Elettrostatica Mentre ci è molto familiare l’interazione gravitazionale soprattutto la forza peso, ma anche attraverso il moto ordinato dei pianeti attorno al sole Solitamente non riusciamo a percepire direttamente le interazioni elettromagnetiche ma solo attraverso gli effetti secondari da esse prodotte come la forza elastica, reazioni vincolari, forze di attrito, etc. Comunque le proprietà dell’ambra (electron) strofinata di attirare piccoli frammenti di foglie secche era nota sin dall’antichità (~600 ac) ora possiamo usare pezzi di plastica, l’astuccio di una penna a sfera si tratta di una forza intensa, sicuramente più intensa della forza peso piccoli pezzi di carta vengono sollevati Così come abbastanza familiari sono le scariche elettriche (lampi, fulmini) nell’atmosfera in occasione di temporali

La carica elettrica Le interazioni elettromagnetiche si manifestano tra cariche elettriche. Oggi sappiamo che la carica elettrica è una proprietà fondamentale dei costituenti dell’atomo La carica si misura in C (coulomb) Non è una unità fondamentale di SI Si definisce attraverso l’ampere, l’unità della corrente elettrica. 1 C è la carica che attraversa in 1 s la sezione di un conduttore percorso da una corrente di 1 A

Due tipi di cariche Gli elettroni (carica negativa q=-e) I protoni (carica positiva q=+e) I neutroni (neutri q=0) In un atomo ci sono esattamente tanti elettroni quanti protoni L’atomo è complessivamente neutro La carica non dipende dalla velocità La carica è quantizzata Ogni particella ha una carica e=1.602x10-19 C La carica elettrica si conserva Stabilità del protone (vita media 1031 anni) e dell’elettrone La carica viene conservata anche nei processi elementari Caricare un oggetto significa sottrargli o fornirgli un certo numero di elettroni I quark

Il comportamento dei materiali Conduttori Sono caratterizzati da cariche che possono muoversi in tutto il volume occupato dal materiale Materiali metallici (rame, argento, alluminio, etc. Elettroni Soluzioni Ioni positivi e negativi Gas ionizzati sia elettroni, che ioni positivi, che negativo (gas elettronegativi) Isolanti Le cariche non sono libere di muoversi all’interno del materiale Acqua pura, gas non ionizzato, materiali plastici, vetro, etc Semiconduttori Per esempio Silicio e germanio hanno una limitata conducibilità elettrica partecipano alla conduzione sia gli elettroni che le lacune (i posti lasciati liberi dagli elettroni

L’induzione elettrostatica Caricare un oggetto significa sottrargli o fornirgli un certo numero di elettroni Se si avvicina una carica ad un conduttore Le cariche mobili presenti nel conduttore saranno attratte o respinte dalla carica esterna

La forza di Coulomb k=8.988x109 Nm2/C2 eo=8.85x10-12C2/Nm2 Struttura simile alla legge di gravitazione universale Forza centrale (conservativa) Dipendenza da 1/r2 Cariche di segno opposto si attraggono Cariche dello stesso segno si respingono k=8.988x109 Nm2/C2 eo=8.85x10-12C2/Nm2

La forza elettrostatica è molto intensa Calcoliamo il rapporto tra la forza elettrostatica e la forza di gravitazione universale tra due protoni all’interno del nucleo:

Il principio di sovrapposizione Come abbiamo sempre fatto in meccanica, se sono presenti più cariche, q1, q2,q3,la forza complessiva su q sarà la somma delle forze esercitate dalle singole cariche, considerando come se ciascuna di esse agisca da sola.

Il campo elettrico Consideriamo la carica q1 nell’origine Se andiamo a mettere la carica qp, carica di prova La forza elettrostatica su di essa sarà data da Questa può essere scritta anche nella forma E si chiama campo elettrico e rappresenta la forza che subirebbe la carica unitaria (1 C) messa in quella posizione. Si preferisce definire il campo elettrico come perché la presenza di una carica finita potrebbe modificare la distribuzione delle cariche Attenzione all’operazione di limite

Il principio di sovrapposizione per il campo elettrico Quando in una regione dello spazio sono presenti n cariche elettriche, q1, q2,… qi … e qn, il campo elettrico in una qualsiasi posizione dello spazio si può calcolare applicando il principio di sovrapposizione: il campo elettrico totale è uguale alla somma vettoriale dei campi elettrici generati in quel punto da ciascuna delle cariche come se agisse da sola.

