A.A STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA’ Docenti: Stefania Mignani Maurizio Brizzi

Costanti caratteristiche di un insieme valori medi misure di variabilità e concentrazione Ogni costante esprime una proprietà (statistica) dell’insieme occultandone altre.

Esempio: I voti riportati all’esame di maturità di 8 studenti sono stati i seguenti: Problema sintetizzare i dati in un unico numero indicativo delle performance del gruppo

Possibili soluzioni: il valore più piccolo 78 il valore più grande 84 la semisomma dei due (78+84)/2=81 …

Soluzione: Somma dei valori divisa per il numero di addendi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x (83+78+…+80) / 8 = 80,875 MEDIA ARITMETICA

Con la distribuzione DISTRIBUZIONI DI 1863 FAMIGLIE ITALIANE SECONDO IL NUMERO DI COMPONENTI

Con la distribuzione di frequenza. Distribuzione delle frequenze relative per un campione di dipendenti di un’azienda classificati secondo il numero di giorni di assenza dal lavoro per malattia nel mese di gennaio 1993:

Con la distribuzione per intervalli Distribuzione dei rispondenti all’Indagine sullo stato di salute percepita nelle Aziende Bologna Nord e Sud. I dati riportati in tabella sono relativi a Bologna Nord (2003)

MEDIA ARITMETICA

Proprietà della media aritmetica Identità di somma Nullità somma algebrica degli scarti Minimo

MEDIE DI ORDINE r

MEDIA QUADRATICA MEDIA ARMONICA

Media geometrica in una Si ottiene per r che tende a 0

Siano i prezzi unitari in euro di un bene in 4 tempi consecutivi Le variazioni sono: 1050/1050=1 1070/1050=1, /1070=1, /1095=1,84 La variazione media geometrica è:

Identità di prodotto: la media geometrica - in una:

Relazioni tra i valori medi (per ) M(X) è funzione non decrescente di r PROPRIETA’ DEI VALORI MEDI DI ORDINE r Proprietà di Cauchy Proprietà di Chisini

In generale, nel riassumere una pluralità di grandezze in una sola grandezza, un valor medio h deve rispettare la condizione di equivalenza (dettata da Chisini): Media è dunque il valore costante che, sostituito a ciascuno dei valori individuali, lascia inalterata la relazione funzionale espressa dalla.

Una media statistica h deve inoltre rispondere alla condizione di "internalità" (posta da Cauchy): Valor medio di più grandezze è qualunque grandezza non esterna al loro intervallo di variabilità. I valori medidi ordine r rispondono a entrambe le condizioni.

Medie lasche o di posizione: - moda - mediana - quantili insensibilità alla presenza di valori estremi anomali

Moda livello o intervallo o attributo più frequente; riferibile anche a caratteri non quantitativi e non ordinabili.

- intervalli con ampiezzacostante intervallo modale: quello a cui corrisponde il più elevato - intervalli con ampiezzavariabile intervallo modale: quello a cui corrisponde la più elevata densità di frequenza

Moda: esempio occupati (in migliaia) agricoltura 1490 industria 6494 altre attività totale Moda= “altre attività”

Indagine mensile svolta dall’ENEL sul consumo di energia elettrica (in kw/h) da parte delle famiglie italiane

Mediana valore del carattere nell'unità statistica che occupa il posto centrale nella successione ordinata degli n valori individuali; riferibile anche a caratteri non quantitativi purchè rigorosamente graduabili.

MEDIANA Una misura di tendenza centrale che non è così sensibile al valore di ciascuna misurazione è la mediana, che può essere utilizzata come misura di sintesi per dati ordinali, discreti e continui. Se una lista di osservazioni è classificata in ordine crescente, la metà dei valori sarà maggiore o uguale alla mediana, mentre l’altra metà sarà minore o uguale ad essa. Pertanto, se una serie di dati contiene un totale di n osservazioni dove n è dispari, la mediana è il valore centrale o la misurazione corrispondente a [(n+1)/2]; se n è pari, la mediana è la media dei due valori centrali, l’osservazione corrispondente a (n/2) e a [(n/2)+1].

Nell’ambito di un’indagine statisticosanitaria, ai 20 degenti di un reparto ospedaliero è stata chiesta l’età (X).

Con il protocollo Volumi espiratori forzati in un secondo in 13 adolescenti asmatici

Con la distribuzione popolazione residente in Italia, di età superiore a 6 anni, per grado di istruzione (Fonte: ISTAT, 1981) n = è pari, quindi abbiamo due posti centrali: n/2 = ° e(n/2)+1 = ° il grado di istruzione MEDIANO è la terza modalità, cioè “licenza di scuola elementare ”.

Lo scostamento semplice medio dalla mediana è un minimo fra tutti gli scostamenti semplici medi (proprietà della mediana)

Scostamento semplice medio dalla mediana: un esempio Lungo una grande via di comunicazione sono dislocate 9 aree di servizio, rispettivamente ai chilometri 0, 30, 90, 135, 180, 200, 230, 250, 270. Si vuole collocare la base di approvvigionamento in una di esse in quanto tutte dotate delle necessarie infrastrutture. A parità di altre condizioni, l'area più conveniente per rendere minima la distanza complessiva da percorrere è la mediana: l’area che occupa il posto (9+1)/2 = 5; corrisponde al km 180.

La somma delle distanze, in valore assoluto, risulta: |0-180|+|30-180|+|90-180|+|135-80|+ +| |+| |+| |+ +| |+| |=695 (Qualunque altra costante, diversa dalla mediana, dà luogo a una somma di distanze maggiore). Lo scostamento semplice medio dalla mediana è: 695/9=77,22

Lo scarto quadratico medio dalla media aritmetica è un minimo fra tutti gli scarti quadratici medi (proprietà della media aritmetica) Lo scostamento semplice medio dalla mediana è un minimo fra tutti gli (scarti in valore assoluto) scostamenti semplici medi (proprietà della mediana)

Standardizzazione di una variabile:

LA CONCENTRAZIONE