Meccanica 8 31 marzo 2011 Teorema del momento angolare. 2° eq. Cardinale Conservazione del momento angolare Sistema del centro di massa. Teoremi di Koenig Lavoro, energia cinetica, potenziale e meccanica per un corpo esteso Energia propria e interna

Teorema del momento angolare Abbiamo visto nel caso di un solo punto materiale, che, se il polo e` fisso e il sistema di riferimento e` inerziale, il teorema del momento angolare e`

Teorema del momento angolare Generalizziamo questo teorema al caso di un sistema di piu` particelle e polo fisso Deriviamo rispetto al tempo Otteniamo Cioè di nuovo

Teorema del momento angolare Generalizziamo ora al caso di un sistema di piu` particelle e di un polo mobile Deriviamo rispetto al tempo l’equazione che lega il MA calcolato rispetto ad un polo fisso O e un polo mobile Q Otteniamo

Teorema del momento angolare Ricordando che l’espressione tra parentesi è il momento rispetto al polo mobile Q, otteniamo Espressione che differisce per la presenza del secondo termine da quella trovata per il polo fisso Ovviamente si ritrova quella equazione se anche Q è fisso: in tal caso il secondo termine è nullo

Teorema del momento angolare Esistono però altri casi in cui le equazioni per il polo mobile e per il polo fisso sono uguali Il caso più importante è quello in cui il polo coincide con il CM del sistema, in tal caso E poiché vCM e P sono proporzionali, segue

Teorema del momento angolare Un altro caso e` quando il polo coincide con il punto di contatto C tra una ruota che si muove (slittando o rotolando) e una superficie di appoggio Poiché vC e P sono paralleli, segue C P vC

Teorema del momento angolare Abbiamo dimostrato il notevole teorema: la derivata del momento angolare è uguale al momento delle forze (esterne) se come polo usiamo un punto fisso in un sistema inerziale oppure il CM del sistema (indipendentemente dal fatto che questo sia fisso o sia mobile e qualunque sia il suo moto)

Seconda equazione della dinamica dei sistemi Se il polo e` fisso o e` il CM Questa e` la seconda equazione della dinamica dei sistemi O seconda equazione cardinale della meccanica

Conservazione di L Se vale l’equazione e se il momento delle forze esterne e` nullo, allora il momento angolare si conserva Facciamo due osservazioni: La conservazione puo` valere anche solo in alcune direzioni (quelle in cui la componente di t e` nulla) A seconda della situazione fisica, t puo` annullarsi qualunque sia il polo, oppure solo per poli scelti opportunamente

Sistema di riferimento del CM Ha origine nel CM Gli assi sono sempre paralleli agli assi di un sistema inerziale In generale non e` inerziale ri* pi CM O rCM ri Ai La posizione di un punto nel SCM e` Derivando questa relazione troviamo la velocita` di un punto nel SCM

Sistema di riferimento del CM La posizione e la velocita` del CM nel SCM sono, ovviamente, Ricordando la definizione di CM, valida in ogni SdR, abbiamo anche La seconda equazione stabilisce che la QM totale del sistema e` nulla se misurata nel SCM

Teoremi di Koenig 1o teorema: fornisce una relazione tra il valore del momento angolare in un sistema inerziale e nel sistema del CM 2o teorema: fornisce una relazione tra il valore dell’energia cinetica in un sistema inerziale e nel sistema del CM

1o teorema di Koenig Confrontiamo il MA calcolato nel SCM con polo nel CM nel SdR inerziale con polo nell’origine O ri* pi CM O rCM ri Ai

1o teorema di Koenig Il 2o e 4o termine sono uguali e opposti; il 3o termine e` il MA del CM nel SdR inerziale La relazione puo` essere letta anche Il MA di un corpo in un SdR inerziale e` uguale al MA del sistema rispetto al CM, calcolato nel SCM piu` il MA del CM nel sistema inerziale

2o teorema di Koenig Calcoliamo ora l’energia cinetica

2o teorema di Koenig il 2o termine e` l’energia cinetica del CM nel SdR inerziale La relazione puo` essere letta anche L’energia cinetica di un corpo in un SdR inerziale e` uguale all’ EC del sistema calcolata nel SCM, piu` l’EC del CM nel sistema inerziale

Lavoro Calcoliamo il lavoro relativo allo spostamento di un sistema di punti materiali Per una particella il lavoro infinitesimo e` Il lavoro finito si trova integrando il lavoro infinitesimo tra stato iniziale e finale (che possono essere diversi per ogni particella)

Lavoro Per il sistema il lavoro si trova sommando su tutte le particelle A differenza del caso della risultante dei momenti di forza agenti sul sistema, ora le forze interne danno un contributo non nullo

Lavoro Raggruppando infatti le forze interne a coppie di forze coniugate secondo il 3o principio, il lavoro interno e` esprimibile come Ii Fi Fj Ij rijI rijF

Lavoro Ove si e` introdotta la nuova variabile rij In generale il prodotto scalare che compare nell’integrando non e` nullo, ne’ sono nulli gli integrali o la loro somma Il lavoro delle forze interne dipende in ultima analisi dal cambiamento delle distanze mutue tra le particelle che formano il corpo

Lavoro per un corpo rigido In assenza di tali cambiamenti i lavori elementari sarebbero nulli, e altrettanto nulli sarebbero i lavori integrali e la somma dei lavori relativi alle diverse particelle Questo e` il caso, particolarmente importante, di un corpo rigido: nessun cambiamento delle distanze mutue tra le particelle che formano il corpo

Energia cinetica Studiando il lavoro infinitesimo relativo a una particella singola, avevamo trovato l’equazione Integrando tra stato iniziale e finale e sommando su tutte le particelle

Energia cinetica Ovvero: il lavoro complessivo delle forze che agiscono su un sistema e` uguale alla variazione di energia cinetica del sistema tra stato iniziale e finale Inoltre il lavoro e` scomponibile nel lavoro delle forze esterne e interne, in generale entrambi diversi da zero Teorema dell’energia cinetica per corpo esteso

Energia potenziale Se le forze sono tutte conservative, il lavoro e` esprimibile in termini di energia potenziale Integrando tra stato iniziale e finale E sommando su tutte le particelle Definendo l’energia potenziale totale troviamo

Conservazione dell’energia meccanica Il discorso si puo` ripetere separatamente per forze interne e esterne Ricordando il teorema dell’energia cinetica, otteniamo Abbiamo cosi’ ritrovato il teorema di conservazione dell’energia meccanica E per un corpo esteso

Forze non conservative Se sono presenti forze non conservative, possiamo estendere il ragionamento fatto per una singola particella Ottenendo Cioe` la variazione di energia meccanica e` uguale al lavoro delle forze non conservative

Energia propria Energia meccanica: Separando i contributi delle forze interne ed esterne E non rappresenta una caratteristica del solo sistema, perche’ contiene anche le interazioni con l’ambiente Per tener conto di questo, si definisce l’energia propria

Energia interna Tenuto conto che l’energia cinetica dipende dal SdR, l’energia propria si puo` scrivere Avendo definito l’energia interna L’energia interna e` l’energia propria nel SdR del CM, ove assume il valore minimo