Incertezza di misura

Introduzione e richiami Come già detto i risultati numerici ottenibili dalle misurazioni sono intrinsecamente caratterizzati da aleatorietà… è dunque sempre necessario stimare una fascia di valori attribuibili come misura al misurando; tale fascia di valori è data da un valore numerico accompagnato da un valore di incertezza (e da un’unità di misura) l’incertezza deve dunque essere opportunamente stimata, affinché sia possibile assegnare misure compatibili. Le modalità secondo le quali si deve operare il calcolo dell’incertezza di misura sono fissate dalla norma internazionale ISO 13005, recepita in Italia come UNI CEI EN 13005 - Guida all’espressione dell’incertezza di misura. Incertezza di misura

Definizioni Incertezza “Intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli elementi della fascia di valore assegnatagli come misura” (UNI 4546) “Parametro, associato con il risultato di una misurazione, che caratterizza la dispersione dei valori che possono ragionevolmente essere attribuiti al misurando” (VIM e UNI CEI EN 13005 - GUM) La Guida all’Espressione dell’Incertezza adotta come vocabolario metrologico di riferimento quello proposto dal VIM; dunque, nella GUM si fa riferimento alla seconda definizione di incertezza sopra riportata. Incertezza di misura

Incertezza Nella GUM si dice che l’incertezza associata alla misura è legata alla presenza di effetti casuali (o in generale accidentali) e di effetti sistematici; a rigore, prima di stimare l’incertezza, questi ultimi dovrebbero essere corretti, tuttavia resta comunque un contributo d’incertezza legato alla correzione stessa. Esistono molte possibili fonti d’incertezza, fra le quali: - definizione incompleta del misurando; - non rappresentatività della campionatura; - imperfetta conoscenza delle grandezze d’influenza; - risoluzione ed incertezza intrinseca dello strumento; - distorsione delle letture da parte dell’operatore; - valori approssimati di costanti, coefficienti, ecc.; - approssimazioni ed ipotesi semplificatrici (modelli). Incertezza di misura

Secondo la guida le componenti dell’incertezza di misura possono essere raggruppate in due categorie: A e B. Tale suddivisione non è in alcun modo da mettere in relazione con la distinzione fra errori sistematici ed errori accidentali!!! A e B indicano esclusivamente la modalità secondo la quale i contributi di incertezza sono valutati. In entrambi i casi si considera che le possibili misure costituiscano una popolazione, descritta statisticamente da una funzione di distribuzione di probabilità. In entrambi i casi viene calcolata un’incertezza tipo (u), coincidente con lo scarto tipo associato a tale distribuzione. Incertezza di misura

A  si considera un campione (misure ripetute) e quindi si stima lo scarto tipo della distribuzione stimata sulla base delle osservazioni. (distribuzione osservata) B  non si considera un campione! Si ipotizza una distribuzione teorica sulla basa del grado di conoscenza del fenomeno (e dell’esperienza). Di conseguenza si stima uno scarto tipo. (distribuzione ipotizzata) La distinzione riguarda esclusivamente le modalità secondo le quali i contributi d’incertezza vengono valutati. In diverse situazioni lo stesso contributo può essere valutato secondo modalità differenti. Incertezza di misura

Si parla di incertezza composta per indicare l’incertezza associata alla misura di una grandezza ottenuta (misura indiretta) a partire dalla misura di altre grandezze alle quali essa è legata da una forma funzionale. Per stimare tale valore di incertezza si utilizza la legge di propagazione dell’incertezza considerando varianze e covarianze associate alle grandezze indipendenti. Si parla, infine, di incertezza estesa. Una volta calcolata l’incertezza tipo u, l’incertezza estesa è ottenuta come k·u, dove k è detto fattore di copertura (solitamente è compreso fra 2 e 3). In questo modo si costruisce un intervallo fiduciario ad un opportuno livello di fiducia (tipicamente 95%). Incertezza di misura

