Onde 2 7 dicembre 2012 Principio di Huygens Riflessione e rifrazione, dispersione Intensita` delle onde riflesse e rifratte Birifrangenza, dicroismo Legge di Malus

Propagazione delle onde La descrizione del moto delle onde deve render conto dei fenomeni di propagazione sperimentalmente noti Riflessione Rifrazione Interferenza Diffrazione Il principio di Hyugens-Fresnel permette di spiegare tali fenomeni Li dimostreremo nel caso della luce, ma le considerazioni si possono estendere agli altri fenomeni ondulatori

Principio di Huygens (PdH) I punti che stanno su un fronte d’onda ad un istante t sono sorgenti di onde sferiche elementari il cui inviluppo definisce il fronte d’onda all’istante t+dt t t+dt NOTA: Le onde elementari hanno ampiezza massima nella direzione di propagazione dell'onda primaria e decrescente all’aumentare dell’angolo a tra tale direzione e quella generica dell’onda elementare Nelle trattazioni piu` accurate si introduce quindi il fattore di obliquità f per l’ampiezza

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Definiamo come piano d’incidenza il piano individuato dalla direzione dell’onda (cioe` dei raggi) e dalla normale n alla superficie di separazione tra i due mezzi L’onda incidente che si propaga nel mezzo 1 (trasparente) genera un’onda riflessa che si propaga sempre nel mezzo 1 n i r 1 La legge della riflessione stabilisce che anche il raggio riflesso giace sul piano d’incidenza e che l’angolo di incidenza i e quello di riflessione r sono uguali 2

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Consideriamo un fronte d’onda O’’S’’ al tempo t0. Dopo un periodo T, esso si sarà spostato in O’S’ e così via I fronti dell’onda incidente distano 1=v1T ove v1 è la velocità di propagazione dell’onda luminosa nel mezzo 1 Ciascun punto sulla superficie di separazione (in particolare O, O’, O’’) emette onde sferiche elementari L’onda che viene emessa da O al tempo t0+2T è in fase con l’onda emessa da O’ al tempo t0+T e con quella emessa da O’’ al tempo t0 O O’’ O’ 1 S’’ S’ 2 5

Riflessione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi L’inviluppo di queste onde sferiche è un fronte dell’onda piana riflessa I fronti dell’onda riflessa distano anch’essi =v1T Quindi O’R’=OS’=l da cui segue l’uguaglianza degli angoli R’’ S’’ R’ S’ 1 i r O’’ O’ O 2 6

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Se anche il mezzo 2 e` trasparente viene generata anche un’onda rifratta (o trasmessa) nel mezzo 2 La legge della rifrazione (o di Snell) stabilisce che anche il raggio trasmesso giace sul piano d’incidenza e che tra l’angolo di incidenza i e quello di trasmissione t vale la relazione t 1 2 n i ove, per ciascun mezzo, n e` una costante caratteristica di valore maggiore di 1, detta indice di rifrazione L’angolo t e` minore di i se n2 > n1 Caso n2 > n1

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi t e` invece maggiore di i se n1 > n2 : In tal caso, affinche’ il primo membro sia minore di 1, deve accadere che Ovvero Cio` significa che si puo` avere un’onda trasmessa nel mezzo con indice di rifrazione minore solo se l’angolo i e` minore di un angolo limite Q (o uguale, in tal caso t = p/2) Se i supera tale valore non c’e` onda trasmessa e si ha riflessione totale 2 1 n Q Caso n1 > n2

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Applichiamo il PdH al mezzo 2 I fronti dell’onda trasmessa distano 2=v2T ove v2 è la velocità di propagazione dell’onda nel mezzo 2 Valgono le relazioni Dividendo membro a membro e ricordando la distanza tra i fronti d’onda S’’ S’ 1 O’’ O’ i t O 2 R’ R’’ 9

Rifrazione di un’onda piana su una superficie di separazione tra due mezzi Esprimendo la lunghezza d’onda in termini di velocità Il rapporto a primo membro non dipende dagli angoli, ma solo dalla natura dei due mezzi, quindi Cioè la teoria ondulatoria della luce prevede che la velocità sia minore nel mezzo relativo al minore dei due angoli i, t cioè nel mezzo con indice di rifrazione maggiore 10

