La misura e la statistica (1)
La misura e la statistica (1) Ricapitoliamo la situazione dal ‘700 in poi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura e la statistica (1) Gauss verso la fine del 1700 scopre un fatto nuovo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura e la statistica (1) La posizione angolare di una stella non viene mai riprodotta esattamente Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura e la statistica (1) Nasce una nuova visione della misura I dati sperimentali non sono certi, ma approssimati Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per le previsioni teoriche Sia per imprecisioni di calcolo Sia per imprecisioni di metodo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura e la statistica (1) Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa del metodo Scarsa conoscenza dello strumento Ed impossibilità di andare oltre a certi limiti Più tardi ci si accorgerà che ciò accade anche per colpa della Natura Impossibilità fisica di misurare certe zone della Natura (energia-tempo, momento-posizione, etc.) Impossibilità pratica di prevedere fenomeni iterati Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura e la statistica (1) Ciò che riusciamo a dominare (entro certi limiti) sono L’imprecisione casuale ERRORI CASUALI L’imprecisione strumentale ERRORI SISTEMATICI L’imprecisione teorica ERRORI DI FORMALISMO E DI CALCOLO NUMERICO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura e la statistica (1) Con Gauss il caso entra nella Scienza ... è la fine dell’epoca della Dea Ragione? Oggi senza la statistica non esiste metodo sperimentale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Gli inizi
La probabilità e le sue leggi La definizione astratta di probabilità è praticamente inutile Petizione di principio Rapporto fra i casi favorevoli ad un evento ed i casi possibili, quando questi siano equiprobabili È la probabilità a priori Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi La difficoltà concettuale è solo apparente Si tratta di una sistemazione di fatti empirici Il dado ed i suoi rimbalzi I fenomeni complessi ed iterati La statistica è al confine fra Empiria (= Natura) ed Astrazione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Definizione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi In generale, per un evento ripetuto volte, definiremo Frequenza assoluta: numero di casi favorevoli Frequenza relativa: di solito semplicemente frequenza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi LEGGE DEI GRANDI NUMERI Per la frequenza tende alla probabilità (a priori) Attenzione: in senso statistico o stocastico Non è la solita tendenza al limite Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Tendenza al limite stocastica Diverse sequenze danno diversi percorsi Non si può stabilire un “N talmente grande che...” Sono sempre possibili scostamenti molto grandi ...solo che divengono sempre più rari Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Facciamo l’esempio del solito dado Uscita di una faccia Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Legge della somma Due eventi mutuamente esclusivi A e B Uscita del 2 o del 4 Si considera evento favorevole il verificarsi del primo o del secondo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi I casi favorevoli si sommano Quindi si sommano le probabilità Per un or ( +) di eventi mutuamente esclusivi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Legge del prodotto Due eventi indipendenti A e B Uscita del 2 su un dado e del 4 sull’altro Si considera evento favorevole il verificarsi del primo e del secondo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi I casi favorevoli e possibili si combinano, e quindi si moltiplicano Quindi si moltiplicano le probabilità Per un and ( ) di eventi indipendenti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Se A a B non sono indipendenti definiremo le probabilità condizionali Probabilità che avvenga A dopo che si è verificato B, etc. Evidentemente... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi La formula di Bayes: Partiamo da una serie di eventi mutuamente esclusivi La scelta di un cassetto in cui siano contenuti diversi miscugli di palle bianche e nere Un evento E può accadere solo se è accaduto un evento B Estrazione di una palla bianca o nera Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Probabilità che avendo estratto una palla nera il cassetto da cui è stata estratta sia il secondo Praticamente mai usata in fisica, e difatti... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi ATTENZIONE Siamo sicuri che siano rispettate teoricamente le ipotesi? La scelta dei cassetti è veramente equiprobabile? Siamo sicuri che siano rispettate in pratica le ipotesi? La scelta dei cassetti è stata fatta effettivamente in modo equiprobabile? Non ci sono bias? Non ci sono errori sistematici? Questioni molto sottili e molto difficili da controllare... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Se A e B non sono mutuamente esclusivi otteniamo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Se la probabilità di un evento è p, la probabilità che esso avvenga k volte in n tentativi vale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Il calcolo delle probabilità è essenzialmente un gioco di calcolo combinatorio Il calcolo può divenire anche molto complicato Esempio: il terno al Lotto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Quindi se io gioco tutti i terni ad 1€ per terno spendo 11748 € Uno esce Per la vincita mi pagano 5000 € Ed i rimanenti 6748 €? ...... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Attenzione alle leggende metropolitane I numeri che ritardano ...e che quindi scientificamente debbono uscire (Se no che figura ci farebbero?) In realtà l’evento raro è già accaduto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità e le sue leggi Importante il calcolo dei fattoriali Formula di Stirling Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Elementi di statistica
Elementi di statistica La statistica è un’estensione del calcolo delle probabilità Si parte dai concetti fondamentali Si estende la definizione di probabilità Si introducono delle nuove variabili Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Estensione del concetto di probabilità
