CICLOMETRIA

Come si determina la lunghezza di una linea curva? B A Esiste un segmento L lungo come AB? A B

Lunghezza della circonferenza Esiste un segmento che misura come la circonferenza? Costruisco poligoni regolari inscritti nella circonferenza, aventi un numero di lati sempre maggiore. A TEOREMA 1 Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare inscritto, il perimetro del poligono aumenta M B C AM+MB>AB

Costruisco poligoni regolari circoscritti alla circonferenza, aventi un numero di lati sempre maggiore A TEOREMA 2 Raddoppiando il numero di lati di un poligono regolare circoscritto, il perimetro del poligono diminuisce E T D B DE < AD + AE C

TEOREMA 3 Il perimetro di un poligono inscritto in una circonferenza è sempre minore del perimetro di un poligono circoscritto

Abbiamo costruito due classi Pn : classe dei perimetri dei poligoni circoscritti pn : classe dei perimetri dei poligoni inscritti Tali classi sono separate Più è grande n più gli elementi Pn diminuiscono e gli elementi pn aumentano Esiste l’elemento che separa le due classi? ELEMENTO SEPARATORE: il più piccolo della prima classe oppure il più grande della seconda classe oppure un elemento più piccolo di tutti gli elementi della prima classe e più grande di tutti gli elementi della seconda.

Le classi sono contigue Esiste l’elemento separatore se le due classi sono contigue: presa una lunghezza ε piccola a piacere esistono un poligono inscritto di perimetro pn e un poligono circoscritto di perimetro Pn tali che | Pn – pn | < ε Dimostriamo che le due classi sono contingue:

AB= Ln lato del poligono circoscritto di n lati Dimostrazione: AB= Ln lato del poligono circoscritto di n lati A’B’=ln lato del poligono inscritto di n lati T punto di tangenza (AT=TB) Pn : pn = AO : A’O  Pn : pn = AO : OT (Pn - pn) : pn = (AO-OT) : OT (Pn - pn) : pn = 8(AO-OT) : 8OT (Pn - pn) : pn = 8(AO-OT) : P4 (perimetro del quadrato circoscritto) Poiché pn < P4 per qualsiasi n, allora (Pn - pn) < 8(AO-OT) ma AO-OT<AT , quindi (Pn - pn) < 8(AO-OT) <8AT  (Pn - pn) < 4AB  (Pn - pn) < 4 Ln Posso scegliere Ln piccolo a piacere, preso Ln< ε/4  (Pn - pn) < ε

Classi separate e contigue ammettono l’elemento separatore C non appartiene né alla prima né alla seconda classe C è più grande di tutti i poligoni inscritti e più piccolo di tutti i poligoni circoscritti Def : CIRCONFERENZA RETTIFICATA Il segmento la cui lunghezza separa le classi contigue dei perimetri dei poligoni inscritti e circoscritti.

Le circonferenze rettificate sono proporzionali ai diametri Teorema Le circonferenze rettificate sono proporzionali ai diametri Hp : C circonferenza rettificata di una circonferenza di raggio r C’ circonferenza rettificata di una circonferenza di raggio r’ Th: C:2r = C’ : 2r’ I perimetri dei poligoni inscritti sono proporzionali ai raggi pn : p’n = r :r’  se r/r’=k, allora pn = kp’n I perimetri dei poligoni circoscritti sono proporzionali ai raggi Pn : P’n = r : r’  se r/r’=k, allora Pn = kP’n p’n < C’ < P’n e kp’n < kC’ < kP’n  pn < kC’ < Pn Per def. di C pn < C < Pn Le ultime due relazioni sono vere per ogni n, perciò C=kC’ Quindi C:C’=k=r:r’

C:2r = C’:2r’ C/2r = C’ /2r’= … = π … quanto vale π ?

Area del cerchio Si costruiscono le classi delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti Esse sono separate e contigue L’elemento separatore è l’area del cerchio Si dimostra che l’area è proporzionale al quadrato del raggio A/r2 = k =…. π A= πr2

Area del settore circolare Settore circolare: parte di cerchio delimitata da due raggi. A settore che insiste sull’arco a B settore che insiste sull’arco b A:B=a:b Se B = πr2  A: πr2 = a:2πr  A = ar /2 r