Il concetto di campo e la terza legge di Newton Come fa la forza di reazione prevista dalla terza legge di Newton ad essere istante per istante uguale all’azione? Questo va bene per le forze di contatto, perché il punto di applicazione della forza di azione è molto vicino a quello di applicazione della reazione, cosa succede quando le forze agiscono a distanza? Come i concilia la terza legge di Newton co il fatto che la velocità della luce è la velocità massima per il trasferimento delle informazioni? L’introduzione del campo da una soluzione alle risposte precedenti La forza agente su una carica posta in P sarà data dal valore delcampo in quel punto per il valore della carica. Se la carica q1viene spostata dalla sua posizione all’istante t Dopo un intervallo di tempo Dt, solo i punti interni alla sfera con centro nella carira e raggio cDt sapranno che la carica si è spostata

La rappresentazione del campo elettrico Le linee di forza: Il campo elettrico è tangente alla linea di forza in ciascuno dei suoi punti. Due linee di forza non si intersecano mai Se si intersecassero il campo elettrico nel punto di intersezione non avrebbe una direzione definita Le linee di forza nascono dalle cariche positive (o all’infinito) e muoiono su quelle negative (o all’infinito). Il numero di linee che nascono o muoiono è proporzionale alla carica. La densità di linee di forza è proporzionale all’intensità del campo elettrico. Linee di forza di una carica puntiforme negativa

Linee di forza generate da due cariche puntiformi uguali ma di segno opposto Qui la carica positiva è più vicina di quella negativa, Prevale l’effetto della carica positiva Qui le distanze delle due cariche sono comparabili Bisogna tener conto di entrambi i contributi Qui la carica negativa è più vicina di quella positiva, Prevale l’effetto della carica negativa

Linee di forza generate da due cariche puntiformi uguali Qui la carica positiva 1 è più vicina della 2, Prevale l’effetto della carica 1 1 Qui le distanze delle due cariche sono comparabili Bisogna tener conto di entrambi i contributi 2 Qui la carica positiva 2 è più vicina della 1, Prevale l’effetto della carica 2

Calcolo del campo elettrico di una distribuzione lineare di carica con il principio di sovrapposizione. R distanza di P dalla distribuzione Solo le componenti perpendicolari alla distribuzione contribuiscono Le componenti parallele si annullano per la simmetria del problema dq=ldy q

Calcolo del campo elettrico di una distribuzione lineare di carica con il principio di sovrapposizione. dq=ldy L’angolo q dipende dalla posizione del tratto dy sulla distribuzione di carica q

Calcolo del campo elettrico di una distribuzione lineare di carica con il principio di sovrapposizione. Ricapitolando

Il flusso del campo elettrico Consideriamo una superficie chiusa S immersa in un campo elettrico. consideriamo un suo elemento infinitesimo dS L’elemento di superficie dS, può essere rappresentato come un vettore con modulo: pari all’area dell’elemento selezionato, dS. direzione: perpendicolare alla superficie nel punto considerato (perpendicolare al piano tangente) verso: verso l’esterno della superficie chiusa. Si definisce flusso del campo elettrico E attraverso la superficie elementare dS la seguente quantità: Il prodotto scalare del Campo elettrico per il vettore Si definisce flusso del campo elettrico attraverso la superficie chiusa S

Stima del flusso del campo elettrico attraverso le linee di forza Carica positiva all’interno della superficie dF>0 anche il flusso totale >0 Carica negativa all’interno della superficie dF<0 anche il flusso totale <0 Il flusso è legato al numero di linee che entrano o escono dalla superficie chiusa Se la carica all’interno della superficie chiusa è nulla tante linee di forza entrano tante ne escono (F=0)

Il teorema di Gauss il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale alla carica totale presente all’interno della superficie chiusa diviso per eo.

Verifica del teorema di Gauss per una carica puntiforme Vogliamo determinare il flusso del campo elettrico, generato da una carica puntiforme, attraverso una superficie sferica il cui centro corrisponde con la posizione occupata dalla carica puntiforme. Il campo elettrico E in qualunque punto P della superficie sferica e il vettore dS, l’elemento di superficie attorno al punto P, sono paralleli Il flusso attraverso la superficie chiusa: dW è l’angolo solido con cui viene vista la superficie dS dalla carica q, in questo caso il centro della sfera.

Verifica del teorema di Gauss per una carica puntiforme Sostituendo Questo è un punto delicato Nella definizione di angolo solido, l’esponente di r è esattamente 2. Se il teorema di Gauss risulta verificato, significa che anche l’esponente di r nella legge di Coulomb è esattamente 2 Poiché anche la forza di gravitazione universale ha a stessa dipendenza da 1/r2, il teorema di Gauss è valido anche per questa forza. molte delle considerazioni che svilupperemo per la il campo elettrico si applicano anche alla forza di gravitazione universale (per es. la forza gravitazionale è nulla all’interno di un guscio sferico)

Determinazione del campo elettrico con il teorema di Gauss Carica distribuita uniformemente su una superficie sferica (guscio sferico) di raggio R. N.B. Il teorema di Gauss da solo non è in grado di determinare alcunché, sono necessarie ulteriori informazioni, per esempio quelle derivanti dalla simmetria presente nel problema. In questo caso la simmetria del problema ci dice che: Il campo elettrico in P è diretto lungo la congiungente il centro della distribuzione di carica con P L’intensità del campo elettrico sarà la stessa per tutti i punti a distanza r dal centro della distribuzione Scegliamo come superficie chiusa a cui applicare il teorema di Gauss una superficie sferica passante per P con centro coincidente con quello della distribuzione di carica (raggio r) s punto in cui si vuole determinare il campo elettrico