Estensione del concetto di probabilità La probabilità viene fatta passare da un numero razionale ... ... ad un numero reale La probabilità può essere infinitesima Anche se poi si darà significato sempre all probabilità finita Tramite integrazioni Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Estensione del concetto di probabilità Si suppongono valide tutte le leggi delle probabilità già stabilite Non si può più definire la probabilità come rapporto fra casi favorevoli e casi possibili Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate
Le variate Una variata è una variabile... ... reale ... discreta o continua ... associata ad una probabilità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Una variata discreta Assume i valori ... ... con probabilità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Esempio classico: il dado Variata: un numero da 1 a 6 Probabilità associata: 1/6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Si definisce Valore atteso Speranza matematica Valore medio Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate La variata discreta può essere definita da una tabella Esempio: I numeri riportati sulle facce di un dado Attenzione: i numeri potrebbero essere diversi Anche le probabilità se il dado fosse truccato... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate 1 0.167 2 3 4 5 6 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Ed ecco una rappresentazione grafica Distribuzione Spettro Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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Le variate Se si conoscono solo valori proporzionali alle probabilità occorrerà normalizzarli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Una variata continua Assume valori reali in un dominio D con probabilità infinitesima La è la funzione di distribuzione (spettro) Funzione densità Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Il dominio D sarà per noi, praticamente sempre, uno dei seguenti insiemi Tutto l’asse reale Il semiasse reale positivo Un intervallo (e di solito chiuso) Indicheremo in ogni caso l’estremo inferiore con low e quello superiore con high Ecco degli esempi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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Le variate In ogni caso vale la condizione di normalizzazione ...ed in generale un valore atteso (“speranza matematica”) vale... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Una distribuzione si può descrivere Con la funzione di distribuzione stessa Con la distribuzione cumulativa Con la trasformata di Fourier della Funzione caratteristica Funzione generatrice dei momenti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le variate Attenzione alle funzioni cumulative Solo un paio di esempi Sono più simili delle funzioni di distribuzione! Solo un paio di esempi Hanno molta importanza quando si simulano dei dati MonteCarli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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Le variate ...è sempre il solito passaggio dalle derivate agli integrali e viceversa... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni in generale
Le distribuzioni in generale Sono funzioni per cui è sempre Per un insieme di definizione infinito dev’essere Per evitare la divergenza logaritmica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni in generale Di solito hanno quindi dei picchi Il picco più alto si chiama moda della distribuzione Un picco: unimodale Poi bimodale, multimodale... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni in generale Si definisce la mediana È definita con un’equazione integrale Non gode di proprietà di linearità Molto utile e potente soprattutto nell’analisi delle serie temporali Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni in generale Poi ci sono i quartili Mediane della mediana Poi i percentili ... NON USATELI MAI Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni in generale Quasi sempre di una distribuzione si fornisce La media La standard deviation La moda A volte anche il momento secondo (o la sua radice) Valore quadratico medio È il caso delle velocità in un gas Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni in generale Attenzione a non confondere Facili a confondere se si usa il simbolo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Distribuzioni discrete e continue
Distribuzioni discrete e continue In molti testi sono trattate assieme Per usare sommatorie + integrali occorre usare gli integrali di Stjeltjes Ma ne vale la pena?... Noi separeremo i due casi Non capita mai di avere variate miste (discrete + continue) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le principali distribuzioni discrete
Le principali distribuzioni discrete Veramente importanti solamente due Distribuzione di Bernoulli e binomiale Distribuzione di Poisson, o degli eventi rari Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione di Bernoulli
La distribuzione di Bernoulli Il caso più semplice Variata che può assumere due valori SCHEMA X Prob. 1 successo p insuccesso q=1-p Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione di Bernoulli Valor medio Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione binomiale Estensione della distribuzione di Bernoulli Caso tipico: Estraiamo da un’urna una palla Bianca: probabilità p Nera: probabilità q=1-p Probabilità di estrarre k palle bianche su n estrazioni, rimpiazzando ogni volta la palla Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione binomiale Legge della distribuzione Introduciamo una variata che valga 1 per successo e 0 per insuccesso Quindi Su n prove Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione binomiale Si può calcolare anche con la funzione caratteristica Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione binomiale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione binomiale All’aumentare della probabilità (da 0.1 a 0.3) la distribuzione diviene più simmetrica Assomiglia ad una distribuzione gaussiana ...che vedremo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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La distribuzione di Poisson
