Conservazione di Energia Trasferimento di momento lineare Trasferimento di energia Prodotto scalare di due vettori F Una forza F trascina un corpo per la distanza Dl in un intervallo di tempo Dt. (*) Anche per l’energia Robert von Mayer, medico, 1840, pazzo suicida (*)

E perchè???? La conservazione di energia e momento si spiega nel senso che è inevitabile, se spazio e tempo sono uniformi – se non esistono punti nello spazio o tempo che sono preferiti verso altri punti. Uniformità dello spazio => conservazione di momento Uniformità del tempo => conservazione di energia Emmy Noether

Come abbiamo visto: Per portare un corpo di massa m da velocità 0 a velocità v si deve trasmettere il momento lineare Ma si deve anche trasmettere l’energia si chiama energia cinetica Ci sono varie forme di energia, come energia di calore (che è pero una forma di energia cinetica) o energia di potenziale. La energia può “cambiare forma”, per esempio energia potenziale può diventare energia cinetica, ma l’energia non può essere creata o distrutta.

Energia Potenziale h Dato un qualsiasi punto di riferimento: Se ad ogni punto dello spazio si può associare una certa energia, si parla di “energia potenziale” Una massa di 1kg ha al 10. piano di un palazzo (ogni piano 3 m) la energia potenziale Rispetto al suolo Rispetto al garage sotterraneo ha 330 Joule 33m 30m

Se alziamo un corpo di peso ad una altezza , aumenta la sua energia potenziale come Se abbassiamo lo stesso corpo per , si riduce la sua energia potenziale. Se il corpo cade in caduta libera, la sua energia potenziale si trasforma in energia cinetica. F h Notate: precedentemente abbiamo concluso (considerando la distanza “r” invece della altezza “h”) : con e Partendo dalla assunzione a=g=const. => Quale è la formulazione più semplice e generale? => minima azione

Palla da biliardo Precedentemente abbiamo visto che non siamo riusciti a risolvere il problema della palla da biliardo, usando solo la conservazione di momento lineare: Se una palla a velocità v colpisce una palla ferma, le due palle dopo si muovono insieme con ognuno 1/2v, o una continua con v, l’altra rimane ferma? (o una con 0.9v, l’altra con 0.1v etc)

Adesso possiamo risolvere il precedente problema delle palle di biliardo: Sappiamo: Abbiamo considerato due casi (si potrebbe immaginare tanti altri), che rispettano tutte e due la conservazione del momento lineare: a) Dopo l’urto le due palle si muovono ognuna con b) Dopo l’urto una palla rimane ferma, l’altra corre via con Nel caso (a): Vietato! E va bene! Nel caso (b): Conservazione di energia e momento ci dicono cosa può succedere e cosa no

Da tutto ciò una volta si è concluso che il mondo è come un grande orologio: è determinato già adesso cosa succederà nel futuro. Invece non è cosi. Abbiamo considerato solo l’urto centrale: Se l’urto non e’ centrale, esistono tantissime possibiltà. E nel caso di tante palle, già un minuscolo cambiamento della direzione della prima palla può creare un risultato molto diverso: Allora, in verità regna il caso o il caos? Assolutamente no! Lo vediamo più in avanti (se rimane tempo)

Esercizio: carrelli ferroviari Carro arriva con E’ una cosa possibile? Descrivere in termini di trasferimento di energia e momento lineare Carri connessi continuano con velocità comune Segue che E’ possibile, in quanto viene dissipata energia! Energia cinetica-> energia di calore

Esercizio: elica a vento Problema: supponiamo che il vento abbia la velocità v1 molto prima dell’elica e dopo averla attraversata abbia velocità v3. A quale velocità attraversa l’elica? L’elica è considerata un disco che estrae energia dal flusso in modo uniforme. Soluzione: Il modulo della forza del vento sull’elica e dell’elica sul vento sono uguali. La forza fra un volume d’aria e l’elica la chiameremo F. La lunghezza del volume (nel direzione del flusso) la chiameremo Dx Il tempo in cui il volume attraversa l’elica lo chiameremo Dt La velocità dell’aria che attraversa l’elica risulta v2 = Dx/Dt Dobbiamo determinare il rapporto fra Dx e Dt per risolvere il problema.