Modello della misurazione In molti casi la misura da assegnare al misurando Y non viene direttamente ottenuta, ma viene ricavata dalla misura di altre N quantità X1, X2, … Xn. Y è legata alle Xi da una relazione funzionale f. I simboli Y ed Xi sono rappresentativi di misurandi; tuttavia al fine della valutazione dell’incertezza vengono impiegati per definire corrispondenti variabili casuali per le quali si considerano opportune distribuzioni di probabilità. La funzione f va interpretata nell’accezione più ampia possibile: può essere una forma funzionale analitica, un tabella empirica, un algoritmo numerico, ... Incertezza di misura

Le quantità Xi sono anch’esse dei misurandi, che possono a loro volta essere ottenuti indirettamente… nella forma funzionale devono rientrare anche correzioni e fattori di correzione di errori sistematici. Dalla relazione f si ricava una stima del misurando, indicata con y, ottenuta a partire da stime delle N grandezze Xi, indicate con xi (normalmente si considerano le medie). La relazione sopra riportata è approssimata e vale a rigore solo nel caso lineare. Per ogni quantità di ingresso xi è possibile procedere al calcolo della relativa incertezza tipo u(xi) mediante valutazioni di categoria A oppure B; una volta stimate le u(xi), si può procedere al calcolo di u(y) secondo un metodo opportuno, spiegato dalla norma. Incertezza di misura

Se si considera un certo modello per la misura di una grandezza Y, del tipo è necessario procedere ad una identificazione dei fattori Xi che abbiano influenza su Y. Si devono individuare tutti i fattori che abbiano effetti significativi sulla misura di Y. È difficile individuare la presenza di ogni fattore e identificarne l’effetto, in quanto si crea un circolo vizioso per cui un fattore può essere individuato dal momento in cui se ne rileva l’effetto, ma se si ignora la presenza del fattore non se ne può nemmeno valutare l’effetto.  i fattori di incertezza sono contenuti nelle procedura di misura allo stato dell’arte, che escludono sulla base dell’esperienza quelli trascurabili! (es. lunghezza di un manufatto ) Incertezza di misura

Incertezza tipo: valutazione di categoria A Data una certa quantità X, sottoposta a misurazione, è possibile procedere attraverso n osservazioni ripetute. Indicando con xk il valore assunto da X in ogni osservazione, la misura da assegnare ad X come misura è dato dalla media aritmetica delle n osservazioni (media campionaria per X). La varianza della popolazione delle misure viene stimata sulla base dei valori xk costituenti il campione (osservazioni ripetute) attraverso la varianza campionaria. Incertezza di misura

La varianza della media è data dalla seguente relazione ed indica quanto bene la media campionaria stimi la media della popolazione. L’incertezza tipo (di categoria A) associata alla misura di x è data da: Nota: elemento presente nell’espressione dell’intervallo fiduciario per la media, costruito a partire da un campione di n elementi. Caso particolare: Nel caso di misurazione ben caratterizzata e sotto controllo statistico, se è stimata per la popolazione una varianza cumulata , allora se sono state eseguite n osservazioni conviene comunque stimare l’incertezza come: Incertezza di misura

Incertezza tipo: valutazione di categoria B La valutazione dell’incertezza di categoria A presenta dei limiti che possono essere riassunti in due punti: - comporta il prendere in considerazione un numero elevato di dati sperimentali, mediante i quali stimare l’incertezza tipo; - comporta la necessità che il campione sia rappresentativo delle caratteristiche della popolazione: vi deve essere una opportuna variazione dei parametri che influenzano la popolazione (delle misure). In molti casi è da preferirsi una valutazione dell’incertezza di categoria B, effettuata sulla base di informazioni differenti dai campioni di dati rilevati e da analizzarsi statisticamente. Le replicazioni consentono in generale di stimare una parte del contributo d’incertezza complessivo legato ad un singolo fattore. Incertezza di misura

