Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) L’incertezza rappresenta in generale un dubbio. Il dubbio circa la validità del risultato di una misurazione viene espresso mediante l’incertezza di misura. Incertezza di misura Parametro, associato al risultato di una misurazione, che ne caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando. Il parametro può essere uno scarto tipo o la semiampiezza di un intervallo avente un livello di fiducia stabilito. L’incertezza di misura, in generale, dipende da più componenti. Talune possono essere valutate dalla distribuzione statistica dei risultati di serie di misurazioni, altre sono valutate da distribuzioni di probabilità ipotizzate.

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Il problema dell’espressione dell’incertezza venne posto nel 1977 dal Comitato Internazionale dei Pesi e delle Misure (CIPM). L’Ufficio Internazionale dei Pesi e delle Misure (BIPM) produsse quindi nel 1980 la raccomandazione INC-1 intitolata Espressione delle incertezze sperimentali. Norma UNI CEI 9 “Guida all’espressione dell’incertezza di misura” (ISO Guide to the expression of uncertainty in measurement –1995). http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_E.pdf La norma stabilisce le regole generali per la valutazione e l’espressione dell’incertezza di misura.

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Il metodo ideale per la valutazione dell’incertezza del risultato di una misurazione deve essere: Universale: il metodo deve essere applicabile a tutti i tipi di misurazione e di dati in ingresso. Internamente coerente: l’incertezza deve essere direttamente derivabile dalle componenti che vi contribuiscono, indipendentemente dal modo in cui queste vengono raggruppate. Trasferibile: l’incertezza valutata per un risultato deve essere direttamente utilizzabile come componente nella valutazione dell’incertezza di un’altra misurazione nella quale intervenga il primo risultato.

Incertezze di tipo A e di tipo B Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) L’incertezza del risultato di una misurazione consiste in genere in svariate componenti che possono essere raggruppate in due categorie a seconda del modo in cui se ne stima il valore numerico: quelle valutate per mezzo di metodi statistici; quelle valutate mediante altri metodi. ……. Incertezze di tipo A e di tipo B 2) Le componenti appartenenti alla categoria A sono caratterizzate dalle loro varianze stimate si2 …….. 3) Le componenti appartenenti alla categoria B devono essere caratterizzate da grandezze uj2, interpretabili come approssimazioni delle varianze corrispondenti …….. L’incertezza deve essere espressa mediante lo scarto tipo 4) L’incertezza composta deve essere caratterizzata mediante il valore numerico che si ottiene applicando il metodo abituale per la composizione delle varianze….. Definizione di incertezza composta 5) Qualora sia necessario, moltiplicare l’incertezza composta per un fattore, così da ottenere un’incertezza globale, il fattore moltiplicativo deve essere indicato. Definizione di incertezza estesa ?

Argomento: Incertezza di misura Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Argomento: Incertezza di misura Obiettivo: definizione e calcolo dell’incertezza di misura Prerequisiti culturali: piano cartesiano, calcolo alle differenze; Ausili didattici allo svolgimento della lezione: SW per il tracciamento di grafici (Matlab?).

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Un’incertezza tipo di categoria A è ottenuta da una densità di probabilità derivata da una distribuzione di frequenza osservata. var(x) ans =25.0570 sqrt(var(x)) ans =5.0057 La varianza stimata u2 sarà in questo caso la varianza stimata statisticamente s2, lo scarto tipo stimato u è dunque u=s. vx=0; >> for i=1:10000, vx=vx+(x(i)-mean(x))^2; end >> vx=vx/9999 vx =25.0570

2) Passiamo ad introdurre l’istogramma (con Matlab) Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) 1) Dobbiamo introdurre il concetto di probabilità (usando esempi di chiara comprensione…….). 2) Passiamo ad introdurre l’istogramma (con Matlab) 3) Introduciamo la pdf attraverso l’estensione del concetto di incremento finito per intuire il concetto di variazione infinitesima. 4) Ci è possibile a questo punto introdurre il concetto di probabilità come area. 5) Introduciamo il concetto di media sperimentale 6) Introduciamo il concetto di varianza sperimentale e di deviazione standard sperimentale

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Un’incertezza tipo di categoria B è ottenuta da una densità di probabilità ipotizzata sulla base del grado di credenza del verificarsi di un evento (cfr i data sheet che abbiamo già mostrato. a -a 0.5/a E’ possibile arrivare a questo risultato attraverso un processo di somme finite! La varianza stimata u2 sarà in questo caso calcolata in base alle informazioni disponibili, lo scarto tipo stimato u è u=s.

Valutazione dell’incertezza tipo Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Valutazione dell’incertezza tipo Modello della misurazione Un misurando Y viene in genere determinato mediante altre N grandezze X1,X2,…,Xn, utilizzando una relazione funzionale f: Y=f (X1,X2,…,Xn) La funzione f potrebbe anche ridursi alla funzione identità essere talmente complicata da non essere esprimibile in forma analitica. I valori delle grandezze X1,X2,…,Xn e le rispettive incertezze possono provenire da misurazioni dirette (cfr. Incertezza di categoria A), o possono essere introdotte da fonti esterne (cfr. incertezze di categoria B).

