Dalla dinamica del punto materiale alla dinamica dei sistemi A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi L’equilibrio del punto materiale L’oggetto sul piano inclinato Il sistema interagisce con: FP la Terra  P = mg il piano inclinato  Fp La risultante delle forze deve essere nulla Il sistema è fermo  P =mg Il piano deve agire sul sistema con una forza Fp : - uguale in modulo al peso, - diretta verticalmente, - verso l’alto A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi L’equilibrio del punto materiale L’oggetto sul piano inclinato y Il corpo è fermo  La risultante delle forze deve essere nulla Rx = Fpx + Px =0 Ry = Fpy + Py =0 Fpx = - Px Fpy = - Py R = Fp + P =0 Fpy Fpx O Px = mg sen  Py = - mg cos  Fpx = -  Fpy Px Py x  Fpx = - Px Fpy = - Py mg sen =  mg cos  Fpx = -  Fpy  = tg  Px = mg sen  Py = - mg cos  -Px =  Py Misuro  al distacco  misuro  A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La dinamica del punto materiale L’oggetto sul piano inclinato FP P =mg Si aumenta l’inclinazione del piano Il corpo è soggetto a un sistema di forze non equilibrate. R = P +Fp Il vettore risultante delle forze, se il piano non viene sfondato, deve essere parallelo al piano inclinato. ’ Il corpo, non più soggetto a un sistema di forze in equilibrio, scende lungo il piano inclinato. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La dinamica del punto materiale L’oggetto sul piano inclinato y Rx = Px+ Fpx Ry = Py + Fpy =0 FP R = Fp + P Fpx =- d mg cos ’ Px = mg sen ’ Fpy O Fpx Equilibrio lungo la direzione y (il piano non si sfonda) Fpy = - Py Px Py P =mg ’ x Rx = mg sen ’ - d mg cos ’ Componente della forza peso lungo il piano Forza d’attrito piano oggetto A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La dinamica del punto materiale L’oggetto sul piano inclinato y Rx = mg sen  - d mg cos  Ry =0 Rx = Fpx + Px Ry = Fpy + Py =0 Fpy O Fpx Secondo principio della dinamica: F = m a  R = m a Px ax = Rx /m = g sen  -d g cos  ay = Ry /m=0 Py ’ x Moto lungo x: uniformemente accelerato (ax< g sen  ) Moto lungo y: sistema fermo A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Come si può ripristinare l’equilibrio? Es.: Si applica una opportuna forza parallela al piano (con una funicella, con una molla…), FP P =mg R = Fp + P + F in modo che per il vettore risultante: F P +Fp si abbia: R=0 ’ L’equilibrio si ripristina se: F = - (Fp + P) A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Affinché il sistema sia in equilibrio, è necessario e sufficiente che il vettore risultante delle forze agenti sul sistema sia nullo: R = 0 Se il vettore risultante delle forze agenti sul sistema non è nullo, dal secondo principio della dinamica si può ricavare ad ogni istante l’accelerazione del sistema, la sua velocità, la sua posizione (la sua traiettoria) : a = R/m Il corpo è vincolato in modo che o trasla o traslerebbe se venissero meno i vincoli. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Sistema di punti materiali  sistema esteso. z Pn Fexti Fext2 Fext =  Fextij rn Pi Fextn ri P2 Risultante delle forze esterne al sistema Fext1 y O O P1 r1 x A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Risultante delle forze interne al sistema z Pn Fint =  Fintjk =0 rn Pi Fiii ri Per il terzo principio della dinamica P2 Fii1 y O O P1 r1 R = Fext =  Fextij x A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi R = Fext =  Fextij z Pn Dalla seconda legge della dinamica Fexti Fext2 rn Pi Fextn R = Fext =  Fextij =  m aij =  m ----- = ------------ ri v  m v P2 t t Fext1 y O Q = m v O Quantità di moto del sistema P1 r1 Q = m v= cost Se R = 0 (Fext =0, sistema isolato o soggetto a un sistema di forze esterne con vettore risultante nullo) x Il sistema trasla complessivamente con quantità di moto costante. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi R = Fext =  Fextij z Pn Fexti Fext2 rn Pi Q  m v Fextn R = Fext= ------- = ----------- ri t t P2 Fext1 y O Prima equazione cardinale della dinamica. O P1 r1 x A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo E neppure trasla semplicemente A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il disco sul bordo del tavolo Un disco appoggiato sul bordo del tavolo come nel disegno accanto non sta fermo… ….e neppure trasla semplicemente Si mette in moto cominciando a ruotare intorno al bordo del tavolo e quindi compie un moto rototraslatorio A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il disco sul bordo del tavolo Come è possibile impedire che cada? Es.: si trattiene il bordo del disco con uno spago, come nel disegno Affinché il disco sia in equilibrio, è sufficiente richiedere: R=0? NO. Anche se il disco fosse incardinato sul bordo, nella situazione in cui si trova qualora non ci fosse il filo, comincerebbe a ruotare, in modo che la parte sporgente si porti più in basso possibile. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il disco non omogeneo sul tavolo Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare. L’oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova nella posizione più in basso possibile. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il disco non omogeneo sul tavolo Criterio: Il corpo sta in equilibrio nella posizione in cui il baricentro del corpo si porta nella posizione di minima altezza, compatibilmente con i vincoli che agiscono sul sistema. Spostato da quella posizione comincia ad oscillare intorno ad essa Ruotato di un certo angolo e quindi lasciato libero comincia ad oscillare. L’oscillazione avviene intorno alla posizione in cui la parte che ha densità maggiore si trova in basso. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo G A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Determinazione sperimentale del baricentro di un corpo G Il corpo sospeso per il baricentro sta in equilibrio indifferente (comunque lo si disponga resta fermo – si trova in equilibrio) G A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La bilancia a bracci uguali Il giogo della bilancia è imperniato in un punto posto sopra al baricentro. Se si sposta dalla posizione orizzontale comincia ad oscillare intorno alla posizione di equilibrio (Il baricentro sotto al punto di sospensione) Si appende un pesetto sul braccio di destra. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La bilancia a bracci uguali La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto all’asse di sospensione Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo un pesetto uguale al primo dall’altra parte rispetto all’asse di sospensione a uguale distanza Si appende un pesetto sul braccio di destra. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La bilancia a bracci uguali La bilancia si sposta dalla iniziale posizione di equilibrio con il giogo in posizione orizzontale in modo che il baricentro del sistema gioco-pesetto si porti sotto all’asse di sospensione Si appende un pesetto sul braccio di destra. Si può riportare la bilancia in equilibrio nella posizione iniziale appendendo sul braccio sinistro del giogo un pesetto uguale a quello appeso sul braccio destro a uguale distanza dall’asse di sospensione. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La bilancia a bracci uguali Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto. Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra. A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La bilancia a bracci uguali bS bD Si vuole ripristinare la situazione iniziale di equilibrio utilizzando solo un altro pesetto. Si deve appendere il pesetto sul braccio di sinistra a distanza doppia dall’asse di sospensione rispetto a quella dei due pesetti posti sul braccio di destra. Scaricata la bilancia, si appendono due pesetti sul braccio di destra. bs = 2 bd bs = (PD/PS) bd bs PS = bdPD I momenti delle forze hanno lo stesso modulo MS = MD A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il momento di una forza rispetto a un punto M = r Λ F M z F Vettore con: - modulo M = r F sen  P - direzione  piano per r e F. r - verso regola della mano destra o della vite/cavatappi y O x  r F A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il momento di un sistema di forze rispetto a un punto M z Pn Fi F2 rn Pi Fn ri M = ri Λ Fi P2 F1 y O O P1 r1 x A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi Il momento di un sistema di forze rispetto a asse Pn M ·n= (ri Λ Fi) ·n = =  bi Fi Fi F2 rn Pi Fn ri n P2 F1 O P1 r1 A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La dinamica dei corpi in movimento M = i ri Λ Fi F = m a  Fi = mi ai vi M = i [ri Λ (mi ai)] = i [ri Λ (mi ------)] t  (ri Λ (mi vi)] [ri(t+t) Λ (mi vi(t+t)] - [ri(t) Λ (mi vi(t)] ----------------------- = ---------------------------------------------------------= t t [ri(t+t) Λ (mi vi(t+t)]- [ri(t+t) Λ (mi vi(t)] + [ri(t+t) Λ (mi vi(t)]- [ri(t) Λ (mi vi(t)] = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- t ri(t+t) Λ [mi vi(t+t)- mi vi(t)] + [ri(t+t)- ri(t)] Λ (mi vi(t)) = -------------------------------------------------------------------------------- = t [mi vi(t+t)- mi vi(t)] [ri(t+t)- ri(t)] = ri(t+t) Λ --------------------------- + ------------------- Λ (mi vi(t)) = t t  mi vi  ri  mi vi = ri(t+t) Λ --------- + ------ Λ (mi vi(t))  ri(t) Λ -------- + vi(t) Λ (mi vi(t)) t t t A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La dinamica dei corpi in movimento M = i ri Λ Fi F = m a  Fi = mi ai vi M = i [ri Λ (mi ai)] = i [ri Λ (mi ------)] t  (ri Λ (mi vi)]  mi vi ----------------------- = ri Λ ---------- t t  (ri Λ (mi vi)] [ (ri Λ (mi vi)] M = i [ri Λ (mi ai)] = i [-------------------] = ------------------------- t t  L M = ---------- L =  (ri Λ (mi vi)  t M = i ri Λ Fi = (j rj Λ Fj)ext Dalla terza legge della dinamica A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi

A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi La seconda equazione cardinale della dinamica  L Mext = ----  t Se Mext = 0 sistema isolato forze centrali forze costanti Conservazione di L Nei corpi rigidi imperniati su un asse   Mext =I ---- L = I   t A. Stefanel - Introduzione alla dinamica dei sistemi