- dati di misurazioni precedenti; Nella caso si proceda alla stima, per una grandezza x, dell’incertezza associata u(x), senza impiegare dati sperimentali relativi ad osservazioni ripetute, si ricorre ad una valutazione di categoria B di u(x) sulla base di un giudizio scientifico, basato su tutte le informazioni note relativamente a x. Tali informazioni possono comprendere: - dati di misurazioni precedenti; - esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti di interesse; - specifiche tecniche del costruttore; - dati forniti in certificati di taratura o altri; - incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali. Una valutazione di categoria B è tanto valida quanto una di categoria A, soprattutto quando quest’ultima è basata su un numero ridotto di osservazioni ripetute. Incertezza di misura

Alcune possibili situazioni... 1. È fornita un’incertezza estesa (I) ed è dato il fattore di copertura (k): l’incertezza tipo u(x) è data da: 2. Si sa che i valori attribuibili a x sono distribuiti normalmente e viene data la probabilità che x si trovi in un certo intervallo (di ampiezza 2a) con un opportuno livello di fiducia. Per esempio se si considera un intervallo fiduciario al 95% (a cui corrisponde z = 1.96), allora l’incertezza tipo u(x) è stimabile come: a = 5%  p = 0.975  z = 1.96 z f 95% -a a Incertezza di misura

4. Nel caso di distribuzione triangolare di semiampiezza a, si ha: 3. Se si può ritenere che le misure siano distribuite uniformemente (distribuzione rettangolare), ovvero se la probabilità di avere un qualsiasi valore all’interno di un intervallo (a,b) è diversa da zero e costante, mentre è nulla la probabilità di avere valori fuori da tale intervallo, allora l’incertezza tipo è data da: Nel caso in cui si consideri un intervallo simmetrico rispetto alla miglior stima di X indicata con x, di semiampiezza a, si ottiene: 4. Nel caso di distribuzione triangolare di semiampiezza a, si ha: Incertezza di misura

5. In alcuni casi la singola grandezza x è soggetta ad una variabilità che può essere ritenuta periodica; tipicamente accade per variazioni naturali di temperatura ed umidità oppure vibrazioni od oscillazioni indotte… Ad esempio per quanto concerne la temperatura, se si considerano misure che si protraggono per tutto l’arco delle 24 ore in ambiente non condizionato, si può ritenere che la temperatura vari secondo una sinusoide di periodo 24 h e ampiezza a. A questa tipologia di grandezze è associata una distribuzione ad U fra i valori -a e +a. Si ricava una varianza per tale distribuzione data da: Incertezza di misura

Incertezza tipo composta Si fa riferimento alla relazione L’incertezza tipo associata alla stima y del misurando Y è ottenibile componendo opportunamente le incertezze tipo associate alle stime xi delle quantità Xi. Tale incertezza è detta incertezza tipo composta e si indica con uc(y). Tale incertezza è una stima della dispersione dei valori che ragionevolmente possono essere attribuiti al misurando Y attorno al valore di misura y. Si possono considerare due casi: grandezze d’ingresso Xi indipendenti oppure grandezze d’ingresso Xi interdipendenti o correlate. Incertezza di misura

CASO 1: quantità d’ingresso Xi indipendenti. L’incertezza tipo composta uc(y) associata alla stima y di Y è la radice quadrata della varianza composta uc(y)2, data da: chiamata legge di propagazione dell’incertezza. Nella relazione ciascuna u(xi) è un’incertezza tipo stimata per le grandezze d’ingresso xi secondo valutazione di categoria A o di categoria B. La relazione è ottenuta semplicemente come sviluppo in serie di Taylor troncato al primo ordine della funzione f; tale sviluppo è operato in corrispondenza della N-upla costituita dalle stime (x1, x2, …, xN) delle quantità d’ingresso Xi. Incertezza di misura

