1 ESEMPIO F ~ F’’ Definizione Si chiama similitudine la trasformazione geometrica che si ottiene dal prodotto di una omotetia con una isometria, in qualunque ordine queste trasformazioni vengano applicate. Per indicare che due figure G e G’ sono simili si scrive G ~ G’ ESEMPIO Applichiamo alla figura F una omotetia di centro O e rapporto k e successivamente una simmetria di asse r. F ~ F’’ 1

Proprietà Per la similitudine valgono tutte quelle proprietà che valgono contemporaneamente per una omotetia e per una isometria, quindi, in una similitudine: il rapporto fra segmenti corrispondenti è costante ed è uguale al valore assoluto del rapporto di omotetia; esso prende il nome di rapporto di similitudine e lo indicheremo con k angoli che si corrispondono sono congruenti la figura simile a una retta è una retta se due rette sono parallele anche le loro corrispondenti lo sono e se due rette sono incidenti anche le loro corrispondenti sono incidenti allo stesso modo. Inoltre: due figure omotetiche sono anche simili (l’isometria in questo caso coincide con l’identità) due figure congruenti sono anche simili (l’omotetia ha rapporto k = 1). 2

3 Riconoscere poligoni simili Se due poligoni hanno: i lati proporzionali: gli angoli congruenti: allora sono simili. Per i triangoli esistono inoltre tre criteri di similitudine 3

4 I criteri di similitudine Teorema (I criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due angoli ordinatamente congruenti. A ≅ A’, B ≅ B’ ABC ~ A’B’C’ 4

5 I criteri di similitudine Teorema (II criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno due lati proporzionali e l’angolo fra essi compreso congruente. AB : A’B’ = AC : A’C’, A ≅ A’ ABC ~ A’B’C’ 5

6 I criteri di similitudine Teorema (III criterio di similitudine). Due triangoli sono simili se hanno i tre lati proporzionali. AB : A’B’ = AC : A’C’ = BC : B’C’ ABC ~ A’B’C’ 6

7 ESEMPIO Criteri di similitudine Da un punto M del lato AB di un triangolo ABC tracciamo la parallela al lato BC che incontra in N il lato AC; dimostriamo che i triangoli ABC e AMN sono simili. Hp. MN ║ BC Th. ABC ~ AMN Possiamo condurre la dimostrazione in diversi modi: possiamo dire che i due triangoli si corrispondono nell’omotetia di centro A e che quindi sono anche simili possiamo dire che i due triangoli hanno l’angolo di vertice A in comune ed inoltre, per il teorema di Talete, AM : AB = AN : AC; essi sono quindi simili per il secondo criterio possiamo dire che, essendo MN ║ BC, i lati dei due triangoli sono proporzionali (conseguneza del teorema di Talete) e che essi sono quindi simili per il terzo criterio possiamo dire che i due triangoli hanno due angoli ordinatamente congruenti: ANM ≅ ACB e AMN ≅ ABC perché corrispondenti e che essi sono quindi simili per il primo criterio 7

8 Proprietà dei triangoli simili Se due triangoli sono simili con rapporto di similitudine uguale a k: il rapporto fra altezze, mediane, bisettrici omologhe è uguale a k il rapporto tra i perimetri è uguale a k, cioè: il rapporto tra le aree è uguale al quadrato del rapporto di similitudine, cioè: 8

9 Corrispondenza con i teoremi di Euclide Dalla similitudine dei triangoli ABC, ABH e ACH si deduce che: in ogni triangolo rettangolo ciascun cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa in ogni triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa 9

10 Similitudine e circonferenza Relativamente ad una circonferenza e alle sue corde, secanti e tangenti, valgono le seguenti proprietà: se due corde di una circonferenza si intersecano, i segmenti di una corda sono i medi, i segmenti dell’altra corda sono gli estremi di una proporzione CP : BP = AP : DP se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano due secanti, una secante e la sua parte esterna sono i medi, l’altra secante e la sua parte esterna sono gli estremi di una proporzione PD : PB = PA : PC 10

11 Similitudine e circonferenza se da un punto esterno a una circonferenza si tracciano una secante e una tangente, il segmento di tangente è medio proporzionale fra l’intera secante e la sua parte esterna PB : PQ = PQ : PA 11

12 Similitudine e circonferenza r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD) Vale inoltre il teorema di Tolomeo: Teorema. Se un quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza, il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti del quadrilatero. r (AC, BD) r (AB, CD) + r (BC, AD) E il suo inverso: Se in un quadrilatero il rettangolo che ha per dimensioni le diagonali è equivalente alla somma dei rettangoli che hanno per lati i lati opposti, allora il quadrilatero è inscrittibile in una circonferenza. 12