L’INCERTEZZA E LE CIFRE SIGNIFICATIVE Tutte le misure sono affette da un certo grado di incertezza la cui entità può dipendere sia dall’operatore che dallo strumento utilizzato. Si definisce incertezza assoluta il margine di incertezza associato ad una misura. Se ad esempio un oggetto viene pesato con una bilancia sensibile al decimo di grammo ottenendo una massa di 8,2 g, il suo peso reale sarà 8,2 ± 0,1 g e quindi compreso tra 8,1 e 8,3. Nel caso lo stesso oggetto sia pesato con una bilancia sensibile al decimo di mg, con un risultato di 8,2506 g, il peso reale sarà 8,2506 ± 0,0001 g. Nei due esempi l’incertezza assoluta sarà rispettivamente di 0,1 g e di 0,0001 g.

Si definisce l’incertezza relativa come il rapporto: incertezza relativa = incertezza assoluta / valore della misura e quindi nel primo esempio si avrà: incertezza relativa = 0,1/8,2 = 0,012 Qual è l’incertezza relativa nel secondo esempio? incertezza relativa = 0,0001/8,2506 = 0,000012 L’incertezza relativa percentuale è semplicemente: Incertezza relativa percentuale = 100 x incertezza relativa

Cifre significative Quante sono le cifre significative negli esempi precedenti? 8,2 e 8,2506 Le cifre significative sono quelle note con certezza più la prima il cui valore è incerto, non tenendo conto della posizione della virgola. La prima misura presenta due cifre significative e la seconda cinque cifre significative ed in entrambi i casi solo l’ultima cifra è incerta a meno di una unità (± 0,1 e 0,0001). Ogni misura reale/strumentale è soggetta ad un certo grado di incertezza la cui entità può dipendere sia dallo strumento adoperato che dall’operatore.

Se la massa di un oggetto, pesato con una bilancia sensibile al decimo di grammo, è di 4,5 g, significa che il peso reale è compreso tra 4,4 e 4,6; con due cifre significative. La massa è: m = 4,5 ± 0,1 g. Se lo stesso oggetto viene pesato con una bilancia analitica sensibile al decimo di mg ed il risultato è: m = 4,5276, significa che il peso reale è compreso tra 4,5275 e 4,5277 g con 5 cifre significative. Delle cifre che esprimono la massa solo l’ultima è incerta a meno di una unità, perciò: m = 4,5276 ± 0,0001 g I valori ± 0,1 e ± 0,0001 esprimono quindi l’incertezza con la quale la misura è stata effettuata.

Si possono avere le seguenti regole: È necessario, quindi, distinguere tra cifre che hanno un significato reale/fisico, cioè cifre significative, e quelle che non sono note o non sono significative per l’incertezza nella misura. Si possono avere le seguenti regole: a) Le cifre significative di una misura sono tutte quelle i cui valori sono noti con certezza più la prima il cui valore è incerto. La posizione della virgola non ha importanza. Quante cifre significative hanno 6,54 e 65,4? b) Gli zeri tra cifre non nulle sono significativi: 4007 Kg ha quattro cifre significative; 2,06 cm ne ha…………?. c) Gli zeri a sinistra di una cifra significativa non sono significativi in quanto servono solo ad individuare l’ordine di grandezza del valore in esame; 0,08 Pa ha una cifra significativa e 0,001 A ha………?.

d) Gli zeri a destra di cifre significative e dopo la virgola sono significativi: 5,0 N ha….cifre significative; 0,0500 W ne ha……? e) Se il numero non decimale termina con uno o più zeri, essi non sono necessariamente significativi: 230 m ha due o tre cifre significative; 20300 g ne ha…? a seconda di come gli zeri vengono utilizzati per indicare l’ordine di grandezza o la incertezza della misura. Riassumendo: Sono significativi gli zeri dopo la virgola e a destra di cifre significative (gli zeri sono significativi quando si trovano (b) in mezzo a un numero o (d) alla fine di un numero a destra di una virgola decimale) mentre non lo sono gli zeri a sinistra che servono ad individuare l’ordine di grandezza della misura considerata (c).

Quali sono gli zeri significativi? 705 – 0,0304 – 0,705 – 0,5330 Quindi 7,0 come 0,70 hanno:due cifre significative mentre 0,07 ne ha:…? Esempio: Quali sono gli zeri significativi? 705 – 0,0304 – 0,705 – 0,5330 Usando i numeri esponenziali (notazione scientifica) si evita l’ambiguità del duplice impiego degli zeri; 40.700 g ha pertanto: 4,07 x104 g 3 cifre significative (40,7 kg) 4,070 x104 g 4 cifre significative (40,70 kg) 4,0700 x104 g 5 cifre significative (40,700 kg Ad esempio, che differenza c’è tra 6,0 e 6,00? Il primo numero ha due cifre significative, il secondo tre e ciò implica che la seconda misura è stata effettuata con minor incertezza.