Modello della misurazione Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) E per la nostra classe? Modello della misurazione Esempio….. Un misurando Y viene in genere determinato mediante altre N grandezze X1,X2,…,Xn, utilizzando una relazione funzionale f: Y=f (X1,X2,…,Xn)

Valutazione dell’incertezza tipo Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Valutazione dell’incertezza tipo Valutazione di categoria A dell’incertezza tipo Date n osservazioni Xi,k della grandezza d’ingresso Xi, la migliore stima del valore atteso è la media aritmetica o valore medio La varianza sperimentale delle osservazioni è: N.B.: Se si utilizza nel modello della misurazione il valore medio occorre utilizzare la stima della varianza di tale valore: Tale quantità e la sua radice quadrata positiva vengono spesso chiamati varianza di categoria A-u2(xi) - e incertezza tipo di categoria A - u(xi).

Valutazione di categoria A dell’incertezza tipo Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) E per la nostra classe? Valutazione di categoria A dell’incertezza tipo Usiamo Matlab e vediamo che succede della media se aumentiamo la numerosità della popolazione….. Due grafici dovrebbero bastarci (uno per la popolazione e uno per la media)….io userei una grandezza nota alla classe

Valutazione dell’incertezza tipo Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Valutazione dell’incertezza tipo Valutazione di categoria B dell’incertezza tipo Per grandezza d’ingresso Xi che non è stata stimata mediante osservazioni ripetute, la varianza stimata u2(xi) e l’incertezza tipo u(xi) devono essere valutate per mezzo delle informazioni disponibili e ritenute attendibili: dati di misurazioni precedenti; esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà dei materiali e strumenti d’interesse; specifiche tecniche del costruttore; dati forniti in certificati di taratura o altri; incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali u2(xi) e u(xi), valutate in questo modo vengono spesso chiamate varianza di categoria B e incertezza tipo di categoria B.

Valutazione dell’incertezza tipo Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Valutazione dell’incertezza tipo Un paio di osservazioni (e qualche esempio) Una stima di categoria B dell’incertezza tipo può risultare più attendibile di una stima di categoria A della stessa incertezza. Ciò può accadere quando la stima di categoria A è basata su un numero troppo limitato di osservazioni indipendenti del misurando. E’ possibile imbattersi in dichiarazioni di incertezza che fanno riferimento a un fissato livello di fiducia. In tale caso l’incertezza tipo può essere stimata soltanto se si suppone nota anche la funzione di distribuzione associata. ESEMPIO 1: Un resistore campione ha un valore di esistenza pari a 10,000742 W  129 mW, dove l’incertezza dichiarata individua un intervallo di fiducia del 99 %’. Supponendo che la distribuzione sia normale si può assumere le l’incertezza tipo del resistore sia u(Rs)=(129 mW)/2,58=50mW. ESEMPIO 2: Abbiamo già visto che, nel caso di una distribuzione rettangolare simmetrica di semi-ampiezza a, la varianza vale u2(xi)=a2/3.

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta L’incertezza tipo composta rappresenta lo scarto tipo stimato associato con la stima del risultato della misurazione y ed è indicato con uc(y). La relazione che lega l’incertezza tipo degli ingressi u(xi) con l’incertezza tipo dell’uscita uc(y) è data dalla legge di propagazione dell’incertezza (da non confondere con la ‘legge di propagazione degli errori!).

Grandezze d’ingresso non correlate Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso non correlate Due variabili casuali sono statisticamente indipendenti o non correlate se la distribuzione di probabilità congiunta è uguale al prodotto delle due distribuzioni marginali L’incertezza tipo composta è la radice quadrata positiva della varianza composta: L’incertezza tipo composta caratterizza la dispersione dei valori ragionevolmente attribuibili al misurando Y. Ciascuna u(xi) è un’incertezza tipo valutata come incertezza di categoria A o come incertezza di categoria B.

Il valore atteso E[ ]del prodotto misto è nullo per le ipotesi fatte. Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso non correlate Infatti…. Sviluppando in serie di Taylor la funzione f(.) attorno ai valori attesi E(xi)=mi delle xi, e trascurando i termini di ordine superiore, si ha: u2c(y) u2(xi) Il valore atteso dei quadrati degli scostamenti rispetto ai valori medi indicati sono proprio le varianze sy2 e si2; Il valore atteso E[ ]del prodotto misto è nullo per le ipotesi fatte.

La legge di propagazione dell’incertezza può essere espressa come: Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso non correlate La legge di propagazione dell’incertezza può essere espressa come: I termini ci (pari alle derivate parziali della funzione f(.) rispetto alle variabili xi) vengono detti coefficienti di sensibilità. Essi descrivono come la stima dell’uscita y varia al variare delle stime degli ingressi. I coefficienti ci possono essere calcolati anche sperimentalmente - senza ricorrere alla conoscenza della funzione f(.). Si varia una variabile xi di una quantità opportuna e si misura la variazione prodotta sull’uscita y.

