Trent’anni di Fisica Teorica in una Sigla S-T-U 1968-1997 Trent’anni di Fisica Teorica in una Sigla

Unificazione delle interazioni fondamentali: l’evoluzione della Teoria negli ultimi 30 Anni Le idee su cui si fonda la rappresentazione teorica dell’Universo Fisico e la descrizione delle sue leggi fondamentali sono cambiate profondamente dal 1965 ad oggi, ma seguendo un percorso logico quasi obbligato

La Preistoria: Anni 1960-1968 B C In questa decade la matrice S era sovrana. q q2 p1 p2 A D Stupiti dalla ricchezza dello spettro adronico i fisici pensavano che le interazioni forti richiedessero Principi Totalmente Nuovi per descriverne la dinamica. LA TEORIA dei CAMPI era divenuta OBSOLETA e si studiava la matrice S per se!

STU e Dualità negli anni ‘60 La sigla S-T-U era interpretata da chiunque come indicante: le variabili di Mandelstam cioè i 3 invarianti di Lorentz che si possono costruire con i quattro quadri impulsi che entrano in un diagramma di scattering Si cercava di costruire le ampiezze di scattering, usando Analiticità, Relazioni di Dispersione e poi DUALITA’ S t = Le risonanze nei canali s e t sono le stesse Vediamo....

Storia delle SuperCorde: L’EVO ANTICO. 1969-75 Nel 1968 Gabriele Veneziano introduce un’ampiezza di diffusione duale Nel 1970-71 Fubini e Veneziano introducono il formalismo operatoriale per la fattorizzazione delle ampiezze ad N-punti Nel 1970-71 nasce l’interpretazione come Corda Relativistica (Nambu, Rebbi) Nel 1969-70 Gliozzi scopre l’invarianza proiettiva e Virasoro la generalizza all’algebra di Virasoro. Nel 1971 si scopre la dimesnione critica per il disaccoppiamento dei ghost. Corda bosonica D=26 Nel 1971-1972 Neveu--Schwarz e Ramond introducono le corde fermioniche e per la prima volta scrivono un’algebra di supersimmetria. E’ l’estensione dell’algebra di Virasoro. Le corde fermioniche hanno dimensione critica D=10 DURANTE L’EVO ANTICO delle Corde = Teoria degli adroni si risveglia la Teoria dei Campi.

Che cos’é una stringa relativistica? Una particella puntiforme che si muove nello spazio tempo spazza una linea di mondo Invece un laccio spazza una superficie bidimensionale L’azione della stringa é l’area spazzata Per scrivere tale azione dobbiamo introdurre 1) la funzione di immersione: X( 2) la metrica sulla superficie bidimensionale g( 3) la metrica dello spazio ambiente g(X)

Storia delle SuperCorde: L’EVO MEDIO 1976-84 Il Medio Evo delle Corde corrisponde alla Rinascita della Teoria dei Campi Nel 1971 ‘t Hooft aveva rinormalizzato le Teorie di Yang--Mills, rendendole quantisticamente consistenti e predittive. Negli anni 1975-1980 a seguito di molti esperimenti (a cominciare dai risultati sugli alti momenti trasversi) diventa evidente che il modello a Quarks e la QCD (Teoria di gauge del gruppo SU(3) sono la giusta teoria degli adroni. DEMOCRAZIA NUCLEARE, APPROCCIO di MATRICE S, bye bye!! Nel 1975 Becchi Rouet, Stora e Tyutin perfezionano la struttura formale delle Teorie di Campo con invarianze di gauge. (Fondamentale idea per tutti gli sviluppi futuri) Nel 1974 Wess e Zumino introducono le Teorie di Campo supersimmetriche in D=4. Nel 1976 grazie a Ferrara, Freedman e van Nieuwenhuizen, nasce la SUPERGRAVITA’: cioè l’estensione supersimmetrica della Relatività generale. Nel 1977-1978, ‘t Hooft e Polyakov scoprono e studiano gli ISTANTONI ed i MONOPOLI MAGNETICI non abeliani. E’ l’inizio della FISICA non PERTURBATIVA