Perché può essere scritto in ognuna delle tre forme seguenti: Come deve essere scritto il numero 1,600 ks riguardo al numero di cifre significative che possiede? Perché è ambiguo? Perché può essere scritto in ognuna delle tre forme seguenti: 1,6 x103 s 2 cifre significative (1,6 ks) 1,60 x103 s 3 cifre significative (1,60 ks) 1,600 x103 s 4 cifre significative (1,600 ks) È preferibile scrivere uno di questi tre numeri al posto di 1600, per indicare quante cifre si conoscono effettivamente. Quante cifre significative ci sono in: 2,8020 - 0,07380 - 6,50 x10-8 ?

CONCLUDENDO Le cifre significative sono il minimo numero di cifre richieste per esprimere un valore in notazione scientifica senza alcun aumento di incertezza (perdita di accuratezza). Da D.C. Harris

Come si fa a determinare realmente l’incertezza e quindi il numero delle cifre significative? L’incertezza dipende essenzialmente dallo strumento e dall’operatore.

L’ago sembra trovarsi a un valore di assorbanza di 0,346 L’ago sembra trovarsi a un valore di assorbanza di 0,346. Diciamo che ci sono tre cifre significative poiché i numeri 3 e 4 sono del tutto sicuri mentre il numero 6 è approssimato. Il valore potrebbe essere letto sia come 0,345 che come 0,347 da due persone diverse, o anche di più: 0,344 oppure 0,348 (effetto operatore per  0,002). La trasmittanza percentuale è vicina a 45. Poiché in questo punto la scala della trasmittanza è più ristretta, c’è probabilmente più incertezza nell’ultima cifra della trasmittanza. Una valutazione corretta dell’imprecisione potrebbe essere 44,7  0,2; nel numero 44,7 ci sono tre cifre significative.

Generalmente, nel leggere la scala di uno strumento o apparecchiatura, bisognerebbe interpolare tra le divisioni (tacche); tuttavia, normalmente è possibile arrotondare il valore letto al decimo più vicino della distanza tra due divisioni. Se si utilizza un righello millimetrato, si arrotonderanno le distanze al più vicino decimo di millimetro.

Quindi su una buretta da 50 ml, che è graduata a 0,1 ml, si leggerà il livello come arrotondato allo 0,01 mL più vicino.

L’uso delle cifre significative e loro applicazione reale. Quanto si legge nella buretta? 23,54 mL  quanto? Cioè quanto è l’incertezza? 0,01 ma qualche operatore con problemi di vista potrebbe mettere  0,02 o anche  0,03 L’uso delle cifre significative e loro applicazione reale. Cosa significa l’espressione “soluzione 0,0500 N”? Significa che la concentrazione della soluzione è nota esattamente fino alla quarta cifra decimale e che l’ultimo zero è l’unica cifra incerta del numero; tutti gli zeri successivi alla prima cifra significativa sono significativi, per cui in totale le cifre significative sono tre, meglio scrivere: 5,00 x10-2 N.

Cosa vuol dire scrivere “21,46 mL” oppure “21,5 mL”? Nel primo numero si hanno quattro cifre significative, di cui le prime tre sono note con certezza (2 - 1 - 4), mentre l’ultima è incerta (6  0,01). Nel secondo numero solo la prima e la seconda sono certe (2 - 1), mentre l’ultima è incerta (5  0,1), per cui ha tre cifre significative. Le due misure sono state evidentemente eseguite con due strumenti (burette, pipette etc) diversi.

Con l’espressione “matraccio tarato da 1000 mL” ci si riferisce ad un volume noto con certezza fino alla terza cifra, essendo sempre incerto l’ultimo (terzo) zero cioè la quarta cifra: 1000 mL. Se lo stesso volume viene indicato con “1 L” oppure con “1 x 103 mL”, l’incertezza è molto maggiore, una sola cifra è disponibile per la misura del volume. All’ultima cifra significativa in una quantità misurata, quando non è scritto diversamente, è sempre associata un’incertezza il cui valore minimo sarebbe  1. Esiste una convenzione circa il modo di scrivere l’ultima cifra significativa per dare una indicazione approssimativa della sua incertezza mediante l’uso di indici.