La distribuzione di Poisson È la distribuzione di eventi rari È ciò che diviene la binomiale quando Legge della distribuzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione di Poisson Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione di Poisson Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione di Poisson Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione di Poisson Ed infine un grafico per e Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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Le principali distribuzioni continue
Le principali distribuzioni continue Molte hanno interesse limitato Qui studiamo solo quelle di maggiore interesse per la misura Definite In un intervallo (solo la uniforme) Semiasse reale positivo Tutto l’asse reale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione uniforme
La distribuzione uniforme Definita fra –1/2 e 1/2 Di solito però fra 0 e 1 Il calcolatore estrae “numeri a caso” in questo intervallo In realtà i numeri sono pseudocasuali Estratti con un formalismo causale si verifica a posteriori che rispettino la casualità Il caso di p Sono la base per simulazioni statistiche Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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La distribuzione uniforme Definizione della distribuzione In generale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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La distribuzione uniforme Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
UN PROBLEMA INTERESSANTE
Un problema interessante Visto che il calcolatore mi dà solo numeri (pseudo)casuali fra 0 ed 1, posso (e se sì come) ottenere dei numeri distribuiti fra A e B con una distribuzione f(x) ? La risposta è affermativa Metodo di reiezione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un problema interessante Uno schizzo grafico... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un problema interessante Ricetta Calcoliamo anzitutto il massimo della funzione nel nostro intervallo Poi calcoliamo Estraiamo un numero fra 0 ed 1 Calcoliamo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un problema interessante Ora estraiamo un secondo numero fra 0 ed 1, e moltiplichiamolo per M: Quindi una distribuzione uniforme fra 0 ed M Siamo ora in possesso di due numeri (pseudo)casuali X fra a e b Y fra 0 ed M Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un problema interessante Calcoliamo la Terremo per buono il valore X se è Rigetteremo il valore X Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un problema interessante Il metodo è usatissimo e garantito Funziona a spese di estrazioni a vuoto In pratica Si riempie uniformemente il rettangolo verde di punti Si tengono per buoni solo quelli sotto la curva Funziona anche per più dimensioni ...e si allungano i tempi... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana
La distribuzione gaussiana Se sommiamo variabili distribuite uniformemente otteniamo Numero di variabili: 1, 2, 3, 4, 10 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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La distribuzione gaussiana Si dimostra che si tende ad una distribuzione tipica, “a campana” La distribuzione normale In generale La distribuzione gaussiana Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Dimostrazione non immediata Bisogna lavorare sulle funzioni caratteristiche Passare al limite (e si tratta di dipendenze funzionali... Si vede anche che il limite è lo stesso anche se le distribuzioni NON sono uniformi ...e difatti è MOLTO IMPORTANTE il Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Teorema del limite centrale Se una variata ha una ha una distribuzione la media di un campione su osservazioni tende ad essere distribuita normalmente al crescere di Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Quindi le al crescere di tendono ad essere distribuite normalmente anche se non lo sono le singole variate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Noi ci limiteremo alle variate normali Sono le più utili Coprono l’assoluta maggioranza dei casi pratici Quando occorre qualcosa di più si è nei guai In questo caso bastano due momenti Media e SD Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Caso importante “fuori dal coro” i conteggi Seguono la statistica di Poisson Però Regola a spanne Quando usate pure Gauss con Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Sotto a questo limite bisogna stare attenti perchè... La distribuzione è asimmetrica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Insomma... TUTTO FINISCE PER ESSERE GAUSSIANO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana La funzione di distribuzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Definiremo a partire da una variata normale x La variata centrata (detta anche scarto) La variata ridotta (detta anche scarto ridotto) Vediamo degli esempi grafici Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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La distribuzione gaussiana Una proprietà importante: Le probabilità di stare dentro un certo numero N di SD sono sempre le stesse Attenzione: la funzione d’errore è (storicamente) definita per una gaussiana non normalizzata... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana Definizione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana In realtà a noi serve Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione gaussiana 1 2 3 4 5 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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La distribuzione maxwelliana
La distribuzione maxwelliana Importante per la distribuzione dei moduli delle velocità delle molecole in un gas Funzione di distribuzione Stavolta non conviene usare la funzione caratteristica... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione maxwelliana Moda Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione maxwelliana Standard deviation Velocità quadratica media Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione maxwelliana Skewness Kurtosis Quasi una gaussiana Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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La distribuzione del 2
La distribuzione del 2 La funzione di distribuzione è temibile... Funzione caratteristica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione del 2 Media Varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La distribuzione del 2 Una rappresentazione grafica per Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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Perché il 2?