Consideriamo anche che: Vuol dire: la velocità dell’aria che attraversa l’elica è la media fra la velocità molto prima e molto dopo l’elica.

v x elica potenza = energia/tempo Più alto v, più alta la potenza! – perchè non possiamo alzare v sopra Perchè in tal caso Dt si abbassa, mentre Dx rimane uguale Il flusso d’aria perderebbe troppo poco momento paragonato con la perdita d’energia

Di conseguenza: se vogliamo aumentare v2, dobbiamo estrarre il momento lineare “di eccesso” forza vento controforza Vela esterna La vela esterna non si muove, Dx=0 Viene solamente estratto momento lineare => v può aumentare

E: Una pallottola da 30 g, con velocità iniziale di 500 m/s penetra per 12 cm in una parete di muratura prima di fermarsi Di quanto si riduce l’energia della pallottola? Qual è la forza media che ha agito sulla pallottola mentre entrava nella parete? Quanto tempo ha impiegato la pallottola per fermarsi? Prima Dopo x Usiamo il sistema di riferimento del Laboratorio per descrivere il moto: la parete è ferma in tale sistema L’energia meccanica totale coincide con l’energia cinetica. Nell’ipotesi di un moto orizzontale come mostrato in figura, non c’è variazione dell’energia potenziale della forza peso Circa 100 mila volte il peso

tempo impiegato dalla pallottola per fermarsi: La quantità di moto finale è nulla Quella iniziale ha solo la componente x Il proiettile impiega 3.2 centesimi di secondo per fermarsi

Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto. La pallottola (da m=30 g, viene sparata orizzontalmente con velocità di 500 m/s) contro un blocco di legno di massa M=4kg appeso ad una fune di lunghezza L=2m. Determinare la perdita di energia meccanica nell’urto. Se la pallottola è penetrata nel pendolo per un tratto di 3cm, stimare la forza media che ha frenato la pallottola rispetto al blocco e la durata dell’urto Da paragonare con 3750 J

Urto centrale elastico-bersaglio fermo Per risolvere il sistema conviene metterlo in questa forma: Dividendo membro a membro la seconda per la prima:

Il Principio della minima azione Bastano per il esame. Però: 1) In situazioni complicate, con tante forze diverse che puntano in direzioni diverse, sarebbe molto difficile valutare per esempio 2) F=-F’ più precisamente vuol dire “per ogni forza c’è allo stesso tempo una contro forza” – nella teoria di relatività (e nell’elettromagnetismo) non è banale stabilire cosa vuol dire “allo stesso tempo” 3) Se si lavora con onde, invece di punti di massa, come applicare Si usa un metodo più generale:

Legge della minima azione: ogni processo avviene così che Si definisce : T energia cinetica, V energia potenziale L viene chiamato “funzione di Lagrange” Legge della minima azione: ogni processo avviene così che estremo (minimo o massimo) (*) ha la dimensione di una “azione” := (*) Non per l’esame

Attrito Gli esseri umani cercano da 3000 anni di capire come funziona il mondo. Perchè hanno trovato solo 200-300 anni fa? Forse perchè la conservazione di energia (e momento) sono contro intuitivi: nella vita quotidiana l’energia NON sembra MAI conservata Perchè un corpo che si muove libero da forze esterne si trova raramente, c’è sempre la forza di attrito.

Attrito statico: il corpo non è in moto Al massimo Forza fra corpo e superficie Attrito dinamico: corpo scivola Forza fra corpo e superficie

Esercizio per v = cost. per accelera

Una forza F di 400 N è necessaria per mettere in moto una scatola di massa m=40 kg sopra un pavimento di calcestruzzo. a) Qual è il coefficiente di attrito statico tra la scatola ed il pavimento? b) Se il coefficiente di attrito dinamico tra una cassa di 20 kg ed il pavimento è di 0,30, quale forza orizzontale è necessaria per muovere la cassa a velocità costante sul pavimento? Per trovare il coefficiente di attrito statico, occorre eguagliare la forza che spinge la scatola, alla forza di attrito che oppone resistenza al moto: dove m è il coefficiente di attrito statico. Da questa eguaglianza risulta: b) Si chiami md il coefficiente di attrito dinamico. Allora deve essere:

Supponete di avere un tappo metallico appoggiato su un piano che è stato inclinato di un angolo q rispetto al piano orizzontale. Dopo vari tentativi si trova che quando q è aumentato fino a 17°, il tappo comincia a scivolare lungo il piano. Quale è il coefficiente di attrito statico ms tra il tappo ed il piano inclinato? Il tappo può cominciare a scivolare quando la forza di attrito statico raggiunge il suo massimo valore, e questo valore eguaglia quello della forza peso applicata al tappo. Si deve avere: Quindi:

Esercizio Potenza di un’asse rotante r Per una ferrari importano però due cose: 1) potenza e 2) momento di forza

