Ottica geometrica 3 18 gennaio 2013 Diottro convesso, convenzione dei segni, fuochi Diottro concavo, ingrandimento Diottro piano Lenti sottili, eq. delle lenti, fuochi, ingrandimento Sistemi di lenti, doppietti addossati Telescopio

Diottro convesso Due mezzi trasparenti con indice di rifrazione diverso, separati da una superficie, costituiscono un diottro Noi studieremo i diottri con superficie sferica o piana Supponiamo che il mezzo di sinistra abbia indice n1 e il mezzo di destra n2 e che n1 < n2 N H C V P Q q q’ a i t Come per gli specchi abbiamo le relazioni geometriche

Diottro convesso Ora la relazione tra i e t è data dalla legge di Snell Ricordiamo le relazioni tra angoli e segmenti (y = NH) N H C V P Q q q’ a i t

Diottro convesso ovvero In approssimazione di Gauss (AG) confondiamo il seno e la tangente di un angolo con l’angolo stesso e VH~0 La legge di Snell diviene allora Moltiplicando per n1 e per n2 e sottraendo membro a membro si ottiene N H C V P Q q q’ a i t ovvero

Diottro convesso Sostituendo i valori degli angoli in AG, troviamo l’eq. del diottro Poiché non vi compare la posizione di N (cioè y) il diottro è uno strumento stigmatico (nell’AG) N H C V P Q q q’ a i t

Convenzione dei segni Anche per il diottro vale una convenzione sui segni delle distanze che permette di usare l’equazione trovata in tutti i casi (diottro convesso, concavo; oggetto in diverse posizioni) La luce proviene da sinistra (spazio d’incidenza) e va a destra (spazio di trasmissione) o è positiva se l’oggetto è nello spazio di incidenza, negativa se giace nello spazio di trasmissione i è positiva se l’immagine è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza R è positiva se il centro di curvatura è nello spazio di trasmissione, negativa se giace nello spazio di incidenza

Fuoco posteriore Facendo tendere il punto oggetto P all’infinito, l’immagine Q tende ad un punto detto fuoco posteriore La posizione del fuoco posteriore (i = f2) è C V F2 i t

Fuoco anteriore Quando il punto oggetto P è nel fuoco anteriore, l’immagine Q tende all’infinito La posizione del fuoco anteriore (o = f1) è C V F1 i t

Eq. del diottro convesso Con la definizione delle due distanze focali si può scrivere l’eq. del diottro nella forma Le distanze focali sono sempre diverse e stanno nel rapporto

Diottro concavo Ora le relazioni geometriche sono Da cui E grazie alle convenzioni dei segni diventa N H C V P Q q q’ a i t

Immagine di punti fuori asse Ripetiamo il ragionamento fatto per gli specchi Sia P un punto fuori asse, è sempre possibile tracciare una retta passante per P e il centro C della superficie sferica e ripetere le costruzioni fatte per punti sull’asse, sostituendo quest’ultimo con la retta PC C V P’ Q’ P Q

Immagine di punti fuori asse Tracciamo due superfici sferiche, una di raggio CP e l’altra di raggio CQ e siano P’ e Q’ le intersezioni con l’asse (P’C=PC, Q’C=QC) La relazione oggetto-immagine tra P e Q è la medesima che tra P’ e Q’ Quindi il diottro trasforma una superficie sferica oggetto PP’ in una superficie sferica immagine QQ’ C V P’ Q’ P Q

Immagine di punti fuori asse Grazie all’approssimazione parassiale, le porzioni di superfici sferiche sono così piccole da poter essere considerate piane I diottri trasformano quindi superfici oggetto piane perpendicolari all’asse in superfici immagine piane perpendicolari all’asse C V P’ Q’ P Q

Tracciamento dell’immagine Il diottro trasforma un segmento oggetto perpendicolare all’asse in un segmento immagine perpendicolare all’asse, basta quindi considerare i due punti estremi dell’oggetto per conoscere l’estensione dell’immagine Essendo il diottro stigmatico, bastano due raggi per determinare un punto immagine I raggi notevoli emessi dall’oggetto sono, in questo caso Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel fuoco posteriore Il raggio passante per il fuoco anteriore che viene rifratto parallelamente all’asse Il raggio passante per il centro di curvatura che viene rifratto senza deviazione

Ingrandimento Usiamo il raggio incidente nel vertice: dai triangolo PP’V e QQ’V abbiamo Dividendo membro a membro C V P P’ Q Q’ i t E usando la convenzione dei segni

Diottro piano In questo caso R è infinito, per conseguenza Il segno negativo significa che l’immagine non sta nello spazio di trasmissione, ma in quello d’incidenza (è virtuale) Poiché n1 < n2 l’immagine è più distante dalla superficie del diottro di quanto lo sia l’oggetto; se il mezzo con n maggiore fosse a sinistra avverrebbe l’inverso, l’immagine sarebbe più vicina alla superficie P Q