Perché il 2? Prendiamo variate La somma si distribuisce come Distribuite normalmente Indipendenti La somma si distribuisce come Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Perché il 2? La somma dei quadrati degli scarti ridotti ci dice quanto può essere buona una previsione rispetto ai dati osservati Dobbiamo osservare (sempre in senso stocastico!) Con una varianza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Perché il 2? Che probabilità c’è di osservare un valore di 2 superiore ad un valore trovato? Si chiama livello di confidenza Un grande 2 ha un basso CL È improbabile osservarlo -> qualcosa sta andando male... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Perché il 2? Ecco cosa succede per N=10 Funzione CL Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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Perché il 2? C’è solo il 10% di probabilità di trovare un 2 maggiore o uguale a 15 Se lo si trova si è di fronte ad un evento improbabile ...se questo deriva da un’ipotesi teorica che abbiamo fatto... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Test di ipotesi Perché il 2? Insomma abbiamo un Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Perché il 2? ...ma anche se troviamo un 2 troppo piccolo qualcosa potrebbe non andar bene Non è che abbiamo sbagliato a calcolare le varianze? ...magari stimandole troppo elevate? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate
Le distribuzioni bivariate Sono definite per due variate La situazione adesso è molto più complessa Il grafico è una superficie Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Si definiscono le distribuzioni marginali... ...e quelle condizionali Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Se la non dipende da x allora ...e le variabili si dicono indipendenti Tutto simmetrico per la y Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Per ogni valore di x avremo una media Plottando questo verso x si ottiene la curva di regressione di y su x Regressione: da studi di biometria (Galton): la statura dei figli di genitori con statura superiore alla media tende a regredire verso la statura media della razza Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Il caso delle distribuzioni di variate normali indipendenti: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Se le variate non sono indipendenti È sempre possibile riportarsi ad una forma del tipo La curva di regressione di y su x è una retta Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Abbiamo una serie di osservazioni Calcoliamo la somma dei quadrati degli scarti Questa è minima per Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Questo è il coefficiente di correlazione fra le variate La stima teorica è Per variabili non ridotte Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate La varianza di Y su X è data quindi da Le variabili indipendenti sono Leggi: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Quindi la legge generale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Le distribuzioni bivariate Due esempi di distribuzioni con variate indipendenti e due con variate dipendenti Nel caso di quelle indipendenti: Una stella fotografata da un telescopio Tremolio attorno ad una posizione media La SD misurata in secondi d’arco, prende il nome di seeing Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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Le distribuzioni bivariate In generale... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La somma delle varianze
La somma delle varianze Supponiamo di avere delle variabili indipendenti Ora prendiamo le variate centrate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La somma delle varianze Ora abbiamo E quindi la legge della somma delle varianze per variate indipendenti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La somma delle varianze Per somme di variate indipendenti le varianze si sommano quadraticamente Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La somma delle varianze Quindi sommare direttamente le standard deviation porta ad una sovrastima della varianza finale A volte può essere perfino conveniente... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura come variata
La misura come variata Una qualunque misura è affetta da una serie di incertezze Se ripetuta non dà gli stessi risultati Molte (ed in numero sempre maggiore) di previsioni teoriche non possono essere fatte con mezzi formali Vengono fatte con mezzi o numerici o statistici MonteCarli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura come variata In definitiva il confronto fra teoria ed esperimento è sempre probabilistico Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura come variata Il primo passo è che una misura è sempre pensata come una variata E di solito normale Questo vale sia per misure “tipiche” Il diametro di un chiodo ... sia per misure di tipo statistico Il peso medio di un pollo di un allevamento ...sia per misure complesse Densitometria ossea Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Di norma si suppone che La misura come variata La misura di una quantità singola sia una variata normale Con valore atteso Con SD I momenti superiori sono (evidentemente) noti La SD sia piccola rispetto al valore atteso Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura come variata SE QUESTE IPOTESI NON FUNZIONANO OCCORRE AGIRE DI CONSEGUENZA E CAMBIARE IL FORMALISMO DI QUANTO DIREMO Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Medie ed errori
