Cenni a calcolo di probabilità elementare

La probabilità che un evento possa verificarsi, nella ipotesi che siano tutti equiprobabili (senza trucchi..) si calcola con il rapporto tra il numero dei casi favorevoli a un evento e il numero totale degli eventi possibili Px = nx / ntotali Esempio : un dado a sei facce con numeri 1, 2 ,3, 4, 5, 6 eventi totali possibili = 6 eventi favorevole all’uscita di uno specifico numero :uno per numero P1 = 1/6 P2= 1/6 P3 = 1/6 P4 = 1/6 P5 = 1/6 P6 = 1/6

Contenitore con 10 palline( non visibili): 5 rosse e 5 azzurre Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ? PR = nRosse / nTotale 5 / 10 = ½ = 0.5 PA= nAzzurre/nTotale 5 / 10 = ½ = 0.5 Probabilità X = eventi favorevole a X / eventi totali possibili (X + Y) Eventi favorevoli a X (rossa= = 5 eventi favorevoli a Y (azzurra=5) eventi totali = 10

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre PR = nRosse / nTotale 2 / 10 = 1/5 = 0.2 PA= nAzzurre/nTotale 8 / 10 = 4/5 = 0.8 Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

Contenitore con 10 palline( non visibili): 2 rosse e 8 azzurre PR = nRosse / nTotale 2 / 10 = 1/5 = 0.2 PA= nAzzurre/nTotale 8 / 10 = 4/5 = 0.8 Probabilità di estrarre come prima pallina una rossa ? Una azzurra ?

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0.43 PA = 4/7 = 0.57 PR= 5/7 = 0.71 PA= 2/7 = 0.29 Si osserva evidentemente che conviene estrarre da C2

Contenitore 1 : 3 rosse, 4 azzurre Palline non visibili: da quale contenitore estrarre una pallina per avere la più grande probabilità che sia rossa ? PR= 3/7 = 0.43 PA = 4/7 = 0.57 PR= 5/11 = 0.45 PA= 6/11 = 0.55 Si osserva che, anche se con piccola differenza, conviene estrarre da C2

In un contenitore, opaco, ci sono 10 monete: sette da 100 lire, due da 50 lire , una da 20 lire È sempre certa la estrazione di una moneta è decrescente la probabilità di estrarre una determinata moneta P100 > P 50 > P20 manca la possibilità che venga estratta una moneta diversa da 100, 50, 20 PC = 10/10 = 1 massima probabilità P100 = 7/10 = 0.7 P50 = 2/10 = 0.2 P20 = Px = 0/10 = 0

Esempio: mazzo di 40 carte da gioco (4 tipi diversi) Probabilità che la prima carta scelta sia un asso ? Eventi possibili = 40 carte evento favorevole , asso(a), = 4 Pa = 4 / 40 = 0.1 Probabilità che la prima carta sia un asso di spade ? Eventi possibili = 40 carte evento favorevole , asso(s), = 1 Ps = 1 / 40 = 0..25 Probabilità che la prima carta scelta sia diversa da un asso ? Eventi possibili = 40 carte evento favorevole , diverso da asso(d) = 36 Pd = 36 / 40 = 0.9

Lancio contemporaneo di tre monete (testa/croce) Probabilità che escano insieme almeno 2 croci ? testa croce TTT CCC TCT CTC TCC CTT Eventi possibili = 6 eventi favorevoli (CC, CCC) = 3 probabilità = 3 /6 = 0.5

Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15 Numero successi (frequenza assoluta): numero di esiti positivi su totale prove :x Es.dado lanciato 60 volte : uscita 4 = 15 volte : x = 15 Frequenza relativa = numero successi / numero prove f = x / n Lanciando un dado 10000 volte, numero di volte prevedibile che esca 4 ? F = x / n = 15 / 60 = ¼ = 0.25 Lancio singolo: eventi possibili = 6 evento favorevole a 4 = 1 P3 = 1 / 6 = 0.1666 4 0.1666/ 1 = x /10000 x = 1666 È prevedibile che aumentando il numero delle prove aumenti in proporzione anche il numero degli esiti positivi in funzione della probabilità dell’evento

Legge dei grandi numeri (casuale):la frequenza con la quale si presenta un evento si avvicina al valore della sua probabilità in funzione del numero di prove: tali valori sono tanto più simili quanto maggiore è il numero delle prove eseguite Fx = Px * n Il rapporto tra il numero dei successi e il numero di prove va aumentando con il numero delle prove e il rapporto tra successi e prove si avvicina al valore della probabilità

Esemplificazione lancio di un dado, con excel e numeri casuali tra 1 e 6 Per un lancio la probabilità che esca un numero tra 1 e 6 risulta 1/6 = 0.166

Simulazione con 499 lanci: ricerca esiti e frequenza sul totale

Ricerca su totale 499 e parziale 399 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Ricerca su parziale 299 e 199 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Ricerca su parziale 99 e 1 Osservare come la frequenza si approssima alla probabilià (0.166) con l’aumentare delle prove eseguite 1, 99, 199, 299, 399, 499

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Simulazione lanci successivi , sempre 499 ricerca su totale Osservare come in ogni prova (499 lanci) cambiano le frequenze pur rimanendo sempre abbastanza simili alla probabilità (0.166)

Osservare rapporto tra numero di prove , frequenza e probabilità