DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

… e adesso vediamo un altro momento Il momento angolare … e adesso vediamo un altro momento Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

ATTENZIONE Il momento angolare MOMENTO non vuol dire ISTANTE, ma ha la sua radice nel latino (il nostro MOVIMENTO) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Momento angolare Il momento angolare Momento della quantità di moto Si tratta del Momento della quantità di moto Momento angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare O p r θ P … lo schema … e la definizione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare È un vettore Perpendicolare alla velocità al piano individuato dalla velocità e da un punto fisso Ha senso solo se è specificato un punto di riferimento Momento angolare di P rispetto ad O Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Unità di misura: unità che non ha nome nel SI Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Regola a spanne: Senso antiorario: positivo Senso orario: negativo Mano destra? cavatappi? Corrente in una spira? Ma va? + - Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Partiamo da un punto materiale Prendiamo un punto fisso O Individuiamo il punto con un raggio vettore Teniamo presente il momento lineare del punto Infine costruiamo il vettore momento angolare (o momento della quantità di moto) Il momento angolare è sempre definito rispetto ad un punto (polo) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Situazione descritta in figura Attenzione: è difficile da visualizzare in 3D… Si continua a consigliare l’uso di stecchini per tenerli insieme il formaggio va benissimo DAS per chi è a dieta... Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Calcoliamo le sue componenti cartesiane Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Esplicitamente Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

E per un sistema di punti? Il momento angolare viene definito come la somma dei momenti angolari dei singoli punti ...oppure come un integrale, per un sistema continuo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Vediamo degli esempi Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO UN PUNTO... …con moto circolare nel piano xy È il caso più semplice x y z P Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Qualche ricordo... …delle espressioni di coordinate e velocità nel moto circolare …e poi torniamo all’espressione standard del prodotto esterno Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO UN PUNTO... Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ATTENZIONE D’ora in avanti la velocità angolare sarà un VETTORE Modulo: quello della solita velocità angolare Direzione: perpendicolare al piano di rotazione Verso: quello per cui si vede la rotazione avvenire in senso antiorario Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Caso particolare Viene definito il momento d’inerzia di un punto ... rispetto ad un asse! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Alcune prime analogie... ...per evitare di ricordarsi troppe formule Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

