LA PROBABILITA’ DESTINATARI: alunni della seconda classe della scuola media di II° grado TEMPO PREVISTO: 5 ore + 1 ora di verifica + 1 ora di recupero Studiare la probabilità e’ un’occasione per dare la possibilità agli alunni di crescere con una mentalità non rigida e dogmatica, ma, anzi, flessibile e aperta alla considerazione del contesto entro cui si verificano i fatti. Mariangela Ventura

Obiettivi di apprendimento Riconoscere coppie di eventi complementari, incompatibili ed indipendenti In situazioni aleatorie, individuare gli eventi elementari, assegnare a essi una probabilità, calcolare la probabilità di qualche evento, scomponendelo in eventi elementari disgiunti. Mariangela Ventura

Standard di apprendimento conoscenze I concetti di probabilità classica, frequenti sta e soggettiva La legge dei grandi numeri Il concetto di evento aleatorio composto e di eventi aleatori indipendenti e dipendenti Il concetto di eventi aleatori compatibili ed incompatibili Mariangela Ventura

Standard di apprendimento abilità Distinguere un evento semplice da uno composto ed individuare gli eventi semplici che lo costituiscono Riconoscere se tali eventi sono dipendenti ed indipendenti Calcolare la probabilità di eventi composti Individuare la scelta più opportuna tra probabilità soggettiva, frequentista e classica, comprendere quando e come utilizzare le diverse misure di probabilità far acquisire la capacità di operare con semplici proposizioni di calcolo e risolvere problemi con eventi aleatori composti avviare alla comprensione della legge dei grandi numeri, sapendola applicare Mariangela Ventura

Standard di apprendimento competenze partendo dalla valutazione qualitativa del grado di incertezza di un evento aleatorio, avere la consapevolezza che anche l’ambito del fortuito può essere analizzato razionalmente studiare, con strumenti probabilistici, alcuni problemi delle scienze sperimentali recuperare, nell’ambito della probabilità, altri concetti matematici: frazioni, percentuali, funzioni, logica. di congetturare il risultato, indovinando l’esito delle prove aleatorie, ed essere in grado di spiegare perché certe cose accadono “più facilmente” di altre Mariangela Ventura

METODOLOGIA Cooperative learning Didattica laboratoriale Problem solving Lezioni frontali PRIVILEGIARE TUTTE LE ATTIVITA’ LEGATE IL PIU’ POSSIBILE ALL’ESPERIENZA CONCRETA E ALLA VITA DELLA SCUOLA. Mariangela Ventura

PREREQUISITI Conoscere il concetto di rapporto e di percentuale Conoscere il concetto di frequenza Conoscere i concetti fondamentali di calcolo delle probabilità conoscere i concetti di eventi aleatori conoscere le nozioni fondamentali di insiemistica e di logica saper calcolare la probabilità di eventi elementari saper distinguere gli eventi casuali in certi, probabili ed impossibili saper calcolare l’unione e l’intersezione di insiemi Saper realizzare tabelle a doppia entrata e grafi Realizzare previsioni di probabilità in casi semplici Mariangela Ventura

VERIFICA DEI PREREQUISITI (30 min) La verifica dei prerequisiti avverrà attraverso prove scritte con diverso grado di difficoltà: esercizi di tipo vero o falso, domande a risposta multipla, esercizi di applicazione e di completamento, strutturate in modo tale da accertare le conoscenze e le competenze indispensabili allo svolgimento dell’argomento. Mariangela Ventura

Mariangela Ventura

Esempi 1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità di estrarre: a) il fante di cuori b) un fante c) una figura 2) Lanciando un dado qual è la probabilità che esca: a) Il numero 6 b) Un numero dispari c) Un numero pari 3) A una lotteria con 120 biglietti quanti ne devi comperare per avere probabilità 1/5 di vincere un premio in palio, nell’ipotesi che vengano venduti tutti? Mariangela Ventura

Fase 1 Richiamo degli argomenti precedentemente studiati ( 30 min) Discussione sulle conoscenze degli allievi sull’argomento da trattare ( brainstorming ) Mariangela Ventura

2/5 …. …. …. Bianca Rossa Nera Verde In un urna ci sono 4 palline bianche, 3 rosse, 2 nere e 1 verde. Completa il grafo mettendo al posto dei puntini le probabilità di ciascun evento Bianca Rossa Nera Verde 2/5 …. …. …. Mariangela Ventura

Fase 2 La probabilità di eventi compatibili ed incompatibili La probabilità dell’evento unione (1 ora) si prospetteranno alcune situazioni legate a giochi di fortuna (sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete) ci si avvierà allo studio della probabilità dell’unione di eventi presentata prima per eventi disgiunti, poi per eventi qualunque Mariangela Ventura