I termini rappresentano le derivate parziali calcolate in Tale relazione vale dunque a rigore solo nel caso lineare; risulta approssimata nei casi in cui f sia una funzione non lineare delle Xi. Se la non linearità è significativa si ricorre all’utilizzo di una relazione ottenuta da uno sviluppo in serie con termini di ordine superiore, riportata nella norma. I termini rappresentano le derivate parziali calcolate in corrispondenza delle stime xi, quindi in corrispondenza della n-upla (x1, x2, …, xN). Tali termini vengono definiti coefficienti di sensibilità e indicati con ci (possono anche essere determinati sperimentalmente o numericamente). La varianza stimata uc(y)2 è data dalla somma dei termini (cixi)2, ognuno dei quali rappresenta il contributo di varianza dato su y dalla varianza relativa ad ogni termine xi. Ciò si può tradurre nell’equazione: Contributo alla varianza di y dovuto alla varianza sul singolo ingresso xi. Incertezza di misura

CASO 2: quantità d’ingresso Xi correlate. Se le Xi quantità in ingresso hanno un grado di correlazione non trascurabile, allora è necessario tenere conto delle covarianze, attraverso l’applicazione della seguente espressione della legge di propagazione dell’incertezza: Dove i termini u(xi,xj) rappresentano le covarianze fra le medie dei termini i e j. Se si considerano due medie campionarie e che stimano le medie delle popolazioni relative a due quantità m ed r rispettivamente, calcolate su n coppie di misurazioni simultanee di q ed r, nelle stesse condizioni di misurazione, si ha: Incertezza di misura

Incertezza estesa La norma indica che una volta valutata l’incertezza tipo composta uc(y), si passi alla definizione di un intervallo che, ad un dato livello di fiducia P, contenga i valori che ragionevolmente possono essere attribuiti al misurando Y. Si deve cioè estendere il valore di incertezza tipo ricavato in modo da determinare un intervallo fiduciario al livello di fiducia P. In tal modo si definisce il valore dell’incertezza estesa U(y) associata alla misura y assegnata al misurando Y. Vale la relazione k è detto fattore di copertura e di norma deve assumere valori compresi fra 2 e 3. Incertezza di misura

- k = 2  il livello di probabilità è 95.45 % In particolare: nel caso il misurando X venga misurato per osservazioni ripetute e l’incertezza associata sia dunque considerata attraverso una valutazione di categoria A, determinare l’incertezza estesa coincide con definire un intervallo fiduciario per la media. In tal caso k coincide con il valore della variabile t di Student assunto in corrispondenza di n-1 gradi di libertà e di una probabilità 1-/2 (dove 1- è il livello di fiducia considerato); nel caso particolare di misura indiretta di un misurando Y, dipendente da N quantità d’ingresso Xi, se la distribuzione di Y può essere considerata normale, allora: - k = 2  il livello di probabilità è 95.45 % - k = 3  il livello di probabilità è 99.73 % Incertezza di misura

Tuttavia, in generale, se si vuole stimare l’incertezza estesa associata alla misura indiretta di una quantità Y dipendente da N quantità d’ingresso Xi, si deve considerare, al fine di calcolare il fattore di copertura k, la distribuzione t di Student, con un numero di gradi di libertà opportuno ed il livello di probabilità scelto. Il numero di gradi di libertà da considerarsi per Y è dato dalla relazione di Welch-Satterthwaite, riportata nella GUM: dove: eff indica il numero di gradi di libertà effettivi da attribuire alla distribuzione t per Y; i indica il numero di gradi di libertà associato a ciascun contributo Xi; ui(y) coincide con il prodotto ci·u(xi); uc(y) è l’incertezza composta stimata per Y. Incertezza di misura