Momento di una forza Il momento di forza dice “quando fortemente una forza vuol far rotare una asse” asse leva Molto fortemente Non fa girare Forza preme fortemente Stessa cosa Se disegniamo la freccia rossa (forza) nel centro dell’asse, vediamo subito il prodotto vettoriale: Fa girare poco Descrive “quanto fortemente una forza vuol far rotare una asse” : momento di forza

Attenzione: ogni libro usa la sua nomenclatura, invece di f si trova anche t, M, D … Ci ricordiamo: Sempre quando si tratta di un movimento intorno ad un’asse, è più conveniente usare il momento di forza invece della forza. Esempio: nel caso statico momento e contro-momento devono essere uguale (opposto)

Rotazione Per descrivere la cinematica di un punto di massa, abbiamo precedentemente usato le variabili v (velocità), m (massa), F (forza), p (momento lineare) Si potrebbe usare queste variabili anche per discutere il moto rotatorio – la fisica è sempre quella, però, è più facile usare variabili più adatte al problema E facendo così, si scopre una nuova proprietà del nostro mondo!

Visto il discorso fatto precedentemente, è chiaro che useremo la velocità angolare, w =dj /dt , invece di v Con questa scelta e visto che la energia cinetica diventa Che ha la stessa forma come prima, se sostituiamo non solo v con w, ma anche m con una nuova variabile che chiamiamo , con : Momento di inerzia

Attenzione! Quando ero studente ho fatto confusione, la massa (“sorgente” della forza di inerzia) viene chiamata “massa”, Invece viene chiamata “momento di inerzia”. Forse sarebbe meglio chiamare : “inerzia traslazionale” e : “inerzia rotazionale” o simile (Halliday, pag.219)

Momento di inerzia, I, per un punto di massa m: asse di rotazione Per un oggetto composto da tanti punti: r = distanza (minima)dalla asse di rotazione Per corpo “continuo”: Il momento di inerzia di un corpo dipende sempre dalla asse di rotazione. Non per l’esame: nel caso generale, se non vogliamo fare riferimento ad una certa asse, dobbiamo usare il tensore

Riassunto: A questo punto abbiamo sostituito le variabili velocità forza massa velocità angolare momento di forza momento di inerzia

Momento angolare Manca ancora la sostituzione per il momento lineare Il momento lineare è definito così: Visto che abbiamo già scelto la sostituzione per F: La nuova variabile – la chiamiamo -deve obbedire Dalla seconda legge di Newton segue e di conseguenza Momento angolare Il momento angolare è una azione:

A questo punto conosciamo la nuova variabile, che deve sostituire p, è: Però, nella sua definizione si trova sempre “p”! Come possiamo sostituire ? Per i moduli sappiamo: (1) Per la direzione sappiamo: per w conta solo la componente di velocità perpendicolare a r. (2) (1) e (2) =>

e con e due lucidi fa abbiamo anche visto che => Legge di Newton: “Moto lineare” rotazione

Insomma: Movimento “lineare” rotazione velocità Velocità angolare forza momento di forza massa momento di inerzia Con questi nuove variabili segue: momento lineare momento angolare

Per l’esame: Si deve saper usare il prodotto vettoriale in generale Però, per calcoli del movimento rotatorio non sarà necessario, Basta considerare etc

Dl(mondo) = cost. Se lo spazio è invariante sotto rotazione, il momento angolare è conservato

Precedentemente abbiamo visto che la velocità non è una proprietà del punto di massa, ma dipende dall’osservatore Il momento angolare di un punto di massa non dipende dall’ osservatore, ma è una proprietà del corpo

Le proprietà del mondo Tutta la materia è composta da atomi. Gli atomi consistono di una shell di elettroni e un nucleo. Il nucleo è fatto di protoni e neutroni. Protoni e neutroni sono composti da quarks. p=(uud) n=(udd) Alla fine tutta la materia e composta da quarks e elettroni Fra i quarks e gli elettroni agiscono 3 “diverse” forze - debole: W,Z elm.: g forte: gluoni Elettroni e quarks hanno I portatori delle forze hanno

Le proprietà dell’elica a vento Per ottimizzare le energie eoliche, vogliamo sapere In generale: che potenza sviluppa una elica a vento a una certa velocità di rotazione (data una certa velocità del vento): se non sappiamo questa funzione P(w), non sappiamo che tipo di elica è ottimale, e non sappiamo scegliere il generatore giusto. In particolare: che forza il vento deve creare per far cominciare a girare l’ elica: se serve un uragano per mettere in moto l’elica, essa sarebbe inutile. Vogliamo conoscere il momento di forza creato dal vento sulla elica e la potenza risultante per tutte le velocità angolari, w, dell’elica.

