Teoria della relatività-1 17 dicembre 2012 Postulati della teoria Sincronizzazione degli orologi Relatività della simultaneità (approccio qualitativo) Trasformazioni di Galileo e di Lorentz, trasformazioni inverse Spazio-tempo, quadri-vettori

Fondamenti La teoria della relatività si fonda su due postulati Il principio di relatività: le leggi della fisica sono le stesse in tutti i sistemi inerziali La costanza della velocità della luce nel vuoto: ha lo stesso valore in tutti i sistemi inerziali 2 2

Fondamenti Il secondo postulato significa che esiste una velocità limite massima per la trasmissione di segnali Esso distingue la fisica classica, in cui non esiste un limite massimo alla velocità, da quella relativistica Ha come conseguenza la relatività della simultaneità per sistemi inerziali in moto relativo 3 3

Sincronizzazione degli orologi Per poter eseguire misure di grandezze fisiche in un sistema di riferimento (inerziale) è indispensabile che gli orologi di osservatori posti in luoghi diversi del sistema siano tra loro sincronizzati Bisogna quindi trovare una procedura di sincronizzazione adeguata 4 4

Sincronizzazione degli orologi Consideriamo due punti P1 e P2 del sistema S Per sincronizzare gli orologi si può procedere come segue Si misura la distanza L tra i due punti Si invia un segnale luminoso, ad es. da P1 verso P2 convenendo che al momento dell’invio da P1 il tempo dell’orologio in P1 sia posto uguale a zero e che al momento della ricezione in P2 il tempo dell’orologio in P2 sia posto uguale a 5 5

Sincronizzazione degli orologi Supponiamo che l’osservatore (cioè lo sperimentatore) si trovi nel punto O di un sistema inerziale S e riceva un segnale da un punto differente P di S, distante L da O Se vuole conoscere quando il segnale è stato spedito deve sottrarre al tempo segnato dal proprio orologio nell’istante della ricezione il tempo di percorrenza E quindi a parità di tempo di ricezione, il tempo di invio è tanto più indietro nel passato, quanto più P è lontano O 6 6

Sincronizzazione degli orologi Il ritmo degli orologi è però uguale nei diversi punti di S La sincronizzazione è indispensabile per poter definire la simultaneità di due eventi che avvengono in punti differenti dello spazio O P 7 7

Misure di lunghezza v x x1 x2 La sincronizzazione è necessaria per eseguire misure di lunghezza di oggetti in movimento Infatti, affinche’ la misura sia sensata, occorre che la posizione degli estremi sia misurata simultaneamente Poiché, come vedremo, la simultaneità dipende dal sistema di riferimento, ne segue che misure di uno stesso oggetto effettuate in sistemi in moto relativo, danno risultati diversi v x x1 x2 8 8

Relatività della simultaneità È conseguenza della finitezza della velocità limite Supponiamo di avere due sistemi, S e S’, in moto relativo con velocità v In ciascun sistema ci sia un regolo, a riposo, e disposto parallelamente al moto S S’ v 9 9

Relatività della simultaneità Supponiamo di essere gli osservatori del sistema S e di trovarci in O Supponiamo che un fulmine colpisca il nostro regolo (in S) nel punto A (e il regolo di S’ nel punto A’) e un secondo fulmine colpisca il nostro regolo nel punto B (e l’altro regolo nel punto B’) A e B siano equidistanti da O S’ S O A B A’ B’ A’ B’ v 10 10

Relatività della simultaneità Poiché siamo equidistanti dai punti A e B, possiamo dire che i due fulmini hanno colpito simultaneamente se (e solo se) riceviamo la loro luce in O nello stesso istante Se questo è il caso, allora possiamo concludere che per l’osservatore O’ in S’, posto a metà tra i punti A’ e B’ i due eventi non sono simultanei A O B S S’ A’ O’ B’ 11 11

Relatività della simultaneità Questo è dovuto al fatto che mentre la luce si muove da A e B verso O’, con velocità c, O’ si muove a sinistra con velocità v, allontanandosi da A e avvicinandosi a B v S’ S O O’ A B t0 v S’ O’ S O A B t1 v S’ O’ S O A B t2 12 12

Relatività della simultaneità L’osservatore in O’ riceverà quindi prima il segnale da B’ e successivamente quello da A’ Trovandosi a metà strada dai due punti, ne conclude che l’evento in B’ è antecedente a quello in A’ cioè gli eventi, simultanei in S, non lo sono in S’ È chiaro che se la luce avesse velocità infinita, essa raggiungerebbe sia O che O’, sia da dx che da sx, in un tempo nullo, e quindi i due eventi sarebbero simultanei sia in S che in S’ v S’ S O O’ A A’ B B’ 13 13

Trasformazione di coordinate Per semplicità consideriamo due sistemi inerziali S(x,y,z,t) e S’ (x’,y’,z’,t’) i cui assi siano paralleli e il cui moto relativo con velocità v avvenga lungo la direzione comune dell’asse x, x’ x y z x’ y’ z’ v 14 14

Trasformazioni di Galileo In fisica classica le trasformazioni di coordinate tra i due sistemi inerziali sono quelle di Galileo L’ultima eq. stabilisce il fatto che in fisica classica il tempo è assoluto, cioè non dipende dal sistema di riferimento 15 15

Trasformazioni di Lorentz In relativita`, dai due postulati della teoria si deduce un insieme di trasformazioni di coordinate di tipo diverso, le trasformazioni di Lorentz (TdL) ove 16 16

Trasformazioni di Lorentz Le trasformazioni inverse per passare dal sistema S’ al sistema S si possono ottenere invertendo il sistema lineare precedente Si possono anche ottenere più semplicemente osservando che S si muove con velocità -v rispetto a S’ 17 17

Trasformazioni di Lorentz E in forma matriciale Ove L è la matrice associata alla TdL Queste eqq. diventano più simmetriche se si introduce la variabile x0=ct, nel qual caso, dette x1=x, x2=y, x3=z, abbiamo 18 18

Spazio-tempo Possiamo introdurre uno spazio astratto a quattro dimensioni (lo spazio-tempo) e considerare la quaterna (x0, x1, x2, x3) come un vettore in tale spazio, ovvero un quadri-vettore (o 4-vettore) Le TdL trasformano le componenti di questo vettore tra loro, in particolare ‘mescolano’ lo spazio e il tempo 19 19