Medie ed errori Risultato di una misura: una variata normale Momenti: Primo: -> la media Secondo: -> la varianza Si fornisce la deviazione standard Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Medie ed errori Nell’ipotesi normale è sufficiente fornire i primi due momenti In realtà si fornisce per convenzione media e SD Il risultato di una misura viene espresso in generale come Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Medie ed errori Due tipi di errore Di solito misurato in % o in ppm Assoluto Relativo Di solito misurato in % o in ppm Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Medie ed errori Quasi sempre è espresso con una o al massimo due cifre significative Non si ritiene utile andare più in là Esempio: Numero di Avogadro Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Medie ed errori La SD ha sempre il significato statistico visto nella distribuzione normale Fuori di 1 SD -> 33 % Fuori di 2 SD -> 4 % Fuori di 3 SD -> 0,3 % = 3000 ppm Cosiddetto errore massimo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura diretta
La misura diretta Il caso più semplice Misuriamo il lato di un cubo con un calibro O stimiamo l’errore in base alla lettura O ripetiamo N volte la misura Otteniamo un vettore Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura diretta Stima del valore più probabile Questo è il valore che si fornisce come risultato della misura MA: anche questa è una variata! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura diretta Le medie hanno dispersione minore Attenzione: ridurre la SD costa caro! Per ridurre la SD di un fattore 10 occorre aumentare il campione di un fattore 100! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura diretta ...e le fluttuazioni? Si fa l’ipotesi (ragionevole) che la caduta in un bin rappresenti un evento raro Statistica di Poisson Quindi in un bin abbiamo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura diretta Errore relativo... ...ancora la dipendenza dalla radice! A spanne: aumentare di 10 volte la statistica riduce l’errore di un fattore 3 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura diretta Un esempio pratico: Prendiamo un campione casuale di 1000 casi, da cui traiamo una certa conclusione. Che fluttuazioni ci possiamo aspettare? ...e con 100 casi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Dovremmo salire a 100 000 casi! La misura diretta ...e se volessimo ottenere fluttuazioni del 3 per mille? Dovremmo salire a 100 000 casi! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
ed ai risultati di medicamenti miracolosi provati su La misura diretta Insomma: attenti ai sondaggi ed ai risultati di medicamenti miracolosi provati su ben 127 casi... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
CONVENZIONI ACCETTATE La misura diretta E se non abbiamo a disposizione molte misure? Si stima l’errore. CONVENZIONI ACCETTATE Per strumenti a indicatore: metà della divisione più piccola Per strumenti digitali: metà dell’ultima cifra significativa Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura di grandezze funzioni di altre
La misura di grandezze funzioni di altre Caso tipico Misuriamo il diametro di una sfera Determiniamo l’errore di misura Calcoliamo il volume della sfera Come facciamo a calcolare l’errore sul volume? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La propagazione degli errori
La propagazione degli errori Riprendiamo la formula Nell’ipotesi normale e di errori piccoli Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La propagazione degli errori Errore relativo Più in generale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La propagazione degli errori E se le variabili sono in numero maggiore? Dovremo tener conto Del teorema del differenziale totale Dell’additività quadratica delle varianze Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La propagazione degli errori In totale... E l’errore relativo diviene Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La derivata logaritmica
La derivata logaritmica Nel caso di una variabile... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La derivata logaritmica Una comoda scorciatoia Usabile per errori piccoli Utile se le funzioni sono di tipo algebrico Facile da memorizzare … se uno non ha molte pretese … Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La derivata logaritmica Ecco un esempio strambo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La derivata logaritmica Attenzione: Non è rispettata l’additività quadratica delle varianze Si ottiene una sovrastima dell’errore complessivo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura statistica
