vy (t’)= 0 = - g t’+ vo y (t’) = L = - [(g)/2] t’2 + vot’ t’ = vo / g L = - [(g)/2] (vo / g )2 + vo(vo / g ) = = - vo2 /(2g) + vo2 /(g)= vo2 /(2g) A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 x y z ay =Ry / m = - g FT 0 = - g t’ + vo t’ = vo / g L = - [(g)/2] t’2 + vot’ P=mg L = vo2 /(2g) L = ½ vo t’ vo = 2L/t’ vo = 2· 0,24 /1,3= = 0,37 m s-1 g = vo2 /(2 L) = (4 L2/ t’2) /(2 L) = 2 L / t’2  = 2 L / (g t’2)  = 2 · 0,24 / (9,81 · 1,32) = 0,03 Dati: t’ = 1,3 s; L = 0,24 m ; M = 0,7 kg; g = 9,81 m s-2 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il carrello trainato da una cordicella y x m Fx = M ax Fy = 0 Fx è la forza T esercitata dal filo sul gancio Essa è uguale e contraria alla forza che il filo esercita sulla massa m (si costruisce una catena di azioni e reazioni uguali e contrarie perché forze di interazione, ossia per il III principio della dinamica), se il filo è inestensibile e perfettamente flessibile e la carrucola ruota con attrito trascurabile In queste condizioni si ha anche che due masse hanno uguale accelerazione a (essa per il carrello è uguale a ax). Secondo principio dinamica Massa m -T + mg= m a -Ma +mg = ma a= mg /(M+m) Carrello T = M a A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il pendolo inclinato Una massa m è appesa ad un filo inestensibile e flessibile di lunghezza L. Determinare l’intensità di una forza costante F diretta orizzontalmente che fa formare al pendolo un angolo  con la verticale.  F A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il pendolo inclinato y Le forze agiscono tutte sul piano xy. Ci si può limitare ad analizzare il problema lungo queste due direzioni T  F x z mg A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il pendolo inclinato y Le forze agiscono tutte sul piano xy. Ci si può limitare ad analizzare il problema lungo queste due direzioni T  F x Il pendolo è in equilibrio: R=0 Rx = 0 Ry = 0 P = mg Tx + F =0 Ty + P = 0 T sen  + F =0 T cos  + P = 0 g = 9,81 m s-2 P = -mg T = - F / sen  -F cos / sen  = mg T = mg / cos  F = - tg  mg A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il Paranco Carrucola fissa La carrucola mobile di massa m’ è in equilibrio sotto l’azione delle seguenti forze: La forza peso m’g La forza esercitata dal filo a cui è appesa la massa M (Se il filo non si rompe tale forza è uguale al peso Mg che agisce sulla massa M) La tensione esercitata dal cavetto di destra la cui estremità è bloccata a un perno fisso La tensione esercitata dal cavetto di sinistra che passa sulla carrucola fissa (se il filo è inestensibile, è flessibile, le forze d’attrito sulla puleggia sono trascurabili, tale tensione è uguale a -mg, ossia la forza peso che agisce su m. m Carrucola mobile M A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il Paranco tensione esercitata dal cavetto di destra tensione esercitata dal cavetto di sinistra Td Ts = -mg Carrucola mobile m’ g Mg La forza peso m’g La forza esercitata dal filo a cui è appesa la massa M il paranco è in equilibrio Ts +Td + (m’ + M) g = 0 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 Il Paranco Ts +Td + (m’ + M) g = 0 Dato che la carrucola mobile non ruota Ts =Td Td Ts = -mg 2 Td + (m’ + M) g = 0 Carrucola mobile m’ g Td = (m’ + M) g/2 Mg Ts =Td = mg m = (m’ + M)/ 2 Se m’ / M << 1 m = M/ 2 A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1