Esercizio 1 Un filo indefinito è costituito da due semirette AB e BC formanti un angolo retto, come in figura Il filo è percorso da una corrente I = 10 A. Sia P un punto sulla semiretta BD, prolungamento di AB. Trovare: il campo magnetico in P (intensità, direzione e verso) dovuto al tratto AB; usando la simmetria del sistema, il campo magnetico in P (intensità, direzione e verso) dovuto al tratto BC. Il campo magnetico totale in P. Detta R = 1 cm la distanza PB, si supponga che in un certo istante di tempo una particella di carica positiva q = 1mC (vincolata a muoversi sulla semiretta BD) si trovi in P con velocità v = 104 m/s. Trovare, in dipendenza del verso della velocità: (d) la forza di Lorentz (intensità, direzione e verso) agente su di essa. A D B C P

Soluzione dell’esercizio 1 Introduciamo un sistema cartesiano con l’asse x lungo BC e l’asse y lungo BA Il campo magnetico nel punto P dovuto alla semiretta AB è dato dall’ integrale (esteso alla semiretta): Poiché per tutti i punti della semiretta, e purché la distanza di P da B sia maggiore di zero, possiamo concludere che tale integrale è nullo. Il campo magnetico nel punto P dovuto alla semiretta BC si trova osservando che il campo dovuto ad un filo indefinito rettilineo può pensarsi come la sovrapposizione dei campi generati dalle due semirette opposte che hanno l’origine nel piede B della perpendicolare alla retta tracciata dal punto P. A B C x y P B C E

Per simmetria questi due campi sono uguali, non solo in modulo ma anche vettorialmente, di conseguenza il campo dovuto ad una semiretta sarà uguale alla metà del campo dovuto alla retta (dato dalla legge di Biot-Savart). La direzione è perpendicolare al piano in cui giace il filo e verso entrante nel piano. In formule: Questo campo è anche uguale al campo magnetico totale. Il valore numerico del suo modulo è: La forza di Lorentz è: In modulo vale La direzione è parallela alla semiretta BC. Il verso è lungo +i se la velocità è lungo -j , lungo -i se la velocità è lungo +j .

E’ dato il seguente circuito Esercizio 2 E’ dato il seguente circuito Al tempo t = 0 il deviatore D è chiuso su A e R2 è esclusa dal circuito. Scrivere l’equazione del circuito, trovarne la soluzione supponendo che inizialmente la corrente sia nulla e disegnare il grafico della corrente nel tempo. Trovare: (a) il valore della corrente nello stato stazionario; (b) la costante di tempo del circuito. Dopo un tempo abbastanza lungo affinché la corrente sia giunta in stato stazionario, e che supporremo come infinito agli effetti pratici, il deviatore è commutato su B in modo da includere R2 nel circuito ed escludere A. Si supponga che il deviatore sia congegnato in modo da inserire R2 senza mai aprire il circuito. Scrivere l’equazione del circuito, trovarne la soluzione tenendo conto delle condizioni iniziali e disegnare il grafico della corrente nel tempo. Trovare: (c) il valore della corrente nel nuovo stato stazionario; (d) la costante di tempo del nuovo circuito. R1 = 100 W E = 10 V L = 20 mH R2 = 50 W D A B

Soluzione dell’esercizio 2 L’equazione del circuito nella condizione iniziale è: Esprimendo la fem dovuta all’induttanza in termini della derivata della corrente e riarrangiando: Che è l’equazione di un circuito LR. Tenendo conto della condizione iniziale si ottiene la soluzione: Ove la corrente nello stato stazionario e la costante di tempo sono: i t

In seguito alla commutazione del deviatore l’equazione del circuito diviene: Dopo le solite manipolazioni otteniamo: Questa è un’equazione di forma identica alla precedente. Bisogna ora fare attenzione che la condizione iniziale non è i=0, ma i=E/R1 e questo comporta un cambiamento delle relazioni algebriche (vedi approfondimento 1). Fatti tutti i conti otteniamo: Ove i nuovi valori della corrente nello stato stazionario e della costante di tempo sono: i t

Approfondimento 1 La soluzione è la somma di una soluzione particolare dell’equazione non omogenea e della soluzione generale dell’omogenea. Supposto i=cost., una soluzione particolare della non omogenea è: La soluzione generale dell’omogenea, ha la solita forma, dipendente da un parametro arbitrario A: Soluzione generale della non omogenea: La costante A si determina imponendo la condizione iniziale sulla corrente: Da cui:

Esercizio 3 Tre cariche positive uguali +q = 1 mC sono poste sui vertici di un triangolo equilatero di lato L = 10 cm. Tre cariche negative uguali -q = -1 mC sono poste sui vertici di un secondo triangolo equilatero di lato L = 10 cm. La disposizione dei triangoli, indicata il figura, è tale che le cariche cadano sui vertici di un esagono regolare. Trovare (a) l’energia elettrostatica totale del sistema; (b) determinare se si spende o si guadagna lavoro nel costruire un tale sistema. Si separino poi i due triangoli portandoli ad una distanza abbastanza grande da poter essere considerata, ai fini pratici, come infinita. Trovare (c) l’energia elettrostatica del sistema in questo nuovo stato; (d) il valore del lavoro necessario per effettuare questa separazione; (e) se nel fare questo si acquista o si spende lavoro e spiegare il perché. + - - +

Soluzione dell’esercizio 3 L’energia elettrostatica è composta da tanti termini quante sono le coppie di particelle. Con 6 particelle avremo dunque coppie. Raggruppiamo per righe i termini uguali: Nella prima riga abbiamo tre termini uguali a: Nella seconda riga tre termini uguali a: Nella terza riga tre termini uguali a:

E nell’ultima riga sei termini uguali a: Dove R è il lato dell’esagono. Da semplici considerazioni geometriche troviamo la relazione tra R e L: Infine l’energia elettrostatica vale: Il segno negativo significa che le forze del campo compiono un lavoro positivo, quindi riceviamo lavoro. Dopo la separazione dei due triangoli l’energia elettrostatica è cambiata, dato che tutti i termini dovuti all’interazione tra una carica positiva e una carica negativa sono diventati nulli. I termini rimanenti sono l’interazione delle tre coppie positive e delle tre coppie negative:

Il segno positivo significa che le forze del campo fanno lavoro negativo, e quindi dobbiamo spendere lavoro contro tali forze per creare il sistema. Il lavoro necessario per separare i triangoli è, in base al teorema di conservazione dell’energia, la differenza tra l’energia finale e iniziale: Il segno negativo significa che dobbiamo spendere lavoro contro le forze del campo, come risulta evidente dal fatto che in pratica stiamo separando una carica positiva (di valore +3q) da una negativa (di valore -3q).

Esercizio 4 Sia f(x,t) una funzione di due variabili x (spazio) e t (tempo) che soddisfa l’equazione delle onde: Ove v è la velocità di spostamento delle onde. Detta A un’ampiezza costante, verificare che la funzione f(x,t) = Asin(kx-wt), che descrive un’onda elettromagnetica piana, soddisfa tale equazione (suggerimento: eseguire le derivate parziali e ricordare la definizione del numero d’onde k e della pulsazione w).

Soluzione dell’esercizio 4 Eseguiamo innanzitutto le derivate Posto v = c, il primo membro dell’equazione delle onde diviene: Ricordando le definizioni di k e w:

Possiamo trovare il valore dell’espressione entro parentesi: Questa espressione è nulla, in quanto Ciò verifica l’equazione delle onde.