1 Grandezze omogenee, commensurabili e incommensurabili Un insieme G di elementi costituisce una classe di grandezze omogenee se: due qualsiasi elementi di G sono sempre confrontabili fra loro, cioè per ogni a, b appartenenti a G è vera una sola fra le relazioni a < b, a = b, a > b si può definire in G un’operazione di addizione (che sia commutativa, associativa e che abbia elemento neutro), cioè tale che per ogni a, b appartenenti a G anche l’elemento c = a+b appartenga a G. Inoltre: Una grandezza B è multipla di una grandezza A ad essa omogenea secondo il numero naturale n>0 se B è la somma di n grandezze uguali ad A (se n=1 allora B=A) e scriviamo che B=nA. Diciamo anche che A è sottomultipla di B secondo n. 1

D L 2 Grandezze omogenee, Commensurabili e incommensurabili Due grandezze di una stessa classe si dicono commensurabili se hanno un sottomultiplo comune, incommensurabili in caso contrario. ESEMPIO DI GRANDEZZE INCOMMENSURABILI: il lato di un quadrato e la sua diagonale L D Date de grandezze omogenee P e Q fra loro commensurabili, si dice misura di P rispetto a Q il numero razionale tale che . La grandezza Q si dice unità di misura. Se P e Q sono incommensurabili la misura di P rispetto a Q è un numero irrazionale. 2

3 Grandezze proporzionali Si dice rapporto fra due grandezze omogenee A e B la misura di A rispetto a B. Il rapporto fra A e B si indica con il simbolo . Si verifica che: il rapporto fra due grandezze omogenee A e B è uguale al quoziente delle loro misure rispetto alla stessa unità; quattro grandezze A, B, C, D, di cui le prime due omogenee fra loro e le seconde due omogenee fra loro, si dicono in proporzione se il rapporto è uguale al rapporto . Per indicare che A, B, C e D sono in proporzione si scrive: oppure Proporzione continua: proporzione con i medi uguali A : B = B : C, B si dice medio proporzionale 3

4 Grandezze proporzionali La proporzionalità fra grandezze gode delle seguenti proprietà: quattro grandezze, omogenee fra loro le prime due e omogenee fra loro le seconde due, sono in proporzione se e solo se lo sono le loro misure; teorema (di unicità della quarta proporzionale). Date tre grandezze A, B, C, con A e B omogenee fra loro, esiste sempre ed è unica una quarta grandezza D, omogenea a C, che forma una proporzione con le prime tre, cioè tale che A : B = C : D. Data la proporzione a : b = c : d individuata dalle misure di quattro grandezze proporzionali si ha che: proprietà fondamentale: il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi bc = ad proprietà dell’invertire: scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione b : a = d : c 4

5 Grandezze proporzionali proprietà del permutare: scambiando fra loro i medi oppure gli estremi si ottiene ancora una proporzione a : c = b : d oppure d : b = c : a proprietà del comporre: la somma tra il primo ed il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la somma del terzo e del quarto sta al terzo (o al quarto) (a + b) : a = (c + d) : c oppure (a + b) : b = (c + d) : d proprietà dello scomporre: la differenza fra il primo ed il secondo termine sta al primo (o al secondo) come la differenza fra il terzo ed il quarto sta al terzo (o al quarto) (a − b) : a = (c − d) : c oppure (a − b) : b = (c − d) : d 5

6 Proporzionalità diretta e inversa Due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca sono: direttamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme è uguale al rapporto fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati inversamente proporzionali se il rapporto fra due grandezze del primo insieme è uguale al rapporto inverso fra le corrispondenti due del secondo per ogni coppia di elementi considerati ESEMPI: il perimetro di un quadrato è direttamente proporzionale alla lunghezza del lato la velocità di un’automobile è inversamente proporzionale al tempo impiegato a percorrere una distanza stabilita 6

7 Proporzionalità diretta e inversa Se passiamo dalle grandezze alle misure possiamo introdurre ulteriori proprietà