La conservazione del momento angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Conservazione del momento angolare Riprendiamo la definizione... ...e deriviamola Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Conservazione del momento angolare Definiamo così una nuova quantità il momento meccanico di una forza rispetto ad un punto fisso O (o momento della forza rispetto ad O) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Conservazione del momento angolare Anzitutto otteniamo la legge per il moto rotatorio Notate di nuovo le analogie con la II legge della dinamica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Conservazione del momento angolare Quindi abbiamo che Questo succede in tre casi Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Primo caso F Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Secondo caso Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Terzo caso (1) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Terzo caso (2) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Analogie Le formule della meccanica rotazionale per corpi con asse fisso sono analoghe a quelle del punto materiale a patto di fare le sostituzioni Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Se si fa del lavoro su un punto … … vale il teorema dell’energia cinetica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il lavoro fatto da tutte le forze su un punto è pari alla variazione di energia cinetica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche L’energia cinetica è definita a meno di una costante additiva (!) Nel SI l’unità di misura è il joule Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Un esempio: un’automobile da 850 kg che viaggi a 130 km/h Un altro esempio: un meteorite da 1 kg arriva sulla Terra a 45 km/s Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Un esempio: momento angolare rispetto all’asse di rotazione di una massa di un grammo posta alla periferia del tamburo della mia lavatrice (raggio: 23 cm) che gira a 550 giri al minuto Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Altro esempio: momento angolare della Terra nel suo moto attorno a Sole, rispetto al suo centro di rotazione (il Sole, con buona approssimazione) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Le quantità meccaniche Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ALTRE CONSEGUENZE Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ALTRE CONSEGUENZE La quantità si chiama momento meccanico Le dimensioni sono Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ALTRE CONSEGUENZE Attenzione: e non viceversa (confusione con milli-newton ) Non joule … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ALTRE CONSEGUENZE E se … allora … e questo succede solo in uno dei tre casi Siamo sull’asse A forza totale è nulla La forza è diretta sempre verso lo stesso punto (forza centrale) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Definiamo i termini Cos’è un corpo rigido? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Definiamo i termini In un corpo rigido le distanze fra due punti qualunque restano sempre costanti Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Definiamo i termini … ed anzitutto ricordiamoci che non esistono corpi rigidi Solo più o meno deformabili … e poi non piace alla relatività Un buon parametro è il modulo di Young Rapporto tra forza e deformazione Grosso modo … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Corpi rigidi e semplificazioni … anzitutto: masse specifiche … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Corpi rigidi Un corpo continuo viene diviso in elementi infinitesimi, e si guarda alla massa degli elementi infinitesimi Ma esistono corpi continui? OVVIAMENTE … NO! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Corpi rigidi E allora? … ci si accontenta … Un batterio: diametro circa; 10.000 atomi messi in fila Possiamo considerarlo “continuo”? Mah … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Corpi rigidi Massa lineica (o densità lineare) Tipico uso: fili, sbarre, travi (e non necessariamente rettilinee …) Se il corpo (filo, sbarra, trave, …) si dice omogeneo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Corpi rigidi Massa areica (o densità superficiale) Tipico uso: membrane, lastre (e non necessariamente piane …) Se il corpo (membrana, lastra, …) si dice omogeneo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Corpi rigidi Massa volumica (o densità) Uso comunissimo. Attenzione: la densità dell’acqua nel SI vale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Corpi rigidi In generale Se la densità è costante il corpo si dice omogeneo Il corpo può essere complicatissimo (un’auto? Un TIR? Un aereo?) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Corpi rigidi Le densità dei solidi sono dell’ordine di Le densità nei nuclei vanno su di un fattore (stelle di neutroni …) di materia nucleare avrebbe una massa dell’ordine di Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il centro di massa … o baricentro … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il centro di massa Cominciamo col semplice: Due masse ed poste su una retta (asse x) a coordinate e O Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il centro di massa Si chiama media pesata Importante: se si ha Proprietà fondamentale di simmetria Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il centro di massa E se i punti sono tanti? Siamo di fronte ad un sistema particellare (o sistema discreto) La definizione si estende subito, usando i vettori Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il centro di massa … e proiettando sugli assi …. Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il centro di massa Ed ora passiamo al continuo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il centro di massa In generale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il centro di massa Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Come si muove il CM? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Come si muove il CM? importante In un sistema complesso (una Galassia?) il moto si può spezzare in due tronconi UN MOTO DI INSIEME (CM) ... come se si trattasse di un punto materiale … UN MOTO ATTORNO AL CM … e spesso ci possiamo accontentare del primo schema VEDIAMO I DETTAGLI Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento lineare o quantità di moto Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento lineare Vediamo il caso discreto Solo per semplicità di formule Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento lineare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento lineare Il momento lineare di un sistema si può calcolare O come somma vettoriale dei momenti lineari di tutti i punti O come se il CM fosse un vero punto materiale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

… il celebre “teorema del moto del baricentro” … Il moto del CM … il celebre “teorema del moto del baricentro” … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Deriviamo ancora una volta Il moto del CM Deriviamo ancora una volta la relazione appena ottenuta Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il moto del CM Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il moto del CM Analizziamo: Massa totale del sistema: Accelerazione del CM: Risultante di tutte le forze che agiscono sul punto k : Risultante di tutte le forze che agiscono su tutti i punti Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il moto del CM Per il III principio tutte le forze che agiscono fra i punti, a due a due, hanno risultante 0 Restano vive solo le “forze esterne” QUINDI Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il moto del CM Nel moto di un sistema il CM si muove come un punto materiale con massa pari a quello dell’intero sistema sul quale agisca la risultante delle forze esterne Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