La misura statistica Un problema: come misuriamo l’energia (o il momento) di un fascio ad es. Di elettroni? Non c’è un’energia unica Possiamo far passare gli elettroni in campo magnetico e poi misurare l’intensità alle varie deflessioni Possiamo usare campi magnetici ed elettrici incrociati ... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura statistica Cosa succede se gli elettroni sono pochi? Dobbiamo accumulare statistica Misurare l’energia di uno alla volta Accumulare i dati Riportare le misure in un istogramma delle frequenze A questo punto abbiamo dei conteggi ad intervalli fissati In conteggi sono interi (numeri esatti...) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura statistica Prenderemo Come valori della x i centri degli intervalli Come valori della y i conteggi Come errori la loro radice quadrata Statistica di Poisson Abbiamo l’approssimazione di una funzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Attenzione a pensare che il numero dei casi sia “esatto” La misura statistica Da questo momento in poi le misure statistiche si trattano come le altre Attenzione a pensare che il numero dei casi sia “esatto” Cosa comune in economia e medicina... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La misura statistica Aver osservato 100 casi vuol dire Altroché valore esatto... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
IL problema
IL problema Abbiamo dei dati sperimentali DOBBIAMO avere almeno un modello teorico Il(-i) modell0(-i) dipende(-ono) da alcuni parametri incogniti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Come facciamo a determinare dei parametri in questione? IL problema Come facciamo a determinare le migliori stime dei parametri in questione? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Come facciamo a determinare dei suddetti parametri? IL problema Come facciamo a determinare gli errori sulle stime dei suddetti parametri? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Come facciamo a decidere se un modello è accettabile? IL problema Come facciamo a decidere se un modello è accettabile? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Come facciamo a decidere qual’è il modello IL problema Come facciamo a decidere qual’è il modello “migliore”? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Come facciamo ad escludere IL problema Come facciamo ad escludere un modello? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La stima parametrica
La stima parametrica Un esempio: A vari si misurano dei valori Come possiamo determinare la migliore stima dei coefficienti della retta che meglio approssima i dati? Come possiamo determinare gli errori sui coefficienti della retta? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La stima parametrica Scegliamo ora per l’approssimazione una parabola, e ripetiamo il processo Come possiamo decidere quale è il modello migliore (retta o parabola)? È possibile determinare la probabilità che sia verificato il modello? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
stima parametrica test di ipotesi La stima parametrica Il primo problema si chiama stima parametrica Il secondo problema si chiama test di ipotesi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La stima parametrica Supponiamo ora di misurare distanze ed angoli fra tre vette di montagne. Come possiamo determinare le migliori stime di distanze ed angoli in modo che il triangolo chiuda? La somma degli angoli interni dev’essere 180° Vera la geometria euclidea Come possiamo decidere se vale o no la geometria euclidea? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
stima parametrica vincolata La stima parametrica Il problema si chiama stima parametrica vincolata Il secondo problema è un’estensione del test di ipotesi ed è il test di una teoria Nessuna differenza concettuale, solo una maggiore “importanza” Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La Maximum Likelihood
La Maximum Likelihood Esempio della retta Se conosciamo la legge di distribuzione intorno a y, calcoliamo la probabilità di ottenere le y osservate attorno al valore previsto Se sono indipendenti è solo il prodotto Otteniamo una funzione Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La Maximum Likelihood Che di solito è complicatissima Esprime la probabilità di trovare i valori osservati nell’ipotesi del nostro modello Funzione delle osservazioni e dei parametri incogniti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La Maximum Likelihood Cercheremo i parametri in modo da renderla massima Siccome è un prodotto si semplifica prendendo il suo ln Le derivate di un prodotto... ...ed i prodotti divengono somme! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La Maximum Likelihood Di questa funzione si deve cercare il massimo Se poi ci sono correlazioni, apriti Cielo... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Questo è l’unico metodo statistico di stima parametrica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
USATE ALMENO DUE PACKAGES DIVERSI! La Maximum Likelihood Il calcolo delle condizioni di massimo va fatto con metodi numerici In giro ci sono ottimi packages Un consiglio USATE ALMENO DUE PACKAGES DIVERSI! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2
Il minimo del c2 Supponiamo che le osservazioni siano indipendenti e normali La probabilità diviene il prodotto di tante gaussiane Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Ed il logaritmo della funzione di likelihood diviene una somma... ...che dev’essere massima Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 ...e quindi dovrà essere minimo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 La stima dei parametri va in cerca dei valori dei parametri che rendono minima la somma dei quadrati degli scarti ridotti rispetto ai valori previsti dal modello scelto Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Come si scrive una funzione di c2? Anzitutto occorre scrivere la funzione Questa è il nostro modello teorico Dipende dalle variabili che osserviamo da alcuni parametri che vogliamo determinare Poi occorre determinare