Diottro piano L’ingrandimento è dato da Cioè l’immagine è dritta e delle stesse dimensioni dell’oggetto P Q’ P’ Q

Esercizio: diottro+specchio Sia dato un diottro piano di con indici di rifrazione n1, n2 accoppiato ad uno specchio piano posto a distanza s dalla superficie del diottro Trovare l’immagine del punto oggetto P s n1=1 n2=n P VD VS

Prima immagine del diottro (Q1) Distanza oggetto PVD=o=o1 Distanza immagine Q1VD=i1 Equazione del diottro Da cui s n1=1 n2=n P Q1 VD VS

Immagine dello specchio(Q2) Distanza oggetto Q1VS=o2=-i1+s Distanza immagine Q2VS=i2 Equazione dello specchio Da cui s n1=1 n2=n P Q1 Q2 VD VS

Seconda immagine del diottro (Q3) Distanza oggetto Q2VD=o3=-i2+s Distanza immagine Q3VD=i3=i Equazione del diottro Da cui Effettuando le sostituzioni s n1=1 n2=n P Q1 Q2 Q3 VD VS

Lenti sottili Una lente può essere considerata l’insieme di due diottri L’azione totale della lente è data dalla rifrazione successiva dei due diottri Le lenti più semplici sono quelle sottili, cioè con spessore trascurabile rispetto alle altre lunghezze in gioco Solitamente le lenti sono immerse in aria Siano R1 e R2 i raggi di curvatura delle superfici della lente e n l’indice di rifrazione del materiale relativo all’aria

Lenti sottili Sia P l’oggetto, a distanza o = o1 dalla prima superficie (S1) La distanza i1 dell’immagine formata dalla rifrazione di S1 è data dalla formula del diottro P Q1 Q o = o1 i1 i = i2 S1 S2 s o2

Lenti sottili L’immagine formata da S1 (virtuale nel nostro caso) diventa l’oggetto per S2 Poiché davanti alla superficie le distanze degli oggetti sono positive e quelle delle immagini negative, vale la relazione P Q1 Q o = o1 i1 i = i2 S1 S2 s o2

Lenti sottili La distanza dell’oggetto da S2, trascurato lo spessore s della lente, è uguale, in valore assoluto, a quella dell’immagine da S1 La rifrazione di S2 si trova applicando l’eq. del diottro con n1 = n e n2 = 1, i2 = i P Q1 Q o = o1 i1  - o2 i = i2 S1 S2

Distanza focale Eq. delle lenti sottili Sommando membro a membro con l’eq. del primo diottro otteniamo Poiche’ la distanza focale è la distanza dell’immagine (f=i) quando la distanza dell’oggetto è infinita (o=), otteniamo detta formula dei fabbricanti di lenti e l’eq. delle lenti sottili assume la forma

Lente convergente Consideriamo una lente biconvessa con indice n > namb cioè maggiore di quello dell’ambiente circostante I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro maggiore al centro della lente che nella parte esterna Poiché la velocità della luce è minore nel vetro che nell’aria, la parte centrale di ciascun fronte d’onda è in ritardo rispetto alla parte esterna Questo produce un’onda sferica che converge nel fuoco F’, e i raggi, perpendicolari ai fronti, passano per F’ F’ Simbolo della lente convergente

Lente divergente Consideriamo una lente biconcava con indice n > namb I fronti d’onda piani incidenti devono attraversare uno spessore di vetro minore al centro della lente che nella parte esterna La parte centrale di ciascun fronte d’onda è in anticipo rispetto alla parte esterna Questo produce un’onda sferica che diverge e i prolungamenti dei raggi, perp. ai fronti, passano per F’ F’ Simbolo della lente divergente

Distanza focale La distanza focale di una lente è data dalla formula Per una lente convergente biconvessa, le convenzioni del diottro stabiliscono che R1 è positivo e R2 è negativo, ne segue che la distanza focale risulta positiva Le lenti convergenti sono anche dette positive Per una lente divergente biconcava, al contrario, R1 è negativo e R2 è positivo, la distanza focale risulta negativa Le lenti divergenti sono anche dette negative

Fuochi Se sistemiamo l’oggetto in modo che il fascio emergente dalla lente sia costituito da raggi paralleli (ovvero l’immagine vada all’infinito), individuiamo il primo fuoco F della lente Viceversa, il punto in cui un fascio parallelo (quello emesso da un oggetto posto all’infinito) viene fatto convergere dalla lente è detto secondo fuoco F’ F F’

Fuochi Per lenti divergenti occorre considerare non i raggi, ma i loro prolungamenti primo fuoco F: fascio emergente parallelo secondo fuoco F’: fascio incidente parallelo F F’

Distanza focale In una lente ci sono due fuochi, ma una sola distanza focale Infatti, ribaltando la lente, le superfici S1, S2 si scambiano e anche i due raggi si scambiano E inserendo nella formula della distanza focale otteniamo lo stesso valore R1 > 0 R2 < 0 R’2 < 0 R’1 > 0

