CIRCONFERENZA E CERCHIO a cura di Sarah Sciamannini SMS “Luigi Valli” Narni

SOMMARIO Definizioni Angoli al centro e angoli alla circonferenza Proprietà della circonferenza Settori, segmenti e corona circolare Posizioni di una retta rispetto ad una circonferenza Posizioni reciproche di due circonferenze Poligoni inscritti e circoscritti Misura della circonferenza, del cerchio e di loro parti

DEFINIZIONI

LA CIRCONFERENZA E IL CERCHIO La CIRCONFERENZA è una linea chiusa costituita da tutti i punti del piano che hanno la stessa distanza detta RAGGIO da un punto fisso il CENTRO. Il CERCHIO è la parte di piano formata da una circonferenza e da tutti i punti interni alla circonferenza.

ELEMENTI DELLA CIRCONFERENZA L’ARCO è ciascuna delle due parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti, detti estremi dell’arco. La CORDA è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza. Il DIAMETRO è la corda massima e passa per il centro. Gli estremi di uno stesso diametro dividono la circonferenza in due parti congruenti, ciascuna delle quali si chiama SEMICIRCONFERENZA. Una semicirconferenza e il relativo diametro costituiscono il contorno di un SEMICERCHIO

ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

ANGOLI AL CENTRO V; angolo al centro che insiste sull’arco AB

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA K e J; angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco AB

RELAZIONI TRA ANGOLI AL CENTRO E ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA Y e T si dicono corrispondenti e risulta che : Y = 2T T = K

PROPRIETÀ DELLA CIRCONFERENZA

1° PROPRIETA’ DELLA CIRCONFERENZA Si ha la seguente costruzione: OBA è un triangolo isoscele perché : OB = OA = r B = A BH = HA OH è detta DISTANZA dalla corda AB dal centro O

2° PROPRIETA DELLA CIRCONFERENZA Si ha la seguente costruzione: PH = PK OHP e OKP sono rettangoli e congruenti

3° PROPRIETÀ DELLA CIRCONFERENZA b = c = d = 90° perché a = 180°

SETTORI, SEGMENTI E CORONA CIRCOLARE

SETTORE CIRCOLARE Si dice SETTORE CIRCOLARE ciascuna delle due parti di cerchio limitata da due raggi.

SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A UNA BASE ciascuna delle due parti in cui il cerchio è diviso da una corda.

SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI Si dice SEGMENTO CIRCOLARE A DUE BASI la parte di cerchio compresa tra due corde parallele.

CORONA CIRCOLARE Si dice CORONA CIRCOLARE la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche.

POSIZIONI DI UNA RETTA RISPETTO A UNA CIRCONFERENZA

RETTA ESTERNA Una retta si dice ESTERNA a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è maggiore del raggio.

RETTA TANGENTE Una retta si dice TANGENTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro della circonferenza è uguale al raggio.

RETTA SECANTE Una retta si dice SECANTE a una circonferenza se la sua distanza dal centro dalla circonferenza è minore del raggio.

POSIZIONI RECIPROCHE DI DUE CIRCONFERENZE

CIRCONFERENZE ESTERNE C e C’ non hanno punti in comune OO’ › r + r’

CIRCONFERENZE TANGENTI ESTERNAMENTE C e C’={A} OO’= r + r’

CIRCONFERENZE TANGENTI INTERNAMENTE C e C’={A} OO’= r - r’

CIRCONFERENZE SECANTI C e C’={A,B} OO’‹ r + r’

CIRCONFERENZE INTERNE C e C’non hanno punti in comune OO’ < r - r’

CIRCONFERENZE CONCENTRICHE C e C’non hanno punti in comune O ≡ O’

POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

POLIGONI INSCRITTI IN UNA CIRCONFERENZA Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza

CRITERIO DI INSCRITTIBILITÀ Un poligono è inscrittibile in una circonferenza se gli assi dei suoi lati si incontrano in un unico punto, detto circocentro, coincidente con il centro della circonferenza

POLIGONI CIRCOSCRITTI AD UNA CIRCONFERENZA Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza

CRITERIO DI CIRCOSCRITTIBILITÀ Un poligono è circoscrittibile ad una circonferenza se le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un unico punto, detto incentro, coincidente con il centro della circonferenza

MISURA DELLA CIRCONFERENZA, DEL CERCHIO E DI LORO PARTI

LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA C = 2 · π · r FORMULA INVERSA: r =

LUNGHEZZA DI UN ARCO L : α = C : 360° L = α = C= α

AREA DEL CERCHIO Ac = π · r² r =

AREA DEL SETTORE CIRCOLARE As : α = Ac : 360° As = α = Ac = α

AREA DEL SEGMENTO CIRCOLARE