gli errori sulle Problema non facile Da esso dipende non tanto la bontà della risposta, quanto il valore del minimo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Un caso eclatante Il fit geometrico di tracce di camere a bolle in campo magnetico (anni ’60 al CERN ed altrove) Supposto un modello con archi di cerchio In realtà erano archi di spirale che si stringeva Ne derivava una sovrastima degli errori sui parametri Si traduceva in fit eccessivamente ottimistici Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 In generale la previsione è funzione di certi parametri Quindi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Per trovare il minimo si possono seguire due strade Derivare rispetto ai parametri Si ottiene un sistema di equazioni Sistema normale Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Se il sistema è lineare si risolve nei parametri Il problema è semplice ed è trattato in tutti i testi di statistica Peccato che tutto ciò accada raramente: Regressione lineare o quadratica: retta, parabola,... In genere con funzioni lineari nei parametri incogniti Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Un esempio: Dato un set di coppie nel piano qual’è la parabola che le approssima meglio? Problema lineare Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Ed analoghe per gli altri due coefficienti della parabola Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 E se volessimo un cerchio? Siamo nei guai: Problema comune: particelle in campi magnetici disegnano cerchi, e non parabole... Siamo nei guai: Dobbiamo determinare coordinate del centro e raggio Di nuovo tre parametri Solo che... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 ...ed ora... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Anche ora potete calcolare le derivate... Auguri... ...ma come si risolve poi il sistema normale NON lo trovate sui testi di statistica... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Se il sistema non è lineare si può provare a linearizzarlo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Quindi Si calcolano le correzioni e si pone Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Non si tratta di un problema facile Le derivate possono diventare facilmente formalmente molto complesse Si tratta di programmi non semplici da scrivere e da gestire Occorre scrivere dei programmi diversi per ogni problema che si affronta Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Molti problemi pratici: Abbiamo dei ragionevoli valori di prima approssimazione? Il metodo converge ? Dopo quante iterazioni? Con quale precisione? Quando lo fermiamo? Cosa facciamo se diverge? Se le correzioni aumentano invece di diminuire Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Ultimo sistema Minimizzare direttamente la funzione Packages appositi MINFUN MINUIT MATHEMATICA MatLab MathCad Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Strategie tipiche (MINUIT) Si parte su una catena di montagne Si esplorano gli incrementi Derivate direzionali Si sceglie quello più negativo Gradiente Si segue la direzione del gradiente Ad un certo punto l’incremento diviene positivo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Si esplora intorno Se è positivo dappertutto si è in fondo ad uno stagno Se no si riprende Come si fa a sapere che lo stagno è il più profondo di tutti? In due variabili si può visualizzare, ma in più di due? Problemi, problemi... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il minimo del c2 Attenzione: Se trovate un minimo, chi vi dice che sia quello vero? Siete arrivati davvero nella valle più profonda di tutte? Potete arrangiarvi se siete in 2 variabili con la grafica Se no... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
NESSUNA SOLUZIONE AL PROBLEMA DEI MINIMI LOCALI Il minimo del c2 NESSUNA SOLUZIONE AL PROBLEMA DEI MINIMI LOCALI SOLO PAZIENZA ED ATTENZIONE Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi
Il test di ipotesi Torniamo al caso della retta Una serie di punti, riportati con le loro barre d’errore Ecco un esempio ed un possibile fit Fatto ad occhio... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
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4 gradi di libertà Il test di ipotesi Calcoliamo il Ci sono 6 punti indipendenti, 2 parametri 4 equazioni in più 4 gradi di libertà Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Ci aspettiamo quindi Supponiamo di aver misurato Attenzione alla skewness di c2! Supponiamo di aver misurato Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
La probabilità di osservare un c2 uguale o maggiore di C è assunta come livello di confidenza dell’ipotesi “i punti sperimentali sono stati presi da un campione di punti che in realtà stanno su una retta, coi coefficienti da noi calcolati” Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi ...ed ecco la curva per 4 gradi di libertà Ascissa: valore del c2 Ordinata: probabilità di osservare un c2 maggiore o uguale a quello dell’ascissa Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Però potremmo anche fare l’ipotesi che i punti nel nostro modello dovrebbero stare su una parabola E stavolta avremmo 3 gradi di libertà Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un problema Il test di ipotesi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Aumentando il numero dei parametri il CL migliora Se usiamo una curva di 5° grado questa passa per tutti e 6 i punti Il c2 diviene 0! CL=100 %! Vuol dire forse che questa ipotesi è la migliore? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi NO! Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Vuol dire solo che noi non conosciamo il nostro mestiere... Il test di ipotesi Vuol dire solo che noi non conosciamo il nostro mestiere... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Risposta: Il test di ipotesi Un dubbio: ma allora come facciamo a distinguere fra una teoria che predice una retta (Prof.Tizio) Una teoria che predice una curva di 5° grado? (Prof.Caio) Risposta: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