Un’urna contenente palline numerate da 1 a 10… 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 9 1 4 7 2 6 5 Mariangela Ventura

qual è la probabilità che esca un numero pari o un numero maggiore di 7? Mariangela Ventura

: Casi favorevoli: 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 9 1 4 7 2 6 5 Mariangela Ventura

numero dei casi favorevoli: 7 numero dei casi possibili è : 10 La probabilità è : 7/10 Mariangela Ventura

Problema 1 A una lotteria si vendono 150 biglietti. Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi 15. Nessun altro nella loro famiglia ha acquistato biglietti. Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio? P(G)= Qual è la probabilità che lo vinca Luigi? P(L)= Qual è la probabilità che arrivi il primo premio nella loro famiglia? P(F)= Mariangela Ventura

Primo premio alla famiglia equivale a : Vince Gianni o vince Luigi Mariangela Ventura

Osserva: P(G) + P(L) = P(F) Mariangela Ventura

Problema 2 In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 all’arancia, 5 al miele. 1) Qual è la probabilità di estrarre: a) Una caramella alla ciliegia; b) Una caramella alla arancia; c) Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o all’arancia)? 2) Rappresenta la situazione completando il seguente grafo ad albero: C A M .... ... ... Mariangela Ventura

Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle Uscita di un n°<3 o >4 P2 = Uscita di un n°>4 P1=2/6=1/3 2 Uscita del n°1 Uscita del n°2 Uscita di un n°<3 Probabilità Numero dei casi favorevoli Elenco Evento Mariangela Ventura

Risoluzione A: uscita di un numero <3 Gli eventi elementari di A 1, 2 P(A)=2/6=1/3 B: uscita di un numero >4 Gli eventi elementari di B sono: 5,.6  P(B)=2/6=1/3   Mariangela Ventura

P(AÈB) Gli eventi elementari di AB sono: uscita del numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha:  P(AB)= 4/6=2/3=1/3+1/3 Mariangela Ventura

Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle Uscita di un numero primo o >3 P5 = Uscita di un n°>3 P4=3/6=1/2 3 Uscita del n°2 Uscita del n°3 Uscita del n°5 Uscita di un numero primo Probabilità Numero dei casi favorevoli Elenco Evento Mariangela Ventura

P6P4+P5 A: uscita di un numero primo B: uscita di un numero >3   B: uscita di un numero >3 AB: uscita di un numero primo o >3 Gli eventi elementari di A sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, quindi si ha: P(A)= 3/6=1/2 Sai spiegare perché non si possono sommare P4 e P5 ? Mariangela Ventura

P(B)= 3/6=1/2 P(AB)=5/61/2+1/2 Gli eventi elementari di B sono: uscita del 4, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha:   P(B)= 3/6=1/2 Gli eventi elementari di uscita AB sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, uscita del 4, uscita del 6, quindi si ha: P(AB)=5/61/2+1/2 l’evento “ uscita del numero 5” compare sia nei casi di A che nei casi di B Mariangela Ventura

P6¹P4+P5 casi AB non possono essere la somma dei rispettivi casi l’evento “uscita del numero 5” va contato solo una volta Mariangela Ventura

COME E' POSSIBILE ?????? Mariangela Ventura

eventi compatibili o non Gli eventi si dicono compatibili quando il verificarsi di uno non esclude il verificarsi dell’altro, cioè si possono verificare entrambi. In caso contrario si dicono incompatibili Mariangela Ventura

Regola se A e B sono due eventi che si “intersecano” per uno o più eventi elementari, cioè sono eventi compatibili, nel conteggio dei casi di AB occorre fare attenzione a contare una volta sola gli eventi in comune.            Mariangela Ventura

Proprietà della probabilità: P(AÈB)= P(A)+ P(B) se AÇB = F Se due eventi A, B sono incompatibili, la probabilità dell’evento unione è la somma della loro probabilità. P(AÈB)= P(A)+ P(B)P(AÇB) Se due eventi A, B sono compatibili, la probabilità dell’evento unione è la somma della loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione. Mariangela Ventura

Esercizi: Giochiamo con le carte In un mazzo di 40 carte qual è la possibilità di estrarre una carta di fiori o di cuori? 10/40 + 10/40 =20/40 Mariangela Ventura

Giochiamo con i dadi Che probabilità abbiamo che esca 5 con 2 dadi? 4/ 36 cioè 1/9 Mariangela Ventura

Fase 3 La probabilità composta e gli eventi dipendenti ed indipendenti (1 ora) Si partirà con degli esempi pratici per poter introdurre la probabilità composta, Mariangela Ventura