RETTILINEO ED UNIFORME Il moto del CM E se la risultante delle forze “esterne” è nulla? IL CM SI MUOVE DI MOTO RETTILINEO ED UNIFORME Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Moto di un corpo rigido: esempio Ecco un martello tirato per aria Mettiamo in evidenza il moto del CM (rosso) il moto di un punto del manico (verdino) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il salto dei cinesi Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il salto dei cinesi Quando saltiamo (80 kg) spingiamo la Terra Il momento totale non varia Il CM resta dov’era Se il nostro CM si sposta di 1 m quello della Terra si sposta di Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il salto dei cinesi Circa 10.000 volte sotto l’attuale limite sperimentale! … e se un miliardo di cinesi, tutti insieme … Basta moltiplicare … Il diametro di una decina di nuclei Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il meteorite Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il meteorite Il meteorite dei dinosauri, la Terra che schizza dall’orbita. Ci perdiamo nello spazio cosmico … Ma non diciamo scemate … Diametro: circa 10 km Densità: quella di una roccia Velocità: 40 km/s Momento lineare? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il meteorite Momento lineare del meteorite Momento lineare della Terra Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il meteorite C’è un rapporto quasi Raggio dell’orbita Alla peggio il raggio dell’orbita può essere variato di Come a dire: nulla Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il meteorite … e l’energia? Energia cinetica del meteorite Circa 15000 arsenali nucleari … … e quella della Terra Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il meteorite Ancora un rapporto di circa Le velocità sono quasi uguali … Una pietruzza da 1 mg che urta un’auto da 1t, entrambi a 100 all’ora Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il razzo … ed il trenino … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il razzo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il razzo Diamo solo la formula finale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

… ed il teorema di König … L’energia cinetica … ed il teorema di König … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica Energia cinetica del punto k Energia cinetica totale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

È il sistema del centro di massa L’energia cinetica Adesso introduciamo un nuovo sistema di riferimento Con l’origine nel CM Con gli assi sempre paralleli al sistema di partenza È il sistema del centro di massa Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica Velocità Ora sviluppiamo: Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica Continuiamo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica Continuiamo … Il termine in rosso è nullo per definizione! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO NEL SISTEMA DEL CM IL MOMENTO LINEARE È SEMPRE NULLO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare La definizione ci dà subito Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica La definizione ci dà subito Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia per un punto materiale Un modo difficile per dire cose semplici? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia Definiamo il momento d’inerzia del punto materiale rispetto all’asse di rotazione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ANALOGIE Massa Momento lineare Energia cinetica Momento d’inerzia Momento angolare Energia cinetica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’equazione del moto Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’equazione del moto Ricordate? Quindi rispetto ad un asse … … con l’ accelerazione angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia in generale … ed ecco che le cose cambiano… Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il calcolo dei momenti d’inerzia Ovvero Il calcolo differenziale al lavoro Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