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso non correlate ESEMPIO: si vuole calcolare la potenza a radiofrequenza incidente su un resistore campione (metodo bolometrico). Esistono resistenze in grado di permettere misure fino a frequenze dell’ordine di 70 GHz. Infatti, in assenza e in presenza dell’irraggiamento la resistenza si porterà a due temperature diverse e quindi la potenza assorbita varierà in modo corrispondente.

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso non correlate La determinazione dell’incertezza composta richiede la determinazione dei coefficienti ci:

L’incertezza composta del valore attribuito alla potenza sarà: Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso non correlate L’incertezza composta del valore attribuito alla potenza sarà:

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso correlate L’incertezza tipo composta nel caso di grandezze correlate (o dipendenti) è ancora la radice quadrata positiva della varianza composta, questa tuttavia assume la forma: Infatti, in questo caso non è più lecito supporre che sia nullo il valore della covarianza tra le variabili xi e xj, ovvero il valore E[ ].

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso correlate La covarianza associata alle variabili xi e xj è un’espressione quantitativa della loro dipendenza mutua ed è definita come: La covarianza stimata u(Xi,Xj)=u(Xj,Xi) si ottiene da n coppie indipendenti di osservazioni simultanee delle due variabili come:

Si utilizza spesso il coefficiente di correlazione Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso correlate Si utilizza spesso il coefficiente di correlazione Esso è compreso nell’intervallo [-1,1] ed è nullo se le variabili sono indipendenti. La legge di propagazione dell’incertezza diventa allora: Nel caso specialissimo in cui tutti gli ingressi sono correlati con coefficiente di correlazione r(xi,xj)=±1 la legge di propagazione dell’incertezza assume la forma:

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza tipo composta Grandezze d’ingresso correlate Anche per la covarianza è possibile avere una valutazione di categoria A o di categoria B. A) Se due variabili di ingresso Xi e Xj vengono stimate calcolando le medie, allora una stima di categoria A della covarianza delle medie è: B) Se si utilizzano le informazioni disponibili sulla variabilità correlata delle grandezze di ingresso Xi e Xj si ottiene usa stima di categoria B delle della covarianza delle due variabili.

Parte I (introduzione) Determinazione dell’incertezza estesa L’incertezza tipo composta può essere utilizzata universalmente per esprimere l’incertezza di misura; in talune applicazioni commerciali, industriali e normative, e là dove sono coinvolte la sicurezza e la salute pubblica, è sovente necessario dare una valutazione quantitativa dell’incertezza che definisca un intervallo intorno al risultato della misurazione che ci si aspetti comprendere una gran parte della distribuzione di valori che possono essere ragionevolmente attribuiti al misurando.

Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) E per la nostra classe? Ci salva la norma! “……I coefficienti ci possono essere calcolati anche sperimentalmente - senza ricorrere alla conoscenza della funzione f(.). Si varia una variabile xi di una quantità opportuna e si misura la variazione prodotta sull’uscita y.”

Determinazione dell’incertezza estesa Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza estesa Se consideriamo una distribuzione gaussiana otteniamo che gli intervalli scelti sono legati ai livelli di confidenza secondo la figura riportata: Se, tuttavia consideriamo una distribuzione rettangolare il livello di confidenza associato all’intervallo [(m-s),( m+s)] è pari a

Determinazione dell’incertezza estesa Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza estesa La valutazione quantitativa supplementare dell’incertezza che fornisce un tale intervallo è denominata incertezza estesa U. L’incertezza estesa U viene ottenuta moltiplicando l’incertezza tipo campione per un fattore di copertura k Il valore del fattore di copertura dipende dalla porzione p della distribuzione di probabilità che si vuole includere (ovvero dalla probabilità p che il valore del misurando cada in tale intervallo). Il parametro p viene detto probabilità di copertura o livello di fiducia. In generale k è nel campo tra 2 e 3.

Determinazione dell’incertezza estesa Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza estesa Come determinare la relazione tra il livello di fiducia desiderato p e il fattore di copertura k? La norma descrive un metodo semplificato per la determinazione del fattore di copertura basato sulle seguenti osservazioni: la stima di y è ricavata da stime delle grandezze d’ingresso caratterizzate da distribuzioni ben individuate; le incertezze delle stime dei parametri d’ingresso contribuiscono equamente all’incertezza composta dell’uscita; L’approssimazione, implicita nella legge di propagazione dell’incertezza, è adeguata; L’incertezza composta è piccola.

Determinazione dell’incertezza estesa Espressione dell’incertezza di misura (UNI CEI 9) Determinazione dell’incertezza estesa In queste circostanze, grazie al Teorema del limite centrale, si può ritenere normale la distribuzione di probabilità che caratterizza il risultato della misurazione! In questo caso, frequente nella pratica, si può ritenere che k=2 fornisca un intervallo di fiducia approssimativamente del 95 per cento, k=3 fornisca un intervallo di fiducia approssimativamente del 99 per cento; L’ Appendice G della Norma UNI CEI 9 fornisce una guida completa al trattamento dei casi ribelli.