Per convenzione un numero che descrive una grandezza sperimentale scritto come 82,16 è affetto da una incertezza di 0,01 unità. Se il risultato è riportato come 82,16, la incertezza è maggiore di 0,01, cioè 0,02 o 0,03 o 0,04 ………... In questo modo si ha un’indicazione approssimativa sulla imprecisione dell’ultima cifra significativa. Adottando questa convenzione si riducono tutte le regole concernenti l’impiego delle cifre significative alla seguente: Nello scrivere un numero che rappresenta una grandezza sperimentale si usi quel numero di cifre significative che esprime nel modo più approssimato possibile l’ incertezza reale della misura, l’ultima cifra viene scritta come indice al piede se l’errore su tale cifra è maggiore di 1.

CIFRE SIGNIFICATIVE E GRAFICI Le suddivisioni di un foglio di carta millimetrata dovrebbero essere compatibili col numero di cifre significative delle coordinate. I grafici della figura seguente presentano suddivisioni differenti per rappresentare i punti (0,46; 0,72) e (1,12; 1,58), quale dei due è il più corretto?

Il grafico A non possiede suddivisioni sufficienti per poter stabilire la posizione di un’unità di 0,01. Nel grafico B ci sono linee corrispondenti ad ogni unità di 0,1, e si può calcolare facilmente la posizione di un’unità di 0,01. Normalmente, un grafico dovrebbe essere preciso almeno quanto i dati da riportare. Pertanto è buona norma usare la carta millimetrata con il maggior numero di suddivisioni reperibile; la migliore è generalmente quella con 10 linee per centimetro. Occorre poi scegliere le coordinate in modo che i dati vengano ad occupare la maggior superficie possibile di foglio.

ARROTONDAMENTO Come eseguire calcoli con dati la cui incertezza è indicata soltanto dalla convenzione sulla cifra significativa? In queste circostanze, bisogna fare assunzioni sull’incertezza di ogni numero, basate sul buon senso. L’incertezza del risultato è allora stimata usando la imprecisione espressa come deviazione standard e le relative regole di propagazione. Alla fine il risultato viene arrotondato in modo da contenere solo cifre significative. È importante non ricorrere all’arrotondamento fino a quando il calcolo non sia completato. Almeno una cifra in più dovrebbe essere trattenuta per tutto il calcolo in modo da eliminare l’errore di arrotondamento. Questa cifra extra è chiamata cifra di “guardia”. I moderni calcolatori generalmente ritengono parecchie cifre non significative e l’utilizzatore deve essere attento all’arrotondamento finale in modo da includere solo cifre significative.

Spesso è necessario ridurre le cifre in eccesso di un numero a quelle strettamente significative, effettuando un arrotondamento. → Il criterio che sta alla base dell’arrotondamento alla cifra più vicina è quello di evitare di aumentare o diminuire sistematicamente i risultati attraverso successivi errori di arrotondamento. → In media, metà degli arrotondamenti dovrebbe avvenire per eccesso e l’altra metà per difetto. → L’arrotondamento può essere anche effettuato prima di una operazione per ogni singolo termine o sul risultato finale (meglio) considerando le seguenti regole:

Se la cifra da eliminare è inferiore a 5: → il numero che la precede non varia: 9,73  0,2 = ….. Se la cifra da eliminare è superiore a 5. → il numero che la precede è aumentato di uno: 2,970,1 =….. Se la cifra da eliminare è 5 → arrotondare sempre al numero pari più vicino: 3,45  0,1 si arrotonda a: ………… 4,75  0,1 si arrotonda a: …………

Una buona indicazione da seguire quando si arrotonda un 5 è sempre quella di arrotondarlo al numero pari più vicino. In questo modo, si elimina la tendenza ad arrotondare in una direzione stabilita. In altre parole, c’è una eguale probabilità che il numero pari più vicino possa essere più basso o più alto di quello dato. Nell’arrotondamento del numero che finisce con 5, arrotondare sempre al numero pari più vicino. Bisogna sempre arrotondare i risultati di un’analisi chimica in un modo appropriato. Esempio: I seguenti risultati replicati: 61,60 - 61,46 - 61,55 - 61,61. La media di questi dati è: 61,555 e la deviazione standard è 0,0686 Quando arrotondiamo la media, dobbiamo usare 61,55 o 61,56? Si può scegliere di riportare il risultato come 61,56 ± 0,07

Quando ci sono molte cifre da eliminare quindi come si fa? Nell’arrotondare occorre considerare tutte le cifre che si trovano oltre la posizione decimale desiderata. A. → Una regola suggerisce di arrotondare una cifra dopo l’altra partendo dalla più lontana fino a quella dove cade l’incertezza. Applicando la regola precedente: 0,2347654  0,001 0,234765 0,23476 0,2348 0,235  0,001

B. → Un’altra regola suggerisce di arrotondare tenendo conto di tutte le cifre da eliminare oltre la posizione decimale desiderata e considerando se tutte le cifre sono più vicine al numero superiore o inferiore: 233,86537  0,1 233,9 perché 6537 è più vicino (>5) a 9 (cifra superiore) che a 8 (cifra inferiore). In conclusione si deve scegliere una delle due regole e usare sempre quella. Qui verrà di solito usata la regola A.

