Interferenza Diffrazione (Battimenti) Onde 3 30 novembre 2012 Interferenza Diffrazione (Battimenti)

Fenomeni ondulatori Interferenza e diffrazione sono fenomeni esclusivamente ondulatori e sono dovuti alla sovrapposizione di due o più onde La sovrapposizione può essere costruttiva o distruttiva, in dipendenza della fase relativa tra le onde che si sovrappongono Noi studieremo i seguenti fenomeni Interferenza tra due fenditure (Young) Diffrazione da una fenditura

Coerenza Un concetto importante è quello di coerenza: due o più onde sono coerenti se mantengono costante la loro differenza di fase relativa

Interferenza L’interferenza riguarda la distribuzione spaziale della sovrapposizione di onde di ugual frequenza e coerenti Il risultato è diverso da punto a punto, a seconda dello sfasamento relativo delle singole onde Per semplicità sovrapporremo due onde armoniche, di ugual direzione e ampiezza

Interferenza L’esempio classico è l’esperienza di Young, in cui un’onda piana monocromatica incide su uno schermo su cui sono praticate due fenditure (distanti D l’una dall’altra) Per il PdH le due fenditure si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti, la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno dell’interferenza 5

Interferenza Per semplicità geometrica studiamo l’interferenza su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalle fenditure, in tal caso i cammini ottici sono semirette parallele  6

Interferenza z Analizziamo l’interferenza per ciascuna direzione  e diciamo z la coordinata relativa ad  Per la simmetria delle fenditure, le due onde hanno ugual ampiezza A per lo stesso  (A e` funzione di ) Hanno inoltre una differenza di fase fissa  dovuta alla differenza di cammino ottico La differenza di fase è data dalla proporzione E quindi   l D 1 2 7

Interferenza Le due onde hanno dunque forma La funzione che ne rappresenta la sovrapposizione è la loro somma Applicando le formule di Werner, otteniamo L’espressione in parentesi quadre è l’ampiezza dell’onda risultante

Interferenza L’ampiezza dipende dallo sfasamento e può assumere il valore minimo, zero, per  o 2n+1) e il valore massimo, 2A, per  o 2n Il valore minimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero dispari di mezze lunghezze d’onda: interferenza distruttiva Il valore massimo corrisponde ad una differenza di cammino di un numero intero di lunghezze d’onda: interferenza costruttiva

Interferenza Poiché l’intensità di un’onda è proporzionale al quadrato dell’ampiezza, l’intensità dell’onda di interferenza sullo schermo varia tra zero e quattro volte l’intensità delle singole onde sulle fenditure Iinterf f/2 Grafico dell’intensita` nel caso particolare in cui A sia costante rispetto ad a

Interferenza Commento sul fattore 4: questo non comporta una violazione della conservazione dell’energia, ma solo una redistribuzione spaziale dell’energia Nel caso le onde abbiano ampiezza diversa, un’analisi piu’ approfondita porta al risultato che l’intensità dell’onda risultante varia tra 11

Diffrazione Consideriamo un’onda piana monocromatica di ampiezza A0 incidente su uno schermo con una fenditura di larghezza D Per il PdH tutti i punti della fenditura si comportano da sorgenti di onde sferiche coerenti, la cui sovrapposizione al di là dello schermo, dà luogo al fenomeno della diffrazione

Diffrazione Per semplicità geometrica studiamo la diffrazione su uno schermo a grande distanza (potenzialmente infinita) dalla fenditura, in tal caso i cammini ottici sono semirette parallele 

Diffrazione z Analizziamo la diffrazione per ciascuna direzione  e diciamo z la coordinata relativa ad  Le onde elementari hanno ugual ampiezza dA per lo stesso  Un punto Q della fenditura a distanza y dal punto più alto P, ha una differenza di fase  dovuta alla differenza di cammino ottico La differenza di fase è data da P  Q  l y P Q 14

Diffrazione Detta dA l’ampiezza infinitesima di ciascuna onda elementare, queste hanno forma Ove A =dA/dy=A0/D (NB: A non dipende da y) Detto l’onda risultante sarà data dall’integrale delle onde elementari su tutta la fenditura

Diffrazione Applicando le formule di Werner e sostituendo i valori di b e u L’ampiezza dell’onda diffratta risultante è quindi Con AD=A0 ampiezza dell’onda incidente

Diffrazione Se per semplicità assumiamo che A0 sia costante rispetto ad a, l’intensità dell’onda diffratta sullo schermo è Notare che l’intensità è diversa da zero anche per a (e c) diversa da zero Idiff c

Battimenti Il fenomeno dei battimenti è in un certo senso complementare a quello dell’interferenza: riguarda l’evoluzione temporale della sovrapposizione di onde di frequenza diversa in un punto determinato dello spazio Consideriamo due onde che per semplicità supponiamo armoniche e di ugual ampiezza

Battimenti Nel punto arbitrario x* assumono la forma La loro sovrapposizione in questo punto si calcola ricordando la formula del coseno di una somma con

Battimenti A parte due fasi inessenziali, la funzione è del tipo Il fenomeno vero e proprio dei battimenti si riferisce alla sovrapposizione di due onde sonore le cui frequenze sono circa uguali, allora Cioè si ottiene un’onda sinusoidale di frequenza molto vicina a quella delle onde che si sovrappongono: con un’ampiezza che non è costante, ma modulata secondo una funzione sinusoidale di frequenza molto minore, che è poi quella che dà la sensazione acustica di battimento:

Battimenti Quel che l’orecchio percepisce è l’intensità dell’onda risultante, che è proporzionale al quadrato dell’ampiezza La modulazione dell’intensità ha frequenza doppia rispetto all’ampiezza L’intensità varia da un minimo di 0 ad un massimo di 4I0