ANZITUTTO CASI SEMPLICI FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER FORME SEMPLICI Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento angolare La definizione ci dà subito Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica La definizione ci dà subito Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia per un punto materiale Un modo difficile per dire cose semplici? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia Definiamo il momento d’inerzia del punto materiale rispetto all’asse di rotazione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ANALOGIE Massa Momento lineare Energia cinetica Momento d’inerzia Momento angolare Energia cinetica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO ANALOGIE Per un punto materiale che ruota il momento d’inerzia ha lo stesso ruolo della massa per un punto che trasla Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’equazione del moto Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’equazione del moto Ricordate? Quindi rispetto ad un asse … … introducendo l’ accelerazione angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Notate ancora le analogie! L’equazione del moto Notate ancora le analogie! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia in generale … ed ecco che le cose cambiano… Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia in generale Se abbiamo tanti punti … … e se abbiamo un corpo continuo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il momento d’inerzia in generale Alti momento d’inerzia rispetto ad un asse si hanno non solo con alte masse, ma anche con masse poste distanti dall’asse Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il moto di un corpo rigido Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il moto di un corpo rigido Si dimostra che il moto più generale è la sovrapposizione di un moto di traslazione e di uno di rotazione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il moto di un corpo rigido Attenzione Il moto di rotazione è attorno ad un asse che cambia continuamente Nello spazio Dentro al corpo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il moto di un corpo rigido Un esempio: la Terra Il suo asse si sposta … … nello spazio (descrive un cono in circa 26000 anni) … attorno al Polo (in modo piuttosto erratico, di circa qualche kilometro) Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il moto di un corpo rigido Un moto estremamente complicato NOI Ci limiteremo a moti di rotazione attorno ad un asse E a qualche piccola digressione sul tema Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il moto di un corpo rigido Il moto attorno ad un asse avviene con velocità angolare costante per tutti i punti del corpo SE il corpo è rigido E se no? Il corpo non è rigido Esempio: il Sole Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il calcolo dei momenti d’inerzia Ovvero Il calcolo differenziale al lavoro Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

ANZITUTTO CASI SEMPLICI FACCIAMO USO DI TUTTA LA SIMMETRIA POSSIBILE PER FORME SEMPLICI Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il momento d’inerzia Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Momento d’inerzia Per un insieme di punti materiali vale la relazione Per un corpo continuo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Momenti d’inerzia Casi notevoli Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Vediamo un primo esempio I di una sbarra Vediamo un primo esempio Momento d’inerzia di una sbarra omogenea rispetto ad un asse ad essa ortogonale che passa per il suo CM Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sbarra Asta omogenea, lunga L, massa M Rispetto ad un asse passante per il centro (= di massa!) ortogonale alla sbarra Facciamo la sbarra a fettine infinitesime Proprio come se fosse una salsiccia Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO dx x Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sbarra Momento d’inerzia (rispetto all’asse z) dell’elemento dx Momento d’inerzia totale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di un cilindro Cilindro omogeneo, massa M, raggio R, altezza h, densità r Rispetto all’asse di simmetria Pensiamo al cilindro come ad un insieme di tubi vuoti di spessore infinitesimo Volume di un tubo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di un cilindro Momento d’inerzia di un tubo rispetto ad un asse ad esso ortogonale che passa per il suo CM Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di un cilindro La densità è costante La massa di un sottile anello di raggio r vale Tutta la massa sta a distanza r costante Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di un cilindro Il momento d’inerzia elementare vale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di un cilindro In totale …e la stessa cosa vale per un disco! Un cilindro sottile! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sfera Momento d’inerzia di una sfera rispetto ad un suo diametro q Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sfera Momento d’inerzia del disco raggio massa momento d’inerzia elementare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sfera Ora calcoliamo il momento d’inerzia complessivo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sfera Una nota sull’integrale Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sfera Momento angolare rispetto ad un asse passante per il centro Energia cinetica del moto di rotazione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO I di una sfera Energia cinetica nel moto di rotazione della Terra Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

… E SE L’ASSE NON È DI SIMMETRIA? … UN DUBBIO … E SE L’ASSE NON È DI SIMMETRIA? … Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