Rifrazione Nel caso in cui il mezzo 1 sia il vuoto, l’indice di rifrazione vale 1 e la velocità vale c quindi da cui Anche nel caso in cui il mezzo sia aria (o un gas) l’indice di rifrazione vale circa 1 Introducendo l’indice di rifrazione relativo tra due mezzi, la legge di Snell si può anche scrivere

Dispersione Sperimentalmente si constata che, a parità di angolo i, l’angolo t dipende dalla frequenza (o equivalentemente dalla lunghezza d’onda) della luce Ciò equivale ad affermare che l’indice di rifrazione dipende dalla frequenza dell’onda Questo è il ben noto esperimento della scomposizione della luce bianca con un prisma: le diverse componenti colorate della luce bianca vengono deviate ad angoli diversi, cioè vengono ‘disperse’ Questo fenomeno non è limitato alla luce, ma è comune a tutte le onde

Dipendenza di n da l Normalmente per la luce visibile, n e` una funzione decrescente di l Ne segue che l’angolo di trasmissione t aumenta con l e quindi per il rosso e` maggiore che per il viola Ovvero il raggio rosso e` deviato meno di quello viola rispetto al raggio incidente

Ampiezza delle onde riflesse e rifratte Usando le eqq. di Maxwell si possono trovare le relazioni tra le ampiezze delle onde incidente, riflessa e trasmessa Tali relazioni sono diverse nel caso in cui l’onda sia polarizzata nel piano di incidenza  o nel piano perpendicolare  i r t Ei Er Et i r t Ei Er Et

Ampiezza delle onde riflesse Il rapporto tra l’ampiezza del campo elettrico riflesso e quello incidente è, nei due casi i r t Ei Er Et i r t Ei Er Et

Intensità delle onde riflesse e rifratte Il rapporto delle intensità è dato dai coefficenti di riflessione di Fresnel Nel caso in cui il mezzo non sia assorbente, l’energia si distribuisce tra l’onda riflessa e quella trasmessa, per cui i coefficienti di trasmissione sono

Angolo di Brewster polarizzazione per riflessione È un caso limite che si presenta quando il campo è polarizzato nel piano di incidenza e gli angoli soddisfano la condizione i+t=/2 che comporta la divergenza del denominatore di R e l’annullamento dell’onda riflessa L’angolo i=B corrispondente è detto angolo di Brewster Se l’onda incidente non è polarizzata, essa può comunque essere pensata come sovrapposizione di due onde, una con polarizzazione nel piano d’incidenza e l’altra in un piano perpendicolare All’angolo di Brewster la prima componente è solo trasmessa e l’altra è sia riflessa che trasmessa, ciò significa che l’onda riflessa è polarizzata perpendicolarmente al piano d’incidenza

Riflessione di luce non polarizzata Per luce non polarizzata a ciascuna polarizzazione e` associata meta` della potenza dell’onda Per il fascio riflesso abbiamo Ove R e` il coefficiente di riflessione per luce non polarizzata

Incidenza normale Cioè i=0, in tal caso r=t=0 e i rapporti delle ampiezze di riflessione diventano (*) e i coefficienti di riflessione (*) per dimostrarlo

Coefficienti di Fresnel In figura sono riportati i coefficienti in funzione dell’angolo di incidenza per I due casi n1<n2 e n1>n2 Figura tratta da http://it.wikipedia.org/wiki/Leggi_di_Fresnel

Polarizzazione Per un campo trasversale f, i gradi di libertà trasversali sono due e corrispondono alle componenti fy , fz Supponiamo che abbia la forma Nel piano trasversale il vettore f oscilla di moto armonico lungo un segmento la cui proiezione lungo y va da -fy0 a fy0 e lungo z da -fz0 a fz0 Un’onda siffatta le cui componenti oscillano in fase, è detta polarizzata linearmente y z f

Polarizzazione Supponiamo che il campo f abbia forma y z f Supponiamo che il campo f abbia forma Nel piano trasversale il vettore f descrive un cerchio di raggio f0 Un’onda siffatta le cui componenti oscillano sfasate di p/2, è detta polarizzata circolarmente