IL CALCOLO E LE CIFRE SIGNIFICATIVE Spesso nei calcoli si hanno valori con un numero diverso di cifre significative; l’incertezza di una determinata misura incide sul risultato finale in maniera diversa a seconda delle operazioni algebriche utilizzate. Nei calcoli è il termine con il minor numero di cifre significative che determina il risultato non potendo questo avere una incertezza minore del valore più incerto. Nell’addizione e nella sottrazione il numero delle cifre significative del risultato è determinato da quella dell’addendo più incerto:

Esempio: 75,24 + 54,7 = 129,94 quindi 129,9 o 130 ? Perché viene mantenuta la stessa incertezza, cioè la prima cifra dopo la virgola, anche se poi diventano quattro cifre significative. Il numero delle cifre significative nel risultato finale può essere superiore o inferiore a quella dei dati originali. Il grado dell’incertezza infatti dipende dallo strumento usato (le cifre sono misure reali) e il fatto che nell’addizione si passi dall’unità alle decine non deve alterare, anche in senso negativo, l’incertezza che rimane sulla prima cifra dopo la virgola, perché così abbiamo misurato con lo strumento. Non possiamo essere più incerti di quella che è la realtà strumentale

Calcolare l’addizione: 7,004 + 54,26 + 213,5 = ……? si esprime con un solo decimale come l’addendo 213,5; infatti le cifre significative di un numero sono tutte note più la prima incerta. Infatti, essendo nel terzo addendo incerta la prima cifra decimale, la stessa incertezza si rifletterà nel valore da attribuire alla somma che non può avere un grado di accuratezza superiore al termine meno accurato. Per eseguire la somma si possono, quindi, arrotondare gli addendi alla prima cifra dopo la virgola: 7,0 + 54,3 + 213,5 = È meglio arrotondare prima o dopo il calcolo?

È meglio arrotondare il risultato alla fine, perché effettuando l’arrotondamento sulla risposta finale (non sui risultati intermedi) si evita di accumulare gli errori di arrotondamento per cui conviene fare sempre i calcoli con almeno una cifra in più (meglio tutte quelle disponibili) ed arrotondare alla fine. Nell’addizionare o sottrarre numeri scritti in notazione scientifica, tutti i numeri dovrebbero essere prima espressi con lo stesso esponente. Ad esempio, per eseguire la seguente somma: 1,462 x105 + 5,226 x103 + 0,941 x106 = ….. Si può scrivere 1,462 x105 + 0,05226 x105 + 9,41 x105 = 10,924226 x105 La somma 10,924226 x105 si arrotonda a 10,92 x105 perché il numero 9,41 x105 ci limita a due posizioni decimali quando tutti i numeri sono espressi come multipli di 105.

Nel caso dell’addizione e della sottrazione, esprimere tutti i numeri con lo stesso esponente e allinearli secondo il punto decimale. Arrotondare il risultato secondo il numero di cifre decimali del numero che ne presenta meno. Nella divisione e nella moltiplicazione il risultato viene in genere riportato con un numero di cifre significative pari a quelle del valore che ne possiede meno di tutti. Quante cifre significative nel risultato del seguente calcolo? (1,37 X 2,671) : 0,55 = …… Il risultato è con due cifre significative, quante sono contenute nel numero meno preciso (0,55).

La stessa operazione effettuata dalla calcolatrice fornisce un risultato pari a 6,653218182: poiché la calcolatrice non può migliorare l’accuratezza dei dati originali che dipende dal metodo e dallo strumento utilizzati, è corretto usare solo due delle molte cifre fornite. Per cui nel caso di moltiplicazione e divisione il numero di cifre significative del risultato è determinato dal termine più incerto: (7,5 x 3,544) : 0,4418 = …….? L’arrotondamento può essere effettuato prima dell’operazione per ogni singolo termine o sul risultato finale. Nel caso della moltiplicazione e divisione si tende a mantenere il numero delle cifre del termine più incerto, piuttosto che la posizione dell’incertezza.