E se l’asse non è di simmetria? Ad esempio: Un’asta rispetto ad un estremo Un cilindro rispetto ad una sua generatrice Non è una questione accademica: appare subito nel moto di rotolamento Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il teorema di Steiner Un teorema semplice ed utilissimo Spostiamo l’asse parallelamente a sé stesso? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Teorema di Steiner Ecco la situazione vista dall’alto Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO dm a x-a y CM y X Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Teorema di Steiner Momento d’inerzia rispetto all’asse z Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Teorema di Steiner Ora integriamo su tutto il corpo Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il moto dei corpi estesi Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Moto di un corpo rigido Ricordiamo la Definizione di corpo rigido le distanze fra due punti qualunque restano costanti e cominciamo a ricordare che non esistono corpi rigidi in Natura… oltre a tutto non sarebbe relativistico... Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Cominciamo dal basso Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Una premessa In un corpo rigido che ruota con punto o asse fisso ci sono masse che si muovono in modo complesso per di più di moto peggio che circolare uniforme attenzione a considerarlo “fermo” “gira tanto in fretta che sembra fermo” Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Una premessa Le masse che si muovono sono sensibili a forze e reagiscono con accelerazioni ad esse parallele I risultati finali sono spesso sorprendenti Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Iniziamo con un asse fisso Se un corpo esteso si muove con un asse fisso ci sono due punti fissi Se si vuole tener fisso un asse... La posizione del corpo è definita da un solo angolo In radianti! Definiremo al solito la velocità angolare e l’accelerazione angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Rotazione con asse fisso Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Rotazione con asse fisso Un punto del corpo si muoverà con traiettoria circolare Spazio Velocità Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Rotazione con asse fisso accelerazione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO L’energia cinetica Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Energia cinetica di un corpo rotante Riprendiamo il caso di un punto materiale x y z P Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Energia cinetica di un corpo rotante L’energia cinetica del punto vale La formula vale in generale dato che tutte le quantità sono additive Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Energia di rotazione e teorema di Koenig Per un corpo che trasla e ruota Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Oscillazioni IL PENDOLO FISICO Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Ecco la situazione Un corpo qualunque sospeso ad un asse q CM mg y x Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Calcoliamo anzitutto il momento meccanico del peso rispetto ad O Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Ora calcoliamo la componente del momento della quantità di moto rispetto all’asse z Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Ed infine applichiamo la legge del moto … … proiettata sull’asse z Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Che per piccole oscillazioni diviene Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Quindi per piccole oscillazioni il pendolo si muove di moto armonico con pulsazione con periodo ecco la lunghezza ridotta del pendolo fisico Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Applichiamo il teorema di Steiner? La lunghezza ridotta è più grande della distanza fra O e il CM q CM mg O’ Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Il periodo del pendolo fisico vale quindi... Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Il pendolo fisico l ed l’ si scambiano i ruoli! E se sospendiamo il pendolo per O’? l ed l’ si scambiano i ruoli! Quindi ci possiamo aspettare che il pendolo abbia lo stesso periodo se è sospeso per qualunque asse a distanza l o l’ dal CM Quindi se conosciamo la lunghezza ridotta del pendolo e se misuriamo il suo periodo... Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico POSSIAMO MISURARE g! Si chiama pendolo reversibile di Kater, e trova applicazione nei pendoli geodetici Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Si prende una sbarra con due coltelli a distanza ben misurata Si sospende la sbarra alternativamente su uno e sull’altro, spostando delle masse intermedie finché i periodi misurati sono uguali A questo punto il pendolo è tarato e la lunghezza ridotta è proprio la distanza fra i coltelli Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Il pendolo fisico Con distanze misurate a si raggiungono precisioni analoghe sulla misura di g grosso modo la variazione di g che si ha per il fatto che ci si è alzati o abbassati di 3m oggi coi gravimetri a laser si fa circa 1000 volte meglio! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Rotazioni Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Trottola e giroscopio solo in direzione Trottola: solido di rotazione con elevato momento d’inerzia viene posta in rapida rotazione attorno al suo asse di figura ha quindi un grande momento angolare Si fa un’approssimazione il momento angolare è così grosso che varia solo in direzione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Trottola e giroscopio CM O Q h Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Trottola e giroscopio Anzitutto le equazioni del moto! …e poi il momento meccanico Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Trottola e giroscopio Quindi l’incremento è ortogonale al vettore momento angolare il vettore momento angolare descrive un cono di semiampiezza Q È il moto di precessione con velocità ortogonale alla forza applicata... Vediamone la velocità angolare Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Trottola e giroscopio Modulo della variazione del momento angolare Alcune conseguenze importanti: Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

