Bruno Mario Cesana Stefano Calza CORSO DI STATISTICA Nozioni di Calcolo della Probabilità SECONDA PARTE Bruno Mario Cesana Stefano Calza

Problema 1 Sia 0.5 la probabilità che nasca un maschio o una femmina. Ovviamente, la nascita di un maschio (femmina) come secondo figlio è indipendente dal fatto che prima sia nato un maschio o una femmina. Ci si chiede: per una famiglia che ha già due figli di cui uno è femmina, quale è la probabilità che anche l’altro figlio sia femmina ? Prima Risposta: 0.5 La “Prima Risposta” è sbagliata! Consideriamo che la famiglia in questione ha due figli e come può essere la loro composizione relativamente al sesso.

Problema 1 – continua (1) Composizione dei due figli della famiglia per il sesso. PRIMO / SECONDO FIGLIO PRIMA SITUAZIONE: M / M  (0.5 • 0.5) = 0.25 SECONDA SITUAZIONE: M / F  (0.5 • 0.5) = 0.25 TERZA SITUAZIONE: F / M  (0.5 • 0.5) = 0.25 QUARTA SITUAZIONE: F / F  (0.5 • 0.5) = 0.25 E’ EVIDENTE CHE LA PRIMA SITUAZIONE (M / M) DEVE ESSERE ESCLUSA IN QUANTO NON E’ PERTINENTE AL PROBLEMA CHE SPECIFICA CHE UN FIGLIO (dei due della famiglia) E’ FEMMINA.

Problema 1 – continua (2) CI SONO SOLO TRE SITUAZIONI POSSIBILI (MF, FM e FF) e SOLO UNA E’ QUELLA FAVOREVOLE: (FF). SECONDA RISPOSTA: 1 / 3 (CORRETTA) IL QUESITO: per una famiglia che ha già due figli di cui uno è femmina, quale è la probabilità che anche l’altro figlio sia femmina ? o “quale è la probabilità che l’altro figlio sia femmina [P(F*)] dato che uno è già femmina [P(F)] ?” introduce al problema della PROBABILITA’ CONDIZIONATA: la probabilita’ che si verifichi un evento dato che si è già verificato un altro EVENTO: P (F*F) = P (F  F* ) / P (F) = ( 0.5  0.5 ) / ( 3 / 4) = 1 / 3

Probabilità Condizionata Consideriamo il lancio di due dadi: evento F : il primo dado esce 4 evento E: la somma dei due dadi è 6 Quale è la probabilità che se il primo dado da 4 (evento F), la somma dei due dadi dia 6 (evento E)? In totale ho 36 eventi possibili (combinazioni possibili del lancio di due dadi) ciascuno con Probabilità = 1/36 Si verifica F: lancio il dado ed esce 4 Possibili esiti al lancio del secondo dado, dato l’uscita di 4 al lancio del primo dado: (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); Le possibili 6 combinazioni hanno pari probabilità: P = 1/6 Esito favorevole (4,2) con P = 1 / 6

Probabilità condizionata (1) Si considerino gli eventi: A = “estrazione di una fiala prodotta dalla macchina A” D = “estrazione di una fiala difettosa” Quale è la probabilità di estrarre una fiala difettosa “dato che” la fiala è prodotta dalla macchina A ? In questo caso, si fa riferimento non all'insieme “ I “ di tutti i casi, ma al sottoinsieme dei casi che verificano l'evento ”A": su tale sottoinsieme va calcolata la probabilità di estrarre una fiala difettosa. Tale probabilità viene indicata con la notazione P(D|A), che si legge “probabilità condizionata a A” (il simbolo “|” denota condizione e si legge: “dato che”).

Probabilità condizionata (2) La probabilità condizionata è data dal rapporto tra il numero di fiale che sono sia difettose e sia prodotte da A ed il numero di fiale prodotte da A. In modo equivalente:

Probabilità condizionata (3) Numericamente otteniamo: N.B. Cambia lo spazio campione: non è il totale degli eventi possibili, ma solo degli eventi legati al verificarsi di A.