Nota sui gradi di libertà Per ogni contributo d’incertezza di categoria A il numero di gradi di libertà i da considerare è uguale al numero dei dati considerati n a cui va sottratto il numero di vincoli considerati.Se ad esempio la stima della misura xi da assegnare alla quantità Xi è ottenuta da un campione di n misure, si dovranno considerare n-1 gradi di libertà (il vincolo è dato dalla stima, attraverso i dati del campione, della media campionaria assegnata come misura). Per i contributi di categoria B si assegna un numero di gradi di libertà (tipicamente 15, 30, 50, 100) in funzione del livello di credibilità che si può attribuire alla fonte dei dati. Se è assegnato un valore di incertezza strumentale, nel caso in cui non siano dichiarati livello di fiducia e gradi di libertà con cui tale valore è stato ottenuto, il contributo d’incertezza si calcola come metà del valore di incertezza strumentale dichiarato; nel computo dei gradi di libertà ci si comporta prudenzialmente considerando 5 gradi di libertà. Questo modo di procedere è in favore di sicurezza, ovvero porta a sovrastimare l’incertezza complessiva. Incertezza di misura

Esempio di calcolo Si consideri il caso della seguente misura indiretta di lunghezza. (*) LT: valore assunto dalla lunghezza alla temperatura T; L20: valore assunto dalla lunghezza a 20°C; : coefficiente di dilatazione termica del materiale. Per quanto concerne la misura della lunghezza sono noti i seguenti dati: accuratezza: A = 8 m (data come semiampiezza di una distribuzione rettangolare); ripetibilità: Rip = 5 m (data come scarto tipo della media calcolato su 10 replicazioni) risoluzione: r = 4 m. il valore di misura da assegnare a LT è stimato in 800 mm; coefficiente di dilatazione termica (da manuale)  = 2.50·10-6 °C-1; il valore di misura da assegnare alla temperatura è 25 °C ( si considera la temperatura variabile sinusoidalmente sulle 24h con semiampiezza a=2.5°C). Incertezza di misura

Al fine di valutare la misura da assegnare ad L20 si deve procedere alla determinazione di un valore di misura y e di una connessa incertezza estesa U(y), dove y è il misurando (L20) Il valore di misura si ottiene dall’espressione di (*) L20, sostituendo gli opportuni valori per LT, , T. I valori sono forniti nell’elenco dei dati, si ha dunque: Il calcolo dell’incertezza combinata associata al valore di misura di L20 e dell’incertezza estesa viene svolto mediante tabella opportuna. Incertezza di misura

Incertezza di misura

Note per il calcolo dell’incertezza Se viene fornito un valore di incertezza strumentale (ad esempio attraverso un diagramma di taratura) per una dato strumento di misura mediante il quale si sia assegnata la misura di una delle grandezze indipendenti Xi , dalle quali la misura di Y dipende, si possono verificare diverse situazioni. A - Viene assegnato un livello di fiducia (P=1-) e viene assegnato il numero n di osservazioni ripetute che sono state impiegate per valutare l’intervallo assegnato come incertezza strumentale; in tal caso il fattore di copertura k è immediatamente determinabile e coincide con il valore assunto dalla variabile si Student t con n-1 g.d.l. in corrispondenza di un livello di probabilità P (t1-/2,n-1). Noto il valore k dall’incertezza strumentale estesa si ricava il valore di scarto tipo si, che va trattato come incertezza di categoria A, con assegnati n-1 g.d.l. B - Viene assegnato il livello di fiducia P, ma non viene detto nulla riguardo al numero di osservazioni effettuate. In tal caso si ricava il fattore di copertura k ipotizzando una distribuzione normale in luogo di quella di Student. Si ricava dunque lo scarto tipo si, che va trattato come incertezza di categoria A, con assegnati 5 g.d.l. (per convenzione). Incertezza di misura

C - Non vengono assegnati né il valore di probabilità P né il numero di osservazioni ripetute eseguite. Si procede come nel caso B, tuttavia per ricavare k si divide il valore di incertezza estesa semplicemente per 2. Analogamente si procede per altre caratteristiche metrologiche assegnate: ripetibilità, riproducibilità, stabilità. Per accuratezza, risoluzione, isteresi, errori di zero, ecc. si procede di norma con valutazioni di categoria B. Incertezza di misura

Bibliografia G. Barbato, Misurare per decidere, Progetto Leonardo, Bologna (Capitoli 8, 9, 10) UNI CEI ENV 13005, Guida all’espressione dell’incertezza di misura