Abbiamo visto che la potenza di una asse – per esempio di un’elica a vento – può essere misurata se si conosce: r Sapere e con precisione è però difficile r E’ molto più facile misurare Il momento di forza

E scriviamo invece di (“caso lineare”) Cominciamo la misura a => la elica gira libera, senza produrre energia Aumentando la forza frenante F, l’elica sarà rallentata sempre di più, w si abbassa Possiamo aumentare la forza frenante solo fino a quando diventa uguale alla forza del vento (per esempio in una galleria a vento) – la velocità angolare corrispondente chiamiamo wu - per forze frenanti più grandi, l’elica si fermerà, perchè il momento di forza del vento e’ più piccolo del momento del forza frenante.

Così sembra, che non possiamo fare misura per w < wu. Questo sarebbe un grande problema, perchè per ottimizzare un’elica a vento, essa deve essere costruita in modo tale, che cominci a girare il più presto, quando c’é un filo di vento – perciò vogliamo sapere, come si comporta nel momento di partenza, che vuol dire a w piccoli. Il problema può essere risolto se e solo se prendiamo in considerazione non solo il momento di forza causato dal vento e il momento di forza frenante, ma anche il momento di forza causata dalla accelerazione angolare del frenare. con

Per valutare sperimentalmente con approssimiamo dalla misura sperimentale – osserviamo quanto fortemente l’elica rallenta in presenza del vento invece può essere ottenuto con massa e forma dell’elica noti, o in alternativa misurando la forza frenante e la risultante decelerazione angolare in assenza di vento.

Un volano di diametro di 1 Un volano di diametro di 1.20 m gira a velocità angolare di 200giri/min Qual è la sua velocità angolare in rad/s? Qual è il modulo della velocità lineare di un punto del bordo del volano? Qual è l’accelerazione angolare costante necessaria per portare a 1000 giri/min in 60 s la velocità angolare del volano? Qual è l’accelerazione tangenziale di un punto del bordo del volano? Quanti giri compirà in questi 60 s?

Quanti giri compirà in questi 60 s?

Accelerazione centripeta (moto circolare uniforme) con

Momento di inerzia di un punto materiale di massa M Momento di inerzia di un anello omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse

Indichiamo con l la densità lineare dell’anello: I=MR2 come se la massa dell’anello fosse concetrata in un punto materiale a distanza R dall’asse.

Momento di inerzia di un disco omogeneo di massa M e raggio R rispetto al proprio asse Supponiamo che il disco ruoti attorno un asse, perpendicolare al disco passante per il suo centro (asse del disco). Indichiamo con s la densità superficiale del disco: Suddividiamo il cerchio in tante corone circolari infinitesime e concentriche di spessore dr. A tutti gli effetti può essere considerato un anello di massa: a cui corrisponde un momento di inerzia: Applichiamo la definizione di momento di inerzia per i corpi continui:

Sbarra di lunghezza L e massa M ruotante rispetto ad un asse passante per un estremo Supponiamo che la sbarra ruoti attorno un asse, perpendicolare alla sbarra passante per un suo estremo. Indichiamo con l la densità lineare della sbarra. Introduciamo un sistema di riferimento come in figura Suddividiamo la sbarra in elementi infinitesimi di lunghezza dx, indichiamo con x la coordinata del primo estremo dell’elemento infinitesimo La distanza dell’elemento infinitesimo dall’asse di rotazione sarà proprio il valore assoluto di x.

Ciascuna delle tre pale del rotore di un elicottero, mostrate in figura , è lunga 5.20m ed ha una massa di 240 kg Qual è il momento di inerzia del rotore rispetto all’asse di rotazione? (le pale possono essere considerate come asticelle sottili) Qual è l’energia cinetica rotazionale del rotore alla velocità angolare di 350 giri/min?

Disco e blocco Disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovate: accelerazione di caduta del blocco, accelerazione angolare del disco la tensione del filo con

Insomma: Movimento “lineare” rotazione velocità Velocità angolare forza momento di forza massa momento di inerzia Con questi nuove variabili segue: momento lineare momento angolare

Disco e blocco Disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovate: accelerazione di caduta del blocco, accelerazione angolare del disco la tensione del filo con

Disco e blocco Disco uniforme di massa M=2.5 kg e raggio R=20cm montato su mozzo orizzontale fisso. Un blocco di massa m=1.2 kg appeso a un filo privo di massa avvolto intorno al bordo del disco. Trovate: accelerazione di caduta del blocco, accelerazione angolare del disco la tensione del filo con e