3 ALS - ASA 7 Aprile 2014

Giochiamo a battaglia navale. Qual è la probabilità di colpire la portaerei in figura con un colpo? La probabilità è N. caselle occupate da portaerei/N.totale caselle

B A Battaglia Navale Un approccio per componenti: (scelte successive) 1) scegliamo un numero 2) scegliamo una lettera numero casi favorevoli = 2∙3 numero casi possibili = 5∙7

Urna con tre palline - reimmissione un'urna contiene una pallina Rossa, una Verde e una Nera estraiamo due palline, una dopo l'altra con reimmissione… qual è la probabilità che la prima pallina estratta sia Rossa e la seconda estratta Nera?

Urna con tre palline Possibile schema per “trovare soluzione” 2° estrazione R V N RR RV RN VR VV VN NR NV NN 1° estrazione nell'esempio osserviamo che P(R e N) = P(R) * P(N) attenzione: P(R)= probabilità che Rossa alla prima estrazione ovvero 3/9=1/3

Urna con cinque palline - reimmissione In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Viene estratta in modo casuale una pallina alla volta e viene reinserita nell’urna prima dell’estrazione successiva. Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?

Urna con cinque palline - reimmissione Un modello: la tabella seconda estrazione B2   B1 R3 R2 R1 prima estrazione La probabilità dell’evento “R e B” è

Urna con cinque palline - reimmissione estrazione 1 estrazione 2 Un altro modello: il grafo ad albero 3/5 2/5 la probabilità di ogni estrazione … il cammino “favorevole” … lettura sul grafo: prodotto probabilità rami osserviamo che P(R e B) = P(R) * P(B) p(R e B) =

Prodotto probabilità rami Un’analogia R B 3/5 2/5 Immaginiamo che il grafo rappresenti un condotto per l’acqua. Se il tubo verde in alto porta a litri, allora nel tubo verde in basso escono i 2/5 di a litri. Ossia 2/5 ∙ a litri. Analogamente se il tubo in alto porta 3/5 di litro nel tubo verde in basso escono i 2/5 di 3/5 di litri. Ossia 2/5 ∙ 3/5 litri … se si percorre il ramo in alto con probabilità 3/5, si percorre quello verde in basso con probabilità 2/5 ∙ 3/5.

Urna con cinque palline - reimmissione estrazione 1 estrazione 2 Confrontiamo i due modelli Ad ogni cammino sull’albero corrisponde una cella della tabella contratta.

Urna con tre palline - senza reimmissione un'urna contiene una pallina Rossa, una Verde e una Nera qual è la probabilità di estrarre una pallina Rossa e una pallina Nera, senza reimmissione

Urna con tre palline - senza reimmissione 2° estrazione R V N RV RN VR VN NR NV 1° estrazione casi favorevoli (se non conta ordine): 2  casi favorevoli/casi possibili = 2/6=1/3   casi favorevoli (se conta ordine): 1  casi favorevoli/casi possibili = 1/6

Urna con cinque palline - senza reimmissione In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono rosse e 2 blu. Viene estratta in modo casuale una pallina alla volta e non viene più reinserita nell’urna. Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda sia blu?

x x Urna con cinque palline - senza reimmissione La tabella seconda estrazione B2   x B1 R3 R2 x  R1 prima estrazione alcune celle non intervengono! La probabilità dell’evento “R e B” è:

Urna con cinque palline - senza reimmissione estrazione 1 estrazione 2 Il grafo ad albero 3/5 1/2 3/4 2/5 1/4 cambiano le probabilità della seconda estrazione! p(R e B) = Si moltiplicano ancora le probabilità? Vale ancora P(R e B) = P(R) * P(B)? ancora il prodotto delle probabilità… ma con attenzione …

Urna – confronto con e senza reimmissione con reimmissione senza reimmissione 3/5 2/5 estrazione 1 estrazione 2 3/5 1/2 3/4 2/5 1/4 p(R e B) = p(R e B) =

Facciamo il punto Due eventi si dicono indipendenti se e soltanto se Modelli urna con reimmissione indipendenza urna senza reimmissione dipendenza “Legge della moltiplicazione” Dati due eventi A, B, la probabilità dell’evento A ∩ B è uguale al prodotto della probabilità dell’evento A per la probabilità di B valutata nell’ipotesi che A si sia verificato. sia per eventi indipendenti che dipendenti