Tracciamento dell’immagine I raggi notevoli emessi dall’oggetto sono, in questo caso Il raggio parallelo all’asse che viene rifratto nel secondo fuoco Il raggio passante per il primo fuoco che viene rifratto parallelamente all’asse Il raggio passante per il centro della lente che viene rifratto senza deviazione (le facce della lente sono parallele per questo raggio e quindi esso emerge nella stessa direzione, ma lievemente spostato. Poiché la lente è sottile, tale spostamento è trascurabile)

Ingrandimento Usiamo il raggio incidente nel centro della lente: dai triangolo PP’C e QQ’C abbiamo e tenendo conto della convenzione dei segni P P’ Q Q’ C

Potenza di una lente La potenza, o potere diottrico, di una lente è l’inverso della distanza focale L’unità di misura della potenza è la diottria D corrispondente all’inverso del metro Come conseguenza del segno di f, la potenza è positiva per lenti convergenti negativa per lenti divergenti

Sistemi di lenti Se si hanno più lenti, si può trovare l’immagine del sistema procedendo una lente per volta L’immagine di una lente, reale o virtuale che sia, sarà l’oggetto della lente consecutiva P.e. nel caso di due lenti si usa la distanza immagine della prima lente, assieme alla distanza d tra le lenti, per determinare la distanza oggetto della seconda lente

Lenti sottili addossate Si dicono addossate lenti la cui distanza è nulla Si può dimostrare (nel caso di due lenti) che vale la seguente relazione tra le distanze focali delle lenti e la distanza focale equivalente del sistema Ovvero, in termini di potenza

Lenti sottili addossate Sia dato un sistema di due lenti addossate di fuochi rispettivi f1 e f2, troviamo l’immagine Q di un punto oggetto P A tal fine troviamo dapprima l’immagine Q1 dovuta alla lente L1 P P1=P Q1 L1

Oggetti virtuali I raggi principali per la prima lente, che ci hanno permesso di costruire l’immagine della prima lente, non lo sono necessariamente per la seconda Per trovare i raggi principali per la seconda lente si puo` procedere come segue Ricordiamo che l’immagine della prima lente diviene l’oggetto della seconda lente

Oggetti virtuali Tracciamo allora all’indietro, cioe` da DX a SX i raggi uscenti dall’oggetto, principali per la seconda lente, fino a oltrepassare la lente, e come se questa non agisse Invertiamo ora il verso dei raggi e costruiamo i raggi rifratti dalla lente Otterremo cosi’ l’immagine della seconda lente L2 P2=Q1 L2 Q2=Q

Lenti sottili addossate E quindi l’immagine dovuta alla lente L2 Sommando membro a membro le due eqq., otteniamo Poiché il primo membro è l’inverso della distanza focale equivalente del doppietto, otteniamo la tesi L2 Q2=Q P2=Q1 P Q

Strumenti ottici composti Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i telescopi Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto lontani Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo b sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo a sotto cui e` visto senza strumento

Telescopio Nella versione piu` semplice un telescopio e` formato da due lenti Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc) L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb)

Telescopio di Galileo E` formato da due lenti convergenti Diciamo l la lunghezza del telescopio, definita come somma delle distanze focali delle lenti e y’ la dimensione dell’immagine dell’oggetto all’infinito L’ingrandimento visuale risulta obiettivo oculare b l a y’

Telescopio di Keplero L’obiettivo e` una lente convergente, l’oculare e` ora una lente divergente La lunghezza l del telescopio, e` con il vantaggio di compattezza rispetto al TdG L’ingrandimento visuale risulta obiettivo oculare b l a y’

Strumenti ottici composti Tra gli strumenti composti particolare importanza rivestono i microscopi Scopo di questi strumenti e` aumentare le dimensioni angolari di oggetti molto piccoli Si definisce ingrandimento visuale V il rapporto tra la tangente dell’angolo b sotto cui l’oggetto e` visto con lo strumento e la tangente dell’angolo a sotto cui e` visto senza strumento alla distanza prossima di visione nitida (d=25 cm)

Microscopio Nella versione piu` semplice un microscopio e` formato da due lenti convergenti Una, la piu` vicina all’occhio dell’osservatore e` detta oculare (distanza focale fc) L’altra e` detta obiettivo (distanza focale fb molto piccola)

Microscopio Diciamo l la lunghezza del microscopio, definita come distanza tra il 2° fuoco della prima lente e il 1° fuoco della seconda lente Siano y e y’ le dimensioni dell’oggetto e dell’immagine obiettivo oculare b l y y’

Microscopio La distanza dell’oggetto dev’essere di poco maggiore della distanza focale dell’obiettivo, di modo che l’immagine sia reale e molto ingrandita Si sposta l’obiettivo mantenendo fermi sia l’oggetto che l’oculare, fintanto che l’immagine dell’obiettivo cada nel 1° fuoco dell’oculare L’ingrandimento visuale risulta obiettivo oculare b l y y’