L’Evo Medio delle Corde è El SIGLO de ORO della SUPERGRAVITA’ Negli anni 1976 - 1984 la teoria della Supergravità viene sviluppata (a livello classico) in tutte le direzioni. Si costruiscono le lagrangiane per tutti i valori di N = numero di generatori di supersimmetria si scopre che Nmax=8 Ma anche in tutte le dimensioni D e si scopre che Dmax= 11. Si costruiscono tutti gli accoppiamenti della supergravità a tutti i possibili tipi di materia e si scopre che i campi scalari stanno sempre in modelli sigma non lineari con speciali gruppi di isometria: HIDDEN SYMMETRIES La Supersimmetria unifica la legge di Newton con la teoria dell’atomo. D =11

Modello Sigma? Il campo del modello sigma è una mappa: L’azione classica é: Un modello sigma è una teoria di campi scalari ixin uno spazio tempo MD di dimensione D dove ixsono interpretati come coordinate di un’altra varietà (detta bersaglio) MT di diversa dimensione L’interazione dei campi scalari é determinata dalla metrica sulla varietà bersaglio. Il gruppo di ISOMETRIA di MT è la Simmetria

Storia delle SuperCorde: L’ETA’ MODERNA 1984-94 Vi è sempre un precursore nei RINASCIMENTI. Nel 1977 -1978 Gliozzi, Olive e Scherck mostrarono che la supercorda in D=10 può essere resa supersimmetrica nello spazio tempo, ed ha come Teoria Efficace la Supergravità D=10. Nell’ultima metà degli anni 1970 Scherck e Schwarz, avevano proposto che le corde, anzichè Teorie degli adroni fossero interpretate come teorie delle interazioni fondamentali (anche gravitazionali). 1984 E’ il RINASCIMENTO delle Supercorde. Cancellazione delle Anomalie (Green e Schwarz) si predice il gruppo di gauge: E8 x E8 oppure SO(32) 1985 Nasce la stringa eterotica. Puo’ essere chirale, vive in D=10 ha un gruppo di gauge realistico 1985 Si introducono le compattifcazioni su varietà di Calabi--Yau. Si ha N=1 in D=4 ed uno spettro quasi realistico. SI PARLA di T.O.E.

Un’idea antica: Kaluza-Klein Per interpretare fisicamente una teoria in dimensioni spazio temporali >4 la si compattifica: Compattificazione Le n dimensioni spaziali che eccedono le tre fisiche, corrispondono a quelle di una varietà compatta, anzichè di Rn Extra dimensioni spaziali Spazio Tempo

La T Dualità Una conseguenza della natura estesa delle corde e della presenza di dimensioni compattificate! Vediamolo.....

INTANTO: Trionfa il Modello Standard 1983 1996 Mentre avvengono questi fatti sul fronte della corda La Teoria dei Campi trionfa nella fenomenologia con Verifica sperimentale del Modello Standard Nel 1983 si scoprono le particelle W e Z e poi al LEP si hanno verifiche sempre più impressionanti

1996: Il modello standard é completo... Nel 1996, l’ultimo quark, il top, necessario a completare lo spettro ( a 3 famiglie) del modello standard è stato rivelato sperimentalmente. Se ne é accorta anche LA STAMPA

Dall’articolo di Tullio Regge su TUTTOSCIENZE 1996 E' di questi giorni la conferma della scoperta del quark Top. Vediamo di chiarire il significato della scoperta. Il modello standard delle particelle elementari ha oggi all'incirca la stessa funzione e complessita' che ebbe a suo tempo il sistema periodico degli elementi di Mendeleiev. Ambedue sono basati su poco meno di un centinaio di componenti elementari che variamente combinati rendono conto di tuttigli aspetti della materia qual e' o era nota al momento in cui il modello e' apparso. Il modello standard descrive tuttavia processi fisici che si svolgono su di una scala di energie che e' circa un trilione di volte quella caratteristica della chimica del secolo scorso e contiene il sistema periodico come un piccolo frammento della visione di insieme che da esso deriva........... ...........Alla base del modello stanno concetti profondi di simmetria nel mondo delle particelle elementari, ma il modello e' ancora ben lungi dal mostrarci questa simmetria nel suo fulgore e contiene ancora troppe ipotesi che al momento paiono arbitrarie. I fisici hanno ancora molto da fare prima di giungere a una sintesi che sia esteticamente soddisfacente. TullioRegge Politecnico di Torino