Determinazione del campo elettrico con il teorema di Gauss Per le osservazioni precedenti, per ogni elemento di superficie dS Il campo elettrico è parallelo a dS Il modulo del campo elettrico è lo stesso in tutti i punti della superficie sferica s punto in cui si vuole determinare il campo elettrico il guscio sferico, per i punti esterni, si comporta come se la carica q fosse puntiforme concentrata al centro della distribuzione stessa

Guscio sferico: punti interni al guscio Tutte le considerazioni fatte nel caso precedente sono tuttora valide Ora però la carica all’interno della superficie di Gauss è nulla Quindi il campo elettrico nei punti interni alla distribuzione di carica è nullo. s punto in cui si vuole determinare il campo elettrico Superficie di Gauss, raggio r. E E=0 r R

Distribuzione sferica uniforme Per i punti esterni, ci ritroviamo nelle stesse condizioni del guscio sferico: Il campo elettrico, per punti esterni alla distribuzione di carica, è uguale a quello di una carica puntiforme, pari alla carica totale, posta al centro della distribuzione r punto in cui si vuole determinare il campo elettrico

Distribuzione sferica uniforme Per i punti interni, solo la carica all’interno della superficie di Gauss va considerata I gusci esterni alla superficie di Gauss non contribuiscono al campo elettrico in P r punto in cui si vuole determinare il campo elettrico E r R

Distribuzione rettilinea uniforme La simmetria del problema in questo caso ci permette di affermare Il campo elettrico non può avere una componente parallela alla distribuzione Si creerebbe una asimmetria tra i due versi lungo la distribuzione Perciò giace nel piano perpendicolare alla distribuzione rettilinea di carica Nel piano perpendicolare è diretto radialmente tutti i punti equidistanti dalla distribuzione devono avere la stessa intensità del campo Il campo elettrico non può dipendere dalla coordinata lungo la distribuzione di carica Usiamo come superficie di Gauss una superficie cilindrica Concentrica con la distribuzione di carica Passante per il punto in cui si vuole calcolare il campo (raggio r) Di altezza arbitraria h Sulle basi il flusso è nullo (E perpendicolare a dS) Sulla superficie laterale (E parallelo a dS, E costante) l h r

Distribuzione piana In questo caso la simmetria del problema ci consente di affermare Il campo elettrico non può avere alcuna componente parallela alla distribuzione Perciò è diretto lungo la perpendicolare alla distribuzione piana L’intensità del campo elettrico non può dipendere dalle coordinate parallele alla distribuzione, ma, eventualmente, solo dalla distanza,r, del punto P dalla distribuzione. Il campo elettrico deve essere simmetrico in punti simmetrici che si trovano da parte opposta rispetto alla distribuzione r

Distribuzione piana Si sceglie come superficie di Gauss un cilindro con l’asse perpendicolare alla distribuzione di carica di area di base arbitraria A di altezza pari a 2r, due volte la distanza del punto P dalla distribuzione simmetrico rispetto alla distribuzione Il flusso attraverso la superficie laterale è nullo E è perpendicolare a dS Sulle basi E è parallelo e concorde con dS Il campo elettrico è costante in modulo, direzione e verso in ciascuno dei due semispazi determinati dalla distribuzione di carica Il campo elettrico è simmetrico rispetto alla distribuzione di carica

Doppia distribuzione piana Consideriamo due piani paralleli carichi con densità +s e -s rispettivamente A distanza arbitraria d tra di loro Determiniamo il campo elettrico in tutti i punti dello spazio con il principio di sovrapposizione Applicando Gauss abbiamo determinato il valore del campo elettrico per ciascuna delle due distribuzioni Il campo elettrico complessivo si otterrà sommando i valori dei ottenuti quando ciascuna distribuzione agisce separatamente

Moto di cariche in un campo elettrico Consideriamo un campo elettrico uniforme realizzato mediante due distribuzioni uniformi piane di carica, diretto lungo l’asse y Consideriamo una carica q che si muove con velocità v lungo l’asse x La particella subisce una forza Supponendo q positiva la forza sarà diretta come il campo elettrico Per q negativa avrebbe avuto verso opposto Applicando la seconda legge di Newton Proiettando lungo gli assi e tenendo conto delle condizioni iniziali (xo=0, yo=0, vox=v, voy=0) Il moto è simile al moto del proiettile (traiettoria parabolica) Questa tecnica viene utilizzata per deflettere gli elettroni negli oscillografi o per deflettere gocce di inchiostro nelle stampanti a getto di inchiostro Tempo impiegato a percorrere la zona in cui è presente il campo elettrico Deflessione all’uscita dal campo elettrico