Un’urna contenente palline numerate da 1 a 10… 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 9 1 4 7 2 6 5 Mariangela Ventura

qual è la probabilità che esca un numero pari e un numero maggiore di 7? Mariangela Ventura

: Casi favorevoli: 3 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 10 10 10 10 10 10 9 1 4 7 2 6 5 Mariangela Ventura

numero dei casi favorevoli: 2 numero dei casi possibili è : 10 La probabilità è : 2/10 Mariangela Ventura

Monete Quale probabilità abbiamo che per due volte di seguito esca “testa” ? Mariangela Ventura

Lancio di una moneta T C TT TC CT CC Nel lancio di una moneta i risultati possibili sono:Testa o Croce. 1)Lanciando due volte la stessa moneta elenca ogni possibile risultato (si tratta di coppie) e calcolane la probabilità. T C TT TC CT CC Mariangela Ventura

Possiamo illustrare la situazione con un grafo: 1/2 1/2 T C 1/2 T C T C TT TC CT CC Mariangela Ventura

Esempio Un commerciante ha acquistato una cassa di bicchieri. All’apertura della cassa trova che i 3/10 sono difettosi; che 1/3 dei difettosi sono rotti, gli altri sono incrinati. a) Quale frazione rappresenta i bicchieri non difettosi? b) Quale i bicchieri rotti ? c) Quale quelli incrinati? Mariangela Ventura

il grafo ad albero. … Rott. Incr. … Df Non dif 3/10 1/3 Mariangela Ventura

Scheda In un’urna ci sono 5 palline rosse e 3 nere. Si estrae a caso una pallina e poi, senza rimetterla dentro, se ne estrae una seconda. 1)Completa il grafo 2)Calcola la probabilità di RN;NR;NN. ..... ....... R N Mariangela Ventura

Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo: Spiegazione Nella seconda estrazione bisogna distinguere due casi, a seconda che nella prima sia uscita una pallina rossa o nera, in quanto nell’urna c’è una pallina in meno. Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo: 5/8 3/8 R N 4/7 3/7 R N RR RN ... ... R N NR NN Mariangela Ventura

Se si vuole calcolare la probabilità dell’evento elementare RR si può ragionare così: se la prima pallina estratta è rossa con probabilità 5/8, cioè nei 5/8 dei casi, e si pesca una seconda pallina rossa con probabilità 4/7, quindi avere due palline rosse significa averle pescate in 4/7 dei 5/8 dei casi ,con probabilità: 4 5 — — = 7 8   Mariangela Ventura

Reimbussolamento ? Nell’esempio appena visto si parla di estrazione “senza reimbussolamento” perché la pallina una volta estratta non viene messa nell’urna. Si può pensare di rimettere la pallina estratta nell’urna e in questo caso l’estrazione si dice “con reimbussolamento”. Mariangela Ventura

La soluzione di un problema viene eseguita utilizzando un grafo ad albero a diversi piani,   le probabilità di ciascun evento sono scritte accanto a ciascun ramo del grafo: si insiste particolarmente sul significato di ogni cammino sul grafo in termini di eventi, Mariangela Ventura

La strategia di soluzione La strategia di soluzione che si è individuata, che si può dire di moltiplicazione “lungo i rami”, è molto efficace perché consente di affrontare situazioni anche abbastanza complicate   Mariangela Ventura

Probabilità eventi casuali composti Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari che possono verificarsi contemporaneamente.  due eventi A e B si dicono indipendenti se il verificarsi dell’uno non influisce sulla probabilità del verificarsi dell’ altro e si ha : P(AÇB)= P(A)P(B) Se i due eventi sono dipendenti, la probabilità dell’evento composto è data dalla probabilità del primo per la probabilità del secondo, supponendo che si sia verificato il primo Mariangela Ventura

Gioco dell’oca - un finale carico di tensione Vince colui che per primo arriva esattamente sulla casella FINE. Supponiamo che debba giocare C, poi B, poi A, nell'ordine. Che probabilità ha ciascun giocatore di vincere al primo colpo? Mariangela Ventura

soluzione gioca C gioca B gioca A Mariangela Ventura

Calcoliamo la probabilità che ciascun giocatore ha di vincere al primo colpo: 1 36 Probabilità maggiore Mariangela Ventura

Esercitazione individuali http://progettomatematica.dm.unibo.it/ProbElem/12esercizi.html http://digilander.libero.it/selamal/TEST%20PROBABILITA.htm Mariangela Ventura

Fase 4 Probabilità frequentista, soggettiva e la legge dei grandi numeri ( 1 ora) La lezione partirà introducendo casi in cui non è possibile applicare il calcolo della probabilità classica Mariangela Ventura