NON CON QUESTI DATI Il test di ipotesi Ne occorrono di più e con errori più piccoli Quindi più misure, e più precise ed accurate Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Risposta: Il test di ipotesi Un panico: ma allora la scelta, anche nella Scienza Esatta, è in certo modo arbitraria? Risposta: Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi SÌ Scienza e Tecnologia non hanno mai preteso di dare Verità Ideologiche, Religiose, Superstiziose o alla Vanna Marchi È per questo che tanti ne hanno paura... Si procede stringendo il cerchio Confrontandosi, e con molto buon senso Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Parametro importante, e molto usato il c2 diviso per il numero di gradi di libertà Plot: curve parametrizzate su diversi livelli di confidenza Le trovate nella letteratura Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Per grandi N (>10 è un buon valore) Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Quindi esplicitamente Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Le approssimazioni, tabulazioni, funzioni, tabelle, routines si trovano ormai dappertutto Librerie IMSL (IBM) EXCEL (MicroSoft) ... Importante è che sappiate come usarle e cosa vogliono dire... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Approfondiamo l’argomento Il test di ipotesi Approfondiamo l’argomento Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un altro problema Il test di ipotesi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
DOVE MI FERMO? Il test di ipotesi Ho dei dati e faccio il fit con una retta Il c2 è così così Adesso provo una parabola Il c2 migliora (diviene più piccolo) Poi provo una cubica ...va ancora meglio DOVE MI FERMO? Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi CERTO È CHE SE HO 10 PUNTI UNA CURVA DI IX GRADO RENDE IL c2 PROPRIO 0... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
PROCEDURA COMUNEMENTE ACCETTATA Il test di ipotesi PROCEDURA COMUNEMENTE ACCETTATA Si fa un grafico con In ascissa il numero di gradi di libertà del fit In ordinata il valore del corrispondente c2 Ad un certo punto si nota un brusco calo Uno scalino Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Si tiene per buono il fit allo scalino Poi aumentando i parametri il c2 continua a calare lentamente Si considera questo calo poco significativo Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il test di ipotesi Tipico il caso per i polinomi Scarso livello di confidenza per una retta Un po’ meglio con una parabola Buono con una cubica Meglio con una quartica Il risultato è che questi dati danno per buona l’ipotesi della cubica Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Un panico Il test di ipotesi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Risposta: niente da fare Il test di ipotesi E se il c2 cala, ma non c’è scalino? Risposta: niente da fare O meglio: il tipo di curva da noi scelta non funziona Esempio tipico: dati su un esponenziale, fittati con polinomi Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
Il modello teorico proposto non va, Ed occorre cercarne un altro Il test di ipotesi Anche questo è un risultato Il modello teorico proposto non va, Ed occorre cercarne un altro Naturalmente bisogna essere ben sicuri dei dati sperimentali e degli errori ad essi associati ... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri
I vincoli sui parametri Ci possono essere delle condizioni extra sui parametri Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri Esempio (un po’ banale...): Misuriamo tre angoli Ci chiediamo la migliore stima con la condizione che la somma dei valori finali dia 180° Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri Ci sono varie strade Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri Una è quella di ridursi a soli parametri indipendenti Può non essere facile esplicitare un parametro E se sono parecchi, con equazioni non lineari... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri Provare per credere Passate da Facile in linea di principio, ma nei casi pratici basta un radicale Di solito questa strada non è quasi mai usata Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri L’altra strada è quella dei moltiplicatori di Lagrange Si minimizza rispetto sia alle sia alle Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri Alle derivate prime si ottengono delle equazioni Automaticamente soddisfatte Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy
I vincoli sui parametri Il problema si riduce a minimizzare una funzione più complessa, con più parametri Di questi i moltiplicatori non entrano nelle analisi successive Problema sempre serio: evitare i minimi locali La cosa peggiora all’aumentare del numero di dimensioni... Flavio Waldner - Dipt.di Fisica - UDINE - Italy