Le oscillazioni Moto armonico semplice x (positivo o negativo) Abbiamo già incontrato brevemente il moto armonico semplice in quanto utile per discutere la misura della massa di un corpo. Riassumiamo brevemente: x (positivo o negativo) Molla ideale: Visto che (3. Legge di Newton) Soluzione generale: con (*) Misurando w e a, si può determinare m (*) ricordiamoci:

pulsazione o frequenza angolare w ampiezza A fase wt+a con x(t) può essere un spostamento, una differenza di potenziale, una pressione … periodo T frequenza n pulsazione o frequenza angolare w ampiezza A fase wt+a costante o angolo di fase a <- Massimo valore del spostamento

Qualsiasi movimento che si ripete a intervalli regolari è definito moto periodico o moto armonico. Non solo Ma anche: Basta però studiare sen (o cos): Qualsiasi altra funzione può essere creata da una sovrapposizione di sen con diversi A, w, f

Velocità nel moto armonico semplice con Nel moto armonico semplice l’accelerazione e’ proporzionale allo spostamento ma di segno opposto, e le due quantità sono legate dal quadrato della pulsazione

Nel caso particolare di: Abbiamo trovato che x Descrive I parametri rilevanti del sistema, a e m Ma e’ vero in generale, che per un qualsiasi sistema che segue Il parametro risultante w descrive le proprietà del sistema

x L’energia potenziale del sistema e’ L’energia cinetica con con perchè

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con a=65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Quali sono la pulsazione, la frequenza e il periodo dell’oscillazione risultante? con

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con a=65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ l’ampiezza dell’oscillazione? Qual e la massima velocita’ del blocco oscillante, e dove si trova quando cio’ si verifica? La massima velocita’ istantanea si ha quando il blocco passa attraverso l’origine, x=0

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con a=65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ l’ampiezza massima dell’accelerazione del blocco? La massima accelerazione si ha quando il blocco si trova nei punti estremi del suo percorso

Qual e’ la costante di phase del moto? Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con a=65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ la costante di phase del moto? o qualsiasi angolo multiplo di 2p => Funzione spostamento: Con x espresso in metri e t in secondi

Un blocco di massa m=680 g, fissato a una molla con a=65 N/m, e’ trascinato a una distanza x=11 cm dalla sua posizione di equilibrio x=0 su una superficie priva di attrito e lasciato libero, da fermo, all’istante t=0. Qual e’ la energia meccanica? Per t=0: Quali sono l’energia potenziale e l’energia cinetica dell’oscilaltore quando la particella e’ a meta’ strada verso il massimo spostamento, ossia per ?

Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2. Qual e’ la pulsazione? (I) (II) (III) Tre equazioni, tre incognite (III)/(I) =>

Per t=0 lo spostamento x(0) di un oscillatore lineare come nella figura vale -8.50 cm, la velocita’ e’ v(0)=-0.920 m/s, e l’accelerazione a(o)=47.0 m/s2. Quali sono la costante di fase a e l’ampiezza A? (II)/(I) => Anche a=1550 e’ una soluzione, con A=0.094 m A deve essere una costante positiva => soluzione a = -250 da scartare

Un oscillatore armonico semplice angolare Pendolo di torsione Ci riccordiamo, per una molla: Momento torcente di richiamo, che tende a contrastare la rotazione Costante di torsione In questo caso, invece di si trova I = momento d’inerzia del disco oscillante

Come appare nella figura, un’asticella sottile omogenea, di lunghezza L=12.4 cm e massa m=135g, e’ sospesa al centro da un lungo filo. Se e’ misurato il suo periodo Ta di oscillazione angolare, che e’ risultato di 2.53 s. Un oggetto di forma irregolare, che chiameremo X, e’ stato poi appeso allo stesso filo, come nella figura, e si e’ trovato che il suo periodo Tb e’ 4.76 s. Qual e’ il momento di inerzia dell’ oggetto X rispetto al suo asse di rotazione? Abbiamo gia calcolato:

La asticella “e composta” di due sbarre Chiamiamo : sbarra di massa m’, lunghezza L’ asticella di massa m, lunghezza L Con m=2m’, L=2L’

Misura: lo specchio ha in media un’energia cinetica di Con un pendolo di torsione si possono misurare anche angoli molto piccoli raggio di luce specchio Si trova: Lo specchio di torsione non si ferma mai, continuamente fa piccoli oscillazioni irregolari. Misura: lo specchio ha in media un’energia cinetica di T = temperatura (assoluta) k = costante di Boltzmann

Boltzmann ha dimostrato che non solo lo specchio di torsione, ma qualsiasi sistema ha sempre energia cinetica pari a 1/2kT (= movimento termico) per ciascun grado di libertà. Questo vale anche per gli atomi. Nonché per interruttori o altri sistemi che possono assumere due minimi energetici E perciò immagazzinare informazione. E 1/2kT Szillard (1927): per immagazzinare un bit di informazione occorre dissipare una energia pari a 1/2kT Landauer: non è vero. Si deve dissipare energia pari a 1/2kT per cancellare un bit di informazione. Bennett:: si deve dissipare energia solo se si prende informazione dall’esterno del sistema, altrimenti è possibile copiare e calcolare senza dissipare (reversible computing)

H.S.Leff, A.F.Rex Maxwell’s Demon: Entropy, Information, Computing Princeton University Press

Moto armonico semplice e moto circolare uniforme Il moto armonico semplice e’ la proiezione di un moto circolare uniforme su un diametro della circonferenza su cui questo moto si svolge

Onde Se “la variabile” (spostamento, pressione, potenziale...) cambia solo con il tempo: oscillazione – nel caso piu semplice: modo armonico semplice o Se “la variabile” cambia anche in funzione dell’spazio: onda

In generale, una onda non avrà forma sinusoidale: Forma generica di una onda: h: funzione qualsiasi

Lunghezza d’onda e numero d’onde Per definizione y deve essere uguale per x=x1 e x=x1+l o numero d’onda angolare unità numero d’onda:

Periodo, pulsazione e frequenza Si puo fare il discorso analogo per Pulsazione o frequenza angolare unita’: radiante al secondo frequenza

Velocita’ di un’onda in moto costante Onda che si muove nel verso in cui x aumenta v v velocita’ dell’onda Onda che si muove nel verso delle x decrescenti

y x y x La tensione del filo crea una forza su ogni elemento del filo Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo x y Piccolo elemento di filo x y Nessuna forza risultante sull’ elemento di filo

La tensione del filo crea una forza effetiva su un elemento di filo, se c’e una curvatura: curvatura= differenza relativa fra due pendenze x y La massa di questo elemento e’ curvatura Newton

v

v (A) (B) A/B = => e’ vero che v

Il principio di sovrapposizione per le onde Onde sovrapposte si sommano algebricamente a formare un’onda risultante:

=> Interferenza di onde sia Si puo’ dimostrare: Quando due onde sinusoidali aventi stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono concordemente nella stessa direzione lungo una corda tesa, esse interferiscono a formare un’onda risultante sinusoidale che si propaga sempre nella medesima direzione con

Onde stationarie Sempre con Se due onde sinusoidali de stessa ampiezza e lunghezza d’onda si muovono in versi opposti lungo una corda tesa, la loro interferenza genera un’onda stazionaria

L’ ultimo numero Il numero immaginario

Numeri complessi: x,y numeri reali

Asse immaginaria z y x Asse reale

1) Qualsiasi funzione puo’ essere costruita mediante una somma di 2) “i” e’ l’ ultimo numero, nel senso che non esiste niente, che non possa essere rappresentato da i Se non sappiamo come descrivere un fenomeno, usiamo “i”.