Birifrangenza Esistono sostanze, come la calcite e il quarzo, che sono otticamente anisotrope, cioè si comportano in modo diverso a seconda della direzione in cui si propaga la luce Se un raggio di luce incide su una sostanza birifrangente, esso può separarsi in due raggi, il raggio ordinario e quello straordinario I due raggi, polarizzati linearmente in direzioni mutuamente perpendicolari, si propagano a velocità diverse e possono anche propagarsi in direzioni diverse, a seconda dell’orientamento relativo tra il materiale e l’onda incidente 23

Birifrangenza Si possono introdurre due indici di rifrazione, uno per ciascun raggio: no e ns, tenendo conto che l’indice di rifrazione del raggio straordinario dipende dall’angolo tra un asse caratteristico del cristallo e il campo E Nota: Per l’onda straordinaria bisogna estendere il principio di Huygens, ammettendo che le onde elementari non siano più sferiche ma ellissoidali L’inviluppo di queste onde fornisce ancora il fronte d’onda e la direzione di propagazione, che però non è più perpendicolare al fronte d’onda La legge di Snell, in entrambe le sue parti, non è applicabile al raggio straordinario 24

Birifrangenza In un cristallo birifrangente esiste una direzione particolare in cui i due raggi si propagano alla stessa velocità; questa direzione è detta asse ottico della sostanza Se la luce incide parallelamente all’asse ottico, non accade nulla di insolito Se la luce incide con un certo angolo rispetto all’asse ottico, ma perpendicolarmente alla faccia del cristallo, i raggi si propagano in direzioni diverse Se si ruota il cristallo attorno alla direzione dell’onda, il raggio straordinario ruota nello spazio asse ottico raggio ordinario raggio straordinario 25

Birifrangenza Se la luce incide perpendicolarmente alla faccia del cristallo e all’asse ottico, i due raggi si propagano nella stessa direzione ma a velocità diversa Per conseguenza escono dal cristallo con una differenza di fase che dipende dallo spessore della lamina e dalla lunghezza d’onda  della luce incidente In una lamina a quarto d’onda, lo spessore è tale che, all’uscita dal cristallo, lo sfasamento tra le onde (della particolare ) è /2 Una lamina a quarto d’onda permette di creare un fascio polarizzato circolarmente partendo da uno polarizzato linearmente asse ottico raggio ordinario raggio straordinario 26

Assorbimento selettivo asse ottico onda incidente asse di trasmissione E` il fenomeno per cui in alcune sostanze (tormalina, erapatite) l’assorbimento della luce dipende dalla sua polarizzazione Le molecole che formano tali sostanze sono allungate e permettono agli elettroni di muoversi preferenzialmente in tale direzione, assorbendo l’onda incidente polarizzata parallelamente La componente perpendicolare non e` invece assorbita (gli elettroni non possono muoversi in questa direzione) Ne segue che se il materiale e` abbastanza spesso la componente parallela all’asse ottico viene eliminata e rimane solo quella perpendicolare Rimane cosi’ definito un asse preferenziale del materiale, ortogonale all’asse ottico, detto asse di trasmissione

Polarizzazione Un polarizzatore a birifrangenza separa le due componenti di polarizzazione, mentre uno ad assorbimento ne elimina una delle due In entrambi i casi è possibile selezionare una delle due polarizzazioni e poi studiarla con un secondo polarizzatore, detto analizzatore

Legge di Malus Consideriamo un’onda di intensità I0, incidente su un polarizzatore Supponiamo che sia polarizzata linearmente col campo E in un piano parallelo al polarizzatore, ma inclinato di un’angolo  rispetto al suo asse  E E cos analizzatore Possiamo immaginare l’onda incidente come composta da un’onda polarizzata lungo l’asse con ampiezza Ecos e un’onda polarizzata in direzione perpendicolare con ampiezza Esin La componente parallela passa indisturbata, mentre quella perpendicolare viene assorbita L’intensità dell’onda che passa il polarizzatore è quindi ovvero 29

Legge di Malus Se l’onda incidente non è polarizzata, oltre il polarizzatore avremo un’onda polarizzata parallelamente all’asse del polarizzatore con intensità uguale a metà di quella incidente Infatti in ogni istante vale la relazione e poichè  varia casualmente nel tempo, il valore medio dell’intensità è proporzionale al valore medio polarizzatore