Supersimmetria Superalgebra Quali sono le carte con cui si gioca alla FISICA delle PARTICELLE nel MODELLO STANDARD Particella Simmetria Tipo di particella Spin Supersimmetria Campo quantistico Gruppo e sua Algebra Rappresentazione del gruppo e dell’algebra Rappresentazione del gruppo delle rotazioni Superalgebra Opzione amata dai fenomenologi Vediamo lo spettro

GRUPPO delle ROTAZIONI Rotazione Un gruppo é un insieme i cui elementi sono operazioni di trasformazione che possono essere eseguite in sequenza

Il prodotto di due elementi del gruppo é...... La sequenza delle due trasformazioni: R1 A A R2 R3=R2R1 A In genere il prodotto non é commutativo

Il GIOCO delle permutazioni: I semi delle carte da gioco sono 4: li possiamo disporre in 24 modi.... Ordiniamoli nell’ordine di rango     Un qualsiasi altro dei 24 modi diversi di disporli si ottiene da quello iniziale con un’operazione di permutazione     Il prodotto di due permutazioni è la sequenza delle due operazioni     L’insieme delle permutazioni di 4 oggetti forma un GRUPPO con 24 elementi

Perché GRUPPO? perché é vero che: 1) Esiste l’elemento identità , cioé tra i 24 elementi c’e’ la permutazione E che lascia le cose come stanno. 2) Per ognuna P delle 24 permutazioni esiste tra le 24 l’elemento inverso , cioé una compagna P -1 che se applicata dopo P rimette le cose a posto, come stavano prima di far agire P . Si ha cioe’ P -1 P = E 3) Il prodotto di due qualunque di 24 elementi é uno fra gli stessi 24 elementi. 4) La differenza tra questo gruppo e quello delle rotazioni é che quest’ultimo ha un numero infinito e continuo di elementi

IL GIOCO delle Rappresentazioni: Torniamo alle permutazioni dei 4 semi delle carte ed inventiamo il seguente gioco. Disponiamo in un modo qualunque i quattro semi in uno schema a quattro caselle della seguente forma: ad esempio   oppure:       oppure,..... altri 24 modi !  Così avremmo creato 24 oggetti, ma ora stabiliamo delle regole identificano alcuni tra di essi.

- = - = LE REGOLE di identificazione del gioco: - + =  1) Regola del gioco: La seguente somma é nulla              - - + =     2) Regola: Qualunque scambio sulla verticale, cambia il segno           = - =      

Con le regole stabilite restano soltanto tre schemi indipendenti. Provare per credere.... Con le regole stabilite restano soltanto tre schemi indipendenti.       A= B= C=     , ,    Qualunque altro dei 24 schemi si riduce a uno di questi tre od ad una somma algebrica di questi tre usando le due regole precedenti.

Ora possiamo vedere che succede ad A,B,C se agiamo su di loro con una qualunque permutazione. Ad esempio......             =         = A-B+C   = 

Se chiamiamo P12 la permutazione che..... che scambia i primi due oggetti, cioe’, partendo dall’ordinamento per rango, le picche con le cuori abbiamo trovato che: P12 A=A-B+C ed analogamente si trova che P12 B=-B La stessa cosa si può fare per ogni altra delle 24 permutazioni P . L’immagine sotto P di A,B,C è una qualche somma algebrica degli stessi tre oggetti P12 C=-C

Chi ha capito questo gioco.... Ha capito che cos’e’ una rappresentazione lineare di dimensione d. (=3 nel nostro caso) di un gruppo con N elementi Si costruisce un insieme D i cui elementi sono combinazioni lineari di d colori base. (A,B,C, nel nostro caso). Cioé : elemento di D = a A + b B + c C (dove a,b,c sono numeri) L’immagine sotto ogni trasformazione P del Gruppo di ogni elemento di x dell’ insieme D é un altro elemento dell’nsieme di maniera però che P(x+ y)= P(x)+ P(y)

Ogni gruppo ha varie rappresentazioni diverse Il gruppo delle permutazioni di quattro elementi ha due rappresentazioni di dimensione uno, due di dimensione tre (ne abbiamo costruita una !) ed una di dimensione due I gruppi infiniti e continui come il gruppo delle rotazioni hanno infinite rappresentazioni di dimensione che man mano cresce. Il momento angolare é il codice che identifica le varie rappresentazioni del gruppo delle rotazioni

Trasformazioni di gauge e fibrati Una sezione del fibrato si dà dicendo che ora é in ogni punto dello spazio. Punti vicini hanno ore prossime (continuità) Ad ogni punto dello spazio di base (=la striscia) è assegnato un altro spazio (=l’orologio)

Fibrati, Trasporto Parallelo, Campi di Gauge.... La striscia di Mobius offre un’esemplificazione del concetto di fibrato Il vettore normale trasportato parallelamente a se stesso lungo la striscia ritorna al punto di partenza ruotato rispetto alla direzione che aveva in partenza. In una teoria di gauge il campo fondamentale A è una connessione su un fibrato, una regola cioè per scrivere la derivata covariante. Lucidi.ps 1-3

GLI ISTANTONI: Il più semplice esempio Si consideri un modello di Meccanica Quantistica in una dimensione con un potenziale periodico. Ad esempio: q=2 Vogliamo calcolare l’Ampiezza di Transizione dallo stato q=0 al tempo t= -allo stato q=2al tempo t=  q=0 Integrale di Cammino.Si somma su tutte le traiettorie con estremi fissi

Ed ora una pausa Istantonica Consideriamo ora le principali strutture concettuali della moderna TEORIA UNIFICATA. Cominceremo con un rapido sguardo agli istantoni. Ve ne sono di Yang-Mills, ma anche gravitazionali VEDI Lucidi.ps 10-15

Finalmente la supersimmetria... Come abbiamo detto la supersimmetria scambia bosoni e fermioni. Che significa? Vuol dire che esiste un operatore Q (la carica di supersimmetria) che applicato ad uno stato contenente sia bosoni che fermioni distrugge un bosone e crea un fermione. Q Q Bosone Fermione

C’é anche la carica coniugata Inoltre esiste un operatore Q+ (la carica di supersimmetria coniugata) che applicato ad uno stato contenente sia bosoni che fermioni fa l’opposto, cioé distrugge un fermione e crea un fermione. Q+ Q+ Fermione Bosone

Su di un generico stato si ha..... Dove Estato é l’energia dello stato e, per costruzione l’immagine di uno stato sotto Q o Q+ é un altro stato/: e la somma di due stati é uno stato

Nello stesso modo.......... Se abbiamo un sistema di bosoni e fermioni Uno stato del sistema può essere descritto da dove ai sono numeri complessi e è uno stato puro :

E dove i numeri di occupazione, bosonico e fermionico, rispettivamente. I loro valori possibili sono: Perché l’albergo dei fermioni ha solo camere singole!!!!

Che fa dunque la supersimmetria? = ...... Distrugge un bosone e crea un fermione, ma se la stanza fermionica é già occupata, dà zero ...... Q ...... =

L’anticarica fa l’opposto: Q+ = ...... Q+ = ...... Distrugge un fermione e crea un bosone, ma se la stanza fermionica é già vuota, dà zero = ......

E= nB+ nF Supponiamo ora che ........... ogni bosone porti un quanto di energia ed ogni fermione porti un quanto di energia Allora, l’energia totale di uno stato sarà E= nB+ nF Nel caso in cui i due quanti fermionico e bosonico siano uguali avviene che............

Il sistema é supersimmetrico ha energia E, allora ha la stessa energia. perché se uno stato anche lo stato stato Q stato Togliere un bosone e rimpiazzarlo con un fermione non cambia il valore dell’energia totale. Questa verità può essere detta in un modo più matematico, scrivendo una superalgebra! Possiamo facilmente inventare un operatore che misura l’energia, come segue

L’hamiltoniana ha un modo cruento di misurare l’energia: L’operatore H, misura l’energia così. Uno alla volta uccide tutti i bosoni, prende il loro quanto di energia e poi, prima di uccidere il prossimo ricrea il bosone appena ucciso. Indi fa la stessa cosa con i fermioni. L’unica differenza é che in ogni camera fermionica trova o nessuno od un solo fermione. H Un altro quanto di energia nel sacco! ...............

A questo punto vediamo che Tutto quello che abbiamo discusso fin ora può riassumersi in relazioni algebriche tra gli operatori E’ questa nella sua forma più semplice la superalgebra di supersimmetria. L’idea fondamentale é che nei sistemi supersimmetrici bosoni e fermioni hanno la stessa energia (o massa). La distinzione di ruolo dinamico tra materia e campi di forza scompare. Riappare quando la supersimmetria é spontaneamente rotta

La Relatività generale é parte cruciale della teoria unificata La Relatività generale, dopo 80 di vita gode di eccellente salute. Essa descrive il campo gravitazionale a scale non microscopiche ed emerge sempre come parte della lagrangiana di basse energie della Teoria delle corde o p-brane: La SUPERGRAVITA’

Storia della SuperCorda:L’ETA’ POSTMODERNA 1994--??? Con il lavoro di Seiberg Witten del 1994 ed i successivi sviluppi sulla Dualità S T U entriamo nella quarta era della SuperCorda. Ma è ancora una corda o é una p-brana ? O sono tante p-brane? Una Nuova Democrazia: La Democrazia delle brane

Corde o p-Brane? Nell’età postmoderna delle supercorde le corde sono sullo stesso piano con altri oggetti estesi e questo per una generalizzazione della dualità elettrico-magnetica di Dirac!

TUTTOSCIENZE 19 Luglio 1995 La S-T-U dualità è sulla STAMPA e ne trova un altro che cerca affannosamente sotto un lampione le chiavi di casa, cadutegli di mano. Il primo signore si offre di aiutare il secondo nella sua ricerca e, dopo dieci minuti di vani tentativi, gli chiede se e' ben sicuro di aver perso le chiavi precisamente in quel luogo. La risposta e' no. ®Allora perche' le cerca proprio qui? chiede il primo. ®Perche' qui c'e' luce! risponde il secondo. Le chiavi perse sono da identificarsi con la soluzione esatta di un problema dinamico; la luce del lampione e', invece, la teoria delle perturbazioni che i fisici usano costantemente la' dove le soluzioni esatte non sono disponibili, cioe' nel novantacinque per cento dei casi. Pietro Fré SISSA, Trieste Che cosa e' avvenuto negli ultimi mesi per produrre una scarica di adrenalina nelle vene della comunita' scientifica dedita a questo tipo di studi? E che cosa sono le dualita' e le simmetrie speculari? Per capirlo conviene rifarci a una storiella che quasi tutti i fisici conoscono Un signore rientra tardi la sera

Le idee guida nell’ Anno di grazia 1997 Basse Energie Alte Energie La teoria fondamentale è una teoria di oggetti estesi Lo spazio tempo ha dimensioni più elevate. D > 4 Le extra dimensioni DE=D-4 sono compattificate su varietà opportune (Kaluza--Klein) La teoria fondamentale è supersimmetrica sia nello spazio tempo che sul volume di mondo Lo spettro non perturbativo unifica tutte le teorie. Per DUALITA’, i vari modelli sono facce diverse di un unica superteoria quantistica A basse energie le interazioni fondamentali sono descritte da teorie di gauge per campi puntiformi I bosoni di gauge sono i mediatori delle forze I campi di materia sono in rappresentazioni opportune del gruppo di Gauge Le teorie di gauge a bassa energia sono chirali, ma le anomalie devono cancellarsi Le Teorie di Gauge non abeliane sono non lineari. Perciò vi sono effetti non perturbativi: monopoli, istantoni, confinamento dei quarks

Le cinque teorie di corda in D=10 e la M Theory in D=11 sono diverse facce della stessa teoria Heterotic E8xE8 Type I SO(32) Heterotic SO(32) Type II B Type II A D=10 D=9