Campi elettrici nella materia 8 ottobre 2012 Dipolo elettrico Campo E nella materia Polarizzazione e intensità di polarizzazione P Il campo spostamento elettrico D Energia elettrostatica Campi alla superficie di separazione tra due dielettrici

Dipolo elettrico E’ l’insieme di due cariche di ugual modulo q e segno opposto, poste a distanza l tra loro Momento elettrico di dipolo: è un vettore dato dal prodotto (normale) della carica per il vettore distanza: Ove il vettor l si considera orientato dalla carica negativa a quella positiva -q +q 2

Due tipi di dipolo Il dipolo può essere indotto da un campo elettrico esterno che sposta le cariche positive e negative in un sistema altrimenti simmetrico Il dipolo ha necessariamente lo stesso verso del campo esterno Il dipolo può essere permanente: c’è una distribuzione asimmetrica stabile di carica Il dipolo può avere un’orientazione arbitraria 3

Fatti sperimentali Dati n conduttori carichi nel vuoto, essi producono un campo E0 Se i conduttori non sono nel vuoto, ma immersi in un dielettrico, l’unico cambiamento macroscopico nel campo è una diminuzione di intensità per una costante er (maggiore di 1) che dipende dalla natura del dielettrico Ne segue che anche la ddp diminuisce dello stesso fattore Mentre la capacità aumenta dello stesso fattore 4

Costante dielettrica er prende il nome di costante dielettrica relativa, è adimensionale Il prodotto e =e0 er prende il nome di costante dielettrica del materiale er può dipendere dal punto considerato nel dielettrico (materiale non omogeneo) essere un tensore (materiale non isotropo) 5

Misura della costante dielettrica In pratica per misurare la costante dielettrica relativa di un isolante si sfrutta la relazione facendo il rapporto tra le capacità che uno stesso condensatore assume con e senza il dielettrico tra le armature 6

Campo elettrico nella materia - + E0 Consideriamo il caso semplice in cui il conduttore è un condensatore piano La carica sul conduttore (detta anche carica “libera”), di densità s, polarizza il dielettrico, che si carica superficialmente con carica (detta “legata”) di densità spol e segno opposto alla carica libera La carica libera produce il campo La carica legata produce il campo il campo totale è - + Epol E = E0 + Epol 7

Campo elettrico nella materia Poiché sappiamo che il campo totale vale possiamo trovare il campo dovuto alla carica legata ove abbiamo introdotto la suscettività  Il campo del dielettrico ha verso opposto a quello del conduttore, e modulo inferiore Ne segue che il campo risultante E ha modulo inferiore al campo nel vuoto Ovvero il campo elettrico dovuto alla polarizzazione compensa solo in parte il campo del conduttore 8

Campo elettrico nella materia Dalla relazione tra campi otteniamo anche 9

Difficoltà di una definizione di campo nei dielettrici Se lo spazio è riempito di dielettrico, affinché la definizione di campo elettrico mantenga il suo carattere operativo, dobbiamo pensare di poter praticare un foro nel dielettrico, al cui interno operare Però sulla superficie interna del foro si formano cariche di polarizzazione che alterano il risultato della misura, il cui valore dipende per di più dalla forma del foro Le proprietà macroscopiche della materia dipendono dalla sua struttura molecolare e nonostante la grande complessità di tale struttura è possibile sviluppare in modo semplice l’elettrostatica dei dielettrici

Polarizzazione molecolare in un campo esterno Consideriamo una molecola in un dielettrico Indichiamo con E* il campo elettrico dovuto non solo ai conduttori, ma anche a tutte le molecole del dielettrico, con l’esclusione della molecola che stiamo considerando Se considerassimo anche il campo della molecola avremmo proprio il campo E trovato in precedenza

Polarizzazione molecolare in un campo esterno La polarizzazione delle molecole è dovuta in generale alla sovrapposizione di due cause distinte, entrambe dovute all’azione del campo esterno E* La prima è una deformazione della molecola La seconda è un’orientazione di molecole dotate di momento elettrico permanente

1) Polarizzazione per deformazione È dovuta alle forze agenti su elettroni e nuclei della molecola Queste forze sono dirette in verso opposto e tendono a deformare la molecola e a creare un momento elettrico indotto parallelo al campo esterno E* L’intensità di tale momento dipende dall’orientazione della molecola rispetto al campo esterno Preso un numero molto grande di molecole, il momento elettrico indotto risultante di tutti i momenti atomici P d è comunque un vettore parallelo al campo esterno E* Dividendo per il numero di molecole otteniamo il momento elettrico indotto medio

2) Polarizzazione per orientamento Una molecola con momento elettrico permanente viene orientata dal campo esterno in modo che il momento tenda a essere parallelo al campo A questa azione si contrappone l’agitazione termica che tende a disorientare i momenti delle molecole uniformemente in tutte le direzioni Si raggiunge un equilibrio termico, in cui le molecole orientate verso il campo sono un po’ più numerose delle altre Preso un numero molto grande di molecole, il momento elettrico permanente risultante di tutti i momenti atomici P o è un vettore parallelo al campo esterno E* Dividendo per il numero di molecole otteniamo il momento elettrico permanente medio

