Fisica 2 Elettrostatica 6a lezione

Programma della lezione Lavoro della forza elettrica Potenziale elettrico Integrale di linea del campo elettrico Conservatività del campo elettrico Relazione differenziale tra campo e potenziale Superfici equipotenziali

Lavoro della forza elettrica Lavoro (su di una carica esploratrice q) di una forza generata da una distribuzione di carica Nel caso particolarmente semplice di una sola carica puntiforme

Energia potenziale elettrica La variazione di energia potenziale è uguale al lavoro cambiato di segno Nel caso particolare di una sola carica puntiforme

Potenziale elettrico E’ l’energia potenziale per unità di carica (esploratrice) q Nel nostro caso particolare vale E’ proporzionale alla carica Q che genera il campo

Potenziale elettrico di una carica puntiforme Possiamo riscrivere così il potenziale in un punto arbitrario B La costante C è uguale per tutti i punti dello spazio In genere si usa scegliere C nulla, in modo che il potenziale all’infinito sia nullo Possiamo dunque esprimere il potenziale così

Potenziale elettrico di una carica puntiforme. Forma alternativa La forma precedente presume che la carica sia posta nell’origine delle coordinate Lasciamo cadere questa posizione e riscriviamo in modo più generale il potenziale elettrico Questa forma è particolarmente utile quando abbiamo più di una carica

Potenziale di più cariche Usiamo il principio di sovrapposizione per E: troviamo un analogo principio per V Nel caso particolare di cariche puntiformi Se non vi sono cariche all’infinito possiamo scegliere la costante C nulla, così che il potenziale è nullo all’infinito

Distribuzione continua Possiamo considerare ogni volume infinitesimo di carica come una carica puntiforme e poi sommare i contributi al potenziale di tutte le infinite cariche (integrare sul volume) Possibili problemi matematici di convergenza

Dimensioni e unità del potenziale Dalla definizione segue che le dimensioni del potenziale sono quelle di un’energia diviso una carica L’unità di misura è il volt pari a joule diviso coulomb: J/C oppure a newton volte metro diviso coulomb: Nm/C

Potenziale elettrico Riassumendo: Abbiamo così ottenuto l’importante relazione integrale tra potenziale elettrico e campo elettrico Vale solo per campi statici verrà generalizzata da Faraday a campi elettrodinamici (3° legge dell’e.m.)

Conservatività della forza elettrica L’espressione: afferma che la ddp dipende solo dai punti iniziale e finale, non dal cammino seguito Quindi E siccome

Conservatività della forza elettrica Possiamo riscrivere: Cioè l’integrale di linea del campo E (statico) su di una linea chiusa è nullo

Forma differenziale della conservativita` del campo elettrico Trasformiamo la circuitazione di E mediante il teorema di Stokes Assegnato C, l’integrale di destra e` nullo qualunque sia la superficie S che poggia su C Ne segue che vale identicamente

Relazione differenziale tra campo e potenziale La relazione tra campo e potenziale che abbiamo espresso in forma integrale, può essere anche espressa in forma differenziale

Relazione tra campo e potenziale Ovvero, in forma differenziale: Questa formula ci può anche essere utile per trovare il campo elettrico, calcolando prima il potenziale Dobbiamo calcolare un solo integrale invece di tre, e poi dobbiamo fare tre derivate parziali

Rotazione di un gradiente Partiamo dall’equazione Facciamo il rotore di entrambi i membri Studiamo una qlq. componente del secondo membro Ne segue che la rotazione di un gradiente è identicamente nulla

Rotazione del campo elettrico (statico) Poiche’ il campo elettrico si puo` scrivere come il gradiente del potenziale Per quanto appena visto sulla rotazione, ne segue che la rotazione del campo elettrico (statico) e` nulla

Superfici equipotenziali Sono superfici perpendicolari al campo elettrico Equipotenziale significa infatti che V è costante sulla superficie, quindi dV=0 Dalla relazione tra campo e potenziale segue che il campo elettrico è perpendicolare a qualunque vettore che giace su una tale superficie