Cristallografia Morfologica Ricordare: Gruppi spaziali per la simmetria atomica Gruppi puntuali per la simmetria delle facce crist. Facce cristalline = delimitano le superfici di crescita Dipendono a) dalla forma delle “building units” e b) dalle condizioni fisiche (T, P, matrice, natura & direzioni di flusso delle soluzioni, etc.)

Cristallografia Morfologica Osservazione: La frequenza con cui è osservata una data faccia in un cristallo è proporzionale alla densità dei lattice nodes lungo quel piano

Cristallografia Morfologica Osservazione: La frequenza con cui è osservata una data faccia in un cristallo è proporzionale alla densità dei lattice nodes lungo quel piano

Cristallografia Morfologica Dato che le facce hanno relazioni direttecon la struttura interna, dovranno avere anche una relazione diretta ed angolare tra di loro

Cristallografia Morfologica Nicholas Steno (1669): Legge della costanza dell’angolo diedro Quarzo

Cristallografia Morfologica Piani differenti hanno ambienti atomici differenti A note on directional properties: H, n, thermal exp...

Cristallografia Morfologica La simmetria cristallina si conforma ai 32 gruppi puntuali  32 classi cristalline in 6 sistemi cristallini Crystal faces act just as our homework: symmetry about the center of the crystal so the point groups and the crystal classes are the same Sistema Cristallino Acentrico Centrato Triclino 1 1 Monoclino 2, 2 (= m) 2/m Ortorombico 222, 2mm 2/m 2/m 2/m Tetragonale 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m Esagonale 3, 32, 3m 3, 3 2/m 6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m Cubico 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m

Cristallografia Morfologica Assi cristallini: generalmente considerati paralleli ai bordi (intersezioni) delle principali facce cristalline a b c

Cristallografia Morfologica Assi cristallini: generalmente considerati paralleli ai bordi (intersezioni) delle principali facce cristalline Più sono le facce, migliori sono  facce del prisma & asse-c del quarzo, cubo del salgemma, etc. Dobbiamo considerare anche la simmetria: c = 6-fold nella classe esagonale Con la cristallografia ai RX possiamo determinare la struttura interna ed i parametri di cella direttamente ed accuratamente Gli assi cristallografici determinati con XRD e con il metodo delle facce molto spesso coincidono Ciò non è un caso!!

Cristallografia Morfologica Come facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo?

Cristallografia Morfologica Come facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo? Ricordarsi che le dimensioni delle facce possono variare, ma gli angoli no ! Nota: “angoli intefacciali” = gli angoli tra facce, misurati come questi

Cristallografia Morfologica Come facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo? Ricordarsi che le dimensioni delle facce possono variare, ma gli angoli no ! Quindi sono l’orientazione e gli angoli i parametri migliori per l’indicizzazione Gli indici di Miller sono il metodo accettato comunemente Utilizza le intercette relative della faccia in questione con gli assi cristallografici di riferimento

Cristallografia Morfologica Dato il seguente cristallo: Vista 2-D lungo c b a b a c

Cristallografia Morfologica Dato il seguente cristallo : a b Quali sono le facce di rifimento? Faccia a? Faccia b? Facce -a e -b?

Cristallografia Morfologica Supponiamo di avere un altro cristallo dello stesso minerale con altre due famiglie di facce: Come le referenziamo? b w x y b a a z

Scegliere una faccia di riferimento che intersechi i due assi Gli Indici di Miller usano le intercette relative delle facce con gli assi Scegliere una faccia di riferimento che intersechi i due assi Quale? x o y? b b w x x y y a a z

Sia x o y. La scelta è casuale. Sceglierne una. Quale? Sia x o y. La scelta è casuale. Sceglierne una. Supponiamo di scegliere x b a w x y z b x y a

Il metodo degli IM è molto preciso (“cook book”) a b Faccia sconosciuta (y) 1 1 Faccia di riferim. (x) 2 1 b a x y Invertire la frazione 2 1 Eliminare le frazioni 2 1 Indici di Miller della faccia y, usando x come riferimento

Qual’è l’IM della faccia di riferimento? a b Faccia sconosciuta (y) 2 1 Faccia di riferim. (x) 2 1 b a x y Invertire la frazione 2 1 Eliminare le frazioni 1 Indici di Miller della faccia di riferimento sono sempre (1 1)

Adesso scegliamo y come riferimento. Qual’è l’IM di x? a b Faccia sconosciuta (x) 2 1 Faccia di riferim. (y) 1 1 b a x y Invertire la frazione 1 2 Eliminare le frazioni 1 2 Indici di Miller della faccia x, usando y come riferimento

Qual’è la scelta corretta? 1) x = (1 1) y = (2 1) 2) x = (1 2) y = (1 1) b a x y La scelta è arbitraria Qual’è la differenza?