Domenica gioca la juve contro il lecce: Qual è la probabilità che vinca la Juve?????????? Mariangela Ventura

In Italia è stato scoperto un nuovo farmaco per curare il raffredore, qual è la probabilità di guarigione? Mariangela Ventura

Osservazioni    non è più applicabile la definizione di probabilità data come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili!!   Nel primo caso la probabilità di tali eventi può essere valutata piuttosto in una visione frequentista, verificando la validità del farmaco tanto volte Nel secondo caso In una scommessa in una partita di calcio si assegna un valore maggiore di probabilità verso una squadra piuttosto che un’altra perché si da una maggiore fiducia,… la probabilità soggettiva è il grado di fiducia che una persona ha nel verificarsi dell’evento in questione. Mariangela Ventura

la probabilità è la misura dell’incertezza, impossibilità di fare numerose prove, importante intuito i casi tutti ugualmente possibili allora si usa quella classica i casi non sono tutti ugualmente possibili e si possono eseguire numerose prove SOGGETTIVA CLASSICA FREQUENTISTA Mariangela Ventura

Prove ripetute Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata molte volte, ad esempio,10.000 volte, quante volte ci aspettiamo di avere testa? L’intuizione ci suggerisce di aspettarci che la frequenza relativa dell’evento considerato (cioè il rapporto tra il numero di uscita testa e il numero dei lanci) si avvicini alla probabilità, cioè un mezzo. E’ corretto attendersi questo? E’ corretto attendersi che la frequenza, dopo un numero elevato di prove sia esattamente un mezzo? Cosa significa dire che la frequenza “si avvicina” ad un mezzo? Mariangela Ventura

FREQUENZE E PROBABILITÀ (legge empirica dei grandi numeri) ♠ ♣ ♥ ♦ sottoponendo un evento casuale ad un numero grande di prove, sempre nelle stesse condizioni, la frequenza relativa si approssima sempre di più alla probabilità dell’evento stesso. Con l’aumentare del numero di prove tale approssimazione tende a coincidere con la probabilità matematica a priori. Mariangela Ventura

Fase 5 La storia della probabilità ( 30 min) Il calcolo delle probabilità nasce nel Seicento per risolvere alcuni problemi sui giochi d’azzardo (dadi) posti da un giocatore, il cavaliere de Méré al matematico e filosofo B. Pascal ” L'uscita di un 6 lanciando quattro dadi dovrebbe avere la stessa probabilità di avere almeno una coppia di 6 lanciando per 24 volte una coppia di dadi. Come mai il primo evento sembra verificarsi invece con maggiore frequenza del secondo?" Mariangela Ventura

L’errore di Leibniz Gottfried Wilhelm Leibniz uno degli scienziati più famosi del suo tempo (e anche di oggi!) , riguardo alla probabilità nel lancio di due dadi, scrisse: “… lanciando due dadi, ad esempio, il 12 e l’11 compaiono con la stessa frequenza; infatti ciascuno dei due numeri si può ottenere in un unico modo. Il 7 invece si presenta con una frequenza tripla rispetto al 12; …” Mariangela Ventura

Fase 6: Applicazione della Probabilità alla Genetica ( 30 min) il carattere”colore degli occhi” e indichiamo con “A” il gene responsabile del colore scuro e con “a” il gene responsabile del colore chiaro. Il gene A è dominante quello a è recessivo Mariangela Ventura

Tabelle Completa le tabelle e indica i caratteri che possono avere i figli e le relative probabilità Aa Aa a A a A Aa aa AA a A aa Mariangela Ventura

la trasmissione “colore degli occhi” madre padre ½ 1/2 ½ 1/2 A a a a Aa Aa aa aa Gli eventi elementari possibili sono: Aa, Aa, aa, aa, la probabilità per ciascun evento elementare di 1/21/2=1/4 la probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri (Aa) la probabilità 1/2 occhi chiari(aa). Mariangela Ventura

Domanda Dai genitori : Aa, Aa, in una famiglia di 4 figli, 3 saranno sicuramente con occhi scuri e 1 con occhi chiari? Mariangela Ventura

Fase della verifica e della valutazione. ( 1 ora) Verifica sommativa Verifica formativa test strutturati (come: item vero/falso, a scelta multipla) test semistrutturati (come: item a completamento, item a risposta aperta,). Mariangela Ventura

MEZZI E STRUMENTI · Lavagna interattiva multimediale o lavagna tradizionale + proiettore · Attività di laboratorio, necessaria per meglio fissare i concetti teorici e suscitare l’interesse dei ragazzi. ·Libro di testo Mariangela Ventura

THE END.... Mariangela Ventura