Polarizzazione Sia dato un corpo dielettrico di forma qualunque e sia P il momento elettrico risultante, cioè la somma di tutti i momenti di dipolo (indotti e permanenti) degli atomi o delle molecole che lo costituiscono, allora ove p è il momento medio di dipolo delle molecole

Notare la definizione differenziale Polarizzazione P Macroscopicamente possiamo definire un vettore P, la (densità di) polarizzazione, come il momento totale di dipolo elettrico per unità di volume Le dimensioni di P sono Cioè uguali alla densità superficiale di carica Notare la definizione differenziale

Polarizzazione P P dipende, naturalmente, dal campo elettrico Il campo che consideriamo qui è quello totale E, dipendente a sua volta da P Il dielettrico è detto lineare se P è proporzionale a E omogeneo se la costante di proporzionalità è uniforme nello spazio isotropo se P e E hanno la stessa direzione. Per dielettrici anisotropi è necessario introdurre un tensore di polarizzabilità Dielettrici lineari, omogenei ed isotropi sono il caso più semplice, noi ci limiteremo a studiare questo caso

Relazione tra P e rpol (1) + - A l R E, P Vogliamo mostrare come si determina pol in un dielettrico polarizzato, lo faremo in tre passi 1) consideriamo un parallelepipedo (PP) di materiale isolante di altezza l e area di base A posto in un campo elettrico uniforme parallelo all’altezza In ogni punto R interno al PP c’è una carica media nulla, in quanto accanto alla carica positiva dei dipoli a sinistra di R, c’è sempre una carica uguale e opposta dei dipoli di destra Solo in uno strato dell’ordine delle dimensioni molecolari sulle basi vi sono distribuzioni di carica non nulle

Relazione tra P e rpol (1) + - A l R E, P Calcoliamo la densità di carica media pol entro questi due straterelli lungo le due basi di area A Osserviamo che il PP possiede un momento elettrico che può anche esprimersi come prodotto della lunghezza del PP per la carica distribuita su una base Dal confronto otteniamo Cioè è come se sulla base del prisma fosse distribuita una carica di densità superficiale

Relazione tra P e rpol (1) In realtà la carica q è distribuita entro uno strato di spessore dell’ordine delle dimensioni molecolari Dato che tale spessore è molto piccolo rispetto all’area A, potremo sostituire alla densità media di volume pol la densità media superficiale, spol, delle cariche di polarizzazione

Relazione tra P e rpol (2) 2) estendiamo il risultato ad un dielettrico di forma qualunque, ma ancora con polarizzazione uniforme Quindi se il dielettrico è polarizzato uniformemente, non vi sono cariche di polarizzazione al suo interno Consideriamo due volumi adiacenti e uguali attorno al punto R, di altezza infinitesima dl nella direzione di P e di base dS Applichiamo le considerazioni svolte al punto (1) Sull’elemento dS c’è una carica positiva con densità s dovuta al volume di sinistra ed una negativa con densità -s dovuta al volume di destra, la cui somma è zero + R - dl dS P

Relazione tra P e rpol (2) Sulla superficie le cose vanno diversamente perché qui la carica non è compensata da una carica uguale e opposta Sulla superficie dS* (di area dA*) la carica dq ha una densità La relazione tra le aree di dS* e dS è e quindi + - q P n dS* dS

Relazione tra P e rpol (3) 3) supponiamo ora che la polarizzazione non sia uniforme La relazione appena trovata per la densità sulla superficie esterna del dielettrico è ancora valida All’interno del dielettrico, pero`, possono ora esserci cariche di polarizzazione Consideriamo due volumi infinitesimi contigui all’interno del dielettrico, definiti in modo che la loro superficie laterale sia un tubo di flusso di P + R S PR PS ++ - - - l dl

Relazione tra P e rpol (3) Diciamo l la coordinata, in generale curvilinea, lungo il tubo di flusso Il campo P e` diretto, per definizione, lungo l, ovvero il suo modulo coincide con la proiezione lungo l + R S PR PS ++ - - - l dl

Relazione tra P e rpol (3) Sulla faccia di separazione (normale al tubo) tra i volumi R e S, nel punto C, c’è la carica positiva del volume R e la carica negativa del volume S: In totale la carica in C è + R S PR PS ++ - - - l dl C E dividendo per il volume dV si ottiene la densità volumica delle cariche di polarizzazione dA

Relazione tra P e rpol (3) Più in generale si può dimostrare che La densità delle cariche di volume è dunque zero non solo quando P è uniforme, ma anche quando è solenoidale In conclusione: il vettore P permette di calcolare la densità pol delle cariche di polarizzazione, sia dentro il dielettrico che sulla sua superficie:

Legge di Gauss nei dielettrici Ricordiamo la legge di Gauss microscopica: Questa eq. continua a valere anche nei dielettrici polarizzati, purché alle cariche presenti sui conduttori si aggiungano le cariche presenti sui o nei dielettrici Queste cariche, come abbiamo visto, sono caratterizzate mediante la densità microscopica pol Otteniamo dunque 27

Relazione tra E e P Ricordando le relazioni trovate per un condensatore piano tra densità di cariche libere e legate e tra campo elettrico e densità di carica Da cui la relazione (di validità generale)

Il vettore D Torniamo alla legge di Gauss Moltiplicando i due membri per e0 e sostituendo la relazione tra P e rpol Introducendo il vettore spostamento elettrico (o induzione elettrica) si ottiene l’eq. Cioè la divergenza di D dipende solo dalle cariche libere e non da quelle di polarizzazione

Il vettore D Per quanto riguarda il campo sulla superficie di un conduttore, in presenza di un dielettrico, possiamo usare la formula già trovata in assenza di dielettrico, aggiungendo però le cariche di polarizzazione Di nuovo, la componente di D normale alla superficie dipende solo dalle cariche libere e non da quelle di polarizzazione

Relazioni tra E, P e D Eliminando P dalle relazioni otteniamo Se invece eliminiamo E: Dentro il dielettrico non ci sono cariche libere,quindi Questo però non significa che non ci siano cariche di polarizzazione poiché se il dielettrico non è omogeneo dipende dalle coordinate spaziali e non e` necessariamente nullo:

Il vettore D In conclusione per descrivere i fenomeni elettrici in presenza di un dielettrico non è sufficiente il solo campo E è necessario introdurre un secondo campo: P, oppure D

Elettrete (ferroelettricità) Esempio di dielettrico non lineare È un dielettrico non lineare che, una volta polarizzato, conserva un proprio momento elettrico al cessare dell’azione del campo elettrico polarizzante È l’equivalente elettrico dei magneti permanenti Possono essere ottenuti riscaldando il materiale dielettrico fino al punto di rammollimento e poi facendolo raffreddare sotto l’azione continua di un campo elettrico uniforme

Energia elettrostatica Sia data una distribuzione di carica q che genera un potenziale V. Un aumento di carica dq comporta un aumento di energia potenziale elettrica dU pari a L’energia totale accumulata partendo da carica iniziale nulla a carica finale Q è Espressioni alternative 34

Energia elettrostatica Nel processo di carica di un condensatore, viene generato un campo E tra le armature Il lavoro speso per caricare il condensatore può considerarsi come il lavoro necessario per generare il campo E Condensatore piano di area A, distanza d e con dielettrico Sostituendo nell’espressione dell’energia elettrica 35

Energia elettrostatica La quantità Ad è il volume V compreso tra le piastre Definiamo la densità di energia elettrostatica dividendo l’energia per il volume Nel caso generale la densità di energia può cambiare da punto a punto e quindi dev’essere espressa in termini differenziali Inversamente l’energia si trova integrando la densità nello spazio 36

Energia elettrostatica Si può estendere la relazione al caso generale, di cui non diamo la dimostrazione, nella forma 37

Superfici di separazione Supponiamo di avere due dielettrici di costanti 1, 2, separati da una superficie S Detto P un punto arbitrario di S, vogliamo trovare la relazione esistente tra i valori che il campo E, e il campo D, assumono nei due dielettrici, nelle immediate vicinanze di P, sui due lati di S 1 2 S P

Campo E sulla superficie di separazione tra due dielettrici Consideriamo la circuitazione dK di E su un rettangolo molto piccolo di base dl e altezza dh, con le basi parallele localmente in P alla superficie. Per un campo E statico dK è nulla: A dK contibuiscono le basi e le altezze Poiché dl2=-dl1, ne segue Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale relativo tende a zero e rimane Ne segue che la componente tangenziale del campo (parallela alla superficie di separazione) è uguale nei due dielettrici 1 2 S dl2 dl1 P E2 E1

Campo D sulla superficie di separazione tra due dielettrici Consideriamo un cilindro molto piccolo di base dA e altezza dh, con le basi parallele localmente alla superficie. Il flusso d di D è proporzionale alla carica libera contenuta nel cilindro, che nel nostro caso è zero: 1 2 S dA2 dA1 P D2 D1 A d contribuiscono la superficie laterale e le basi Poiché dA2=-dA1, ne segue Se facciamo tendere dh a zero, l’integrale sulla superficie laterale tende a zero e rimane Ne segue che la componente di D normale alla superficie di separazione è uguale nei due dielettrici

Rifrazione delle linee di campo Abbiamo trovato che In termini di componenti di E Potremmo scrivere relazioni analoghe per D Detti 1 e 2 gli angoli che i vettori E1, E2 formano con la normale n, abbiamo 1 2 E2 E1 n 1 2

Rifrazione delle linee di campo Facendone il rapporto Ciò significa che la direzione delle linee di campo, passando da un dielettrico all’altro, subisce una variazione discontinua Questo fenomeno prende il nome di rifrazione delle linee di campo 1 2 E2 E1