Qual’è la differenza? Rapporto assiale = a/b = 0.80 x y Forma cella unitaria se y = (1 1) Forma cella unitaria se x = (1 1) b b a a x b y a Rapporto assiale = a/b = 0.80 Rapporto assiale = a/b = 1.60

Un modo più semplice (?) è quello di usare la trigonometria La tecnica descritta precedentemente richiede che vengano graficate tutte le facce Un modo più semplice (?) è quello di usare la trigonometria Misura gli angoli tra le facce (diedri) b a x y b a w x y z 148o ? ? Angoli diedri 141o

Un modo più semplice (?) è quello di usare la trigonometria La tecnica descritta precedentemente richiede che vengano graficate tutte le facce Un modo più semplice (?) è quello di usare la trigonometria b a x y b a w x y z tan 39 = a/b = 0.801 tan 58 = a/b = 1.600 58o 148o 39o 141o

Quali sono gli indici di Miller di tutte le facce se scegliamo x come riferimento? Faccia Z? b a w (1 1) (2 1) z

1 Gli indici di Miller della faccia z, usando x come riferimento a b 1 Faccia sconosciuta (z) 1 ¥ Faccia di riferim. (x) 1 1 Invertire la frazione 1 ¥ b a w (1 1) (2 1) z Eliminare le frazioni 1 Indici di Miller di z usando x (o una faccia qualsiasi) come riferimento

b Potete indicizzare il resto? (1 1) (2 1) (1 0) a

b a (1 1) (2 1) (1 0) (0 1)

(1 3) 4 Indici di Miller 3-D (esempio complesso) a b c 2 2 2 1 4 3 1 2 Faccia sconosciuta (XYZ) 2 2 2 Faccia di riferim. (ABC) 1 4 3 C Invertire la frazione 1 2 4 3 Z Eliminare le frazioni (1 3) 4 Indici di Miller della faccia XYZ, usando ABC come faccia di riferimento O A X Y B a b

Demonstrate MI on cardboard cube model

We can get the a:b:c axial ratios from the chosen (111) face We can also determine the true unit cell by XRD and of course determine the a:b:c axial ratios from it If the unit face is correctly selected, the ratios should be the same If not, will be off by some multiple - i.e. picked (211) and called it (111) Best to change it Mineralogy texts listed axial ratios long before XRD We had to change some after XRD developed

Forma = un insieme di facce simmetricamente equivalenti P. graffe indicano una forma {210} b (0 1) (1 1) (1 1) (2 1) (2 1) (1 0) a (1 0) (2 1) (2 1) (1 1) (1 1) (0 1)

Forma = un insieme di facce simmetricamente equivalenti P. graffe indicano una forma {210} Molteplicità dipende dalla simmetria {100} nel monoclino, ortorombico, tetragonale, cubico

Forma = un insieme di facce simmetricamente equivalenti P. graffe indicano una forma {210} pinacoide prisma piramide bipiramide related by a mirror or a 2-fold axis related by n-fold axis or mirrors

Forma = un insieme di facce simmetricamente equivalenti P. graffe indicano una forma {210} Quarzo = 2 forme: Prisma esagonale (m = 6) Bipiramide esagonale (m = 12)

Forme cubiche includono Cubo Ottaedro Dodecaedro 111 _ __ 110 101 011 _

Insieme delle tre:

Zona Ogni gruppo di facce || ad un asse comune Uso di h k l come variabili delle intercette a, b, c (h k 0) = [001] If the MI’s of 2 non-parallel faces are added, the result = MI of a face between them & in the same zone See on cube model (100) + (010) = (110)

BUT doesn't say which face (100) Which?? (010) (110)?

BUT doesn't say which face (100) (010) (210) (110) (100) Which?? (010) (110)? (100) (010) (110) (120) Either is OK