POSSIAMO AVERE UNA DIREZIONE COSTANTE IN UN SISTEMA INERZIALE Trottola e giroscopio In un sistema inerziale si conserva il momento angolare Quindi se abbiamo un corpo con alto momento angolare che possa ruotare liberamente in tutte le direzioni POSSIAMO AVERE UNA DIREZIONE COSTANTE IN UN SISTEMA INERZIALE Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Trottola e giroscopio Una girobussola e se di direzioni costanti ne prendiamo tre? Magari ortogonali? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

UNA PIATTAFORMA INERZIALE Trottola e giroscopio Otteniamo tre direzioni costanti in un sistema inerziale UNA PIATTAFORMA INERZIALE Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Trottola e giroscopio Non ci servono le stelle per definire un sistema inerziale! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Moti composti Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Moto di rotolamento È un moto di rotazione istantanea attorno al punto di contatto ruota-suolo Non facile da visualizzare si consiglia l’uso di un disco fatto muovere (poco) su un tavolo Ogni punto del corpo ha velocità diverse in modulo e (soprattutto) in direzione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Moto di rotolamento Ecco la situazione Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Moto di rotolamento Il moto si può scomporre in moto del CM moto attorno al CM Attenzione a non fare confusione tra le formule del tipo che sono uguali nei due sistemi, ma hanno significato diverso! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

MA CHI TIENE FERMO IL PUNTO DI CONTATTO? Moto di rotolamento La rotazione attorno al punto di contatto implica che il momento d’inerzia debba venir calcolato col teorema di Steiner Una domanda: MA CHI TIENE FERMO IL PUNTO DI CONTATTO? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

DINAMICA DEL CORPO RIGIDO Moto di rotolamento RISPOSTA LA FORZA D’ATTRITO! Il rotolamento non avviene se non c’è attrito Ma la forza d’attrito (radente!) non era dissipativa? Come mai nel rotolamento c’è così poca perdita di energia? Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

PERCHÈ LA FORZA D’ATTRITO C’È, Moto di rotolamento PERCHÈ LA FORZA D’ATTRITO C’È, MA NON FA LAVORO agisce sempre su un punto con velocità nulla Insomma un moto decisamente complicato ... Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Supponiamo di avere un sistema equilibrato staticamente, ma “un po’ strambo” …come in figura... Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Ecco la situazione all’istante che consideriamo iniziale a L 2b CM x y z Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Calcoliamo il momento angolare del sistema quindi delle due masse Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Quindi il momento angolare vale, nell’istante considerato Ci sono due componenti una parallela all’asse di rotazione una ortogonale all’asse di rotazione La componente parallela non varia nel tempo, ma quella ortogonale sì Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti La componente ortogonale ruota con la velocità angolare del sistema Il momento angolare NON è parallelo all’asse di rotazione! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti 2b CM x y z Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Quindi delle due l’una o conserviamo il momento angolare e l’asse di rotazione non è quello che vogliamo! o manteniamo fisso l’asse ed il momento angolare varia Se varia il momento angolare occorre un momento meccanico! Fornito da chi? MA DAI SUPPORTI! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Ecco quanto vale il momento Il momento varia quindi continuamente in direzione è proporzionale al quadrato della velocità angolare! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Il sistema si dice dinamicamente squilibrato fate equilibrare le ruote della macchina… E se ci mettessimo a vedere cosa succede nel sistema rotante? DOVREMMO INTRODURRE LE FORZE FITTIZIE QUINDI LE FORZE CENTRIFUGHE! Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Ecco la situazione... x z Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO

Sollecitazioni ai supporti Le forze centrifughe generano un momento! Di direzione costante nel sistema rotante e che quindi varia continuamente di direzione nel sistema fisso I supporti debbono fornire un momento uguale ed opposto controllate che in modulo e direzione otteniamo proprio quello che abbiamo calcolato prima Flavio Waldner DINAMICA DEL CORPO RIGIDO