Probabilità dell’intersezione Da quanto detto, possiamo ora calcolare P(AB) Data: consegue che: Notare quanto segue: P(D  A) = P(A) P(D|A) = 0.10 * 0.008 = 0.0008 P(D  A) = P(D) P(A|D) = 0.05 * 0.160 = 0.0008 P(D|A) * P(A) = P(A|D) * P(D) = P(D  A)

La probabilità dell’evento B non dipende dall’esito di A Eventi indipendenti Consideriamo un’urna contenente 8 sfere colorate: 5 rosse, 3 blu Evento A = estrazione 1° sfera rossa: P(A)= 5/8 1) Si estragga una seconda sfera, dopo aver reimmesso la prima sfera estratta: Evento B = estrazione 2° sfera rossa P(1° sfera rossa) P(2° sfera rossa | colore 1° sfera ) P(1° sfera blu) La probabilità dell’evento B non dipende dall’esito di A P(B) = P(B|A)

Eventi indipendenti (2) 2) Estraggo una seconda sfera senza reimmettere la prima estratta che era una sfera rossa P(1° sfera blu) P(1° sfera rossa) P(2° sfera rossa | colore 1° sfera) P(B)  P(B|A) La Dipendenza o la Indipendenza di due eventi può essere determinata dal tipo di campionamento

P(AB) = P(A) * P(B) o P(BA) = P(B) * P(A) Consegue che... Due eventi A e B sono indipendenti se la probabilità non condizionata di un evento è uguale alla probabilità di quell'evento condizionata al verificarsi dell'altro: A e B indipendenti se: P(A) = P(A|B) o P(B) = P(B|A) Vale anche l'affermazione simmetrica. Se due eventi sono indipendenti, la probabilità non condizionata di un evento è uguale alla probabilità di quell'evento condizionata al verificarsi dell'altro: P(A) = P(A|B) o P(B) = P(B|A) se A e B indipendenti Ne consegue che la probabilità dell'intersezione di due eventi indipendenti è data dal prodotto delle loro probabilità [TEOREMA DEL PRODOTTO]: P(AB) = P(A) * P(B) o P(BA) = P(B) * P(A)

Esempio Insieme “J” di 4000 fiale difettose e non prodotte dalle macchine A e B. 4000 3000 1000 320 240 80 3680 2760 920 A+B B A FIALE TOTALE MACCHINA Domanda: nell’insieme “J” di 4000 fiale quale è la probabilità di estrarre una fiala che sia difettosa e prodotta dalla macchina A? Si noti che nell'insieme “J”: P( d | A ) = P(d) = 80 / 1000 = 320 / 4000 = 0.08. La frequenza di fiale difettose non dipende dalla macchina che le ha prodotte: d e A sono eventi indipendenti.

Indipendenti o Incompatibili? E’ chiara la differenza? Facciamo un esempio: P(A) = La Juve vince un incontro P(B) = L’Inter vince un incontro Se Juve e Inter giocano insieme: A  B =  Gli eventi sono incompatibili (o mutualmente esclusivi), ma non indipendenti (il verificarsi di A fa sì che B non si possa verificare!! P(B|A) = 0) Se Juve e Inter giocano contro altre squadre: entrambe possono vincere e l’esito di un incontro non determina (?) l’esito dell’altro: Gli eventi sono indipendenti, non incompatibili.

Esempio di riepilogo Distribuzione Congiunta di A e B = P(AiBj) Essendo AiBj e AkBl (ik: 0, 1, 2; j  l: 0, 1) mutualmente esclusivi ho: P(A0) = P(A0B0) + P(A0  B1) = 0.2 + 0.1 = 0.3 P(B0) = P(A0  B0) + P(A1  B0) + P(A2  B0) = 0.4 Probabilità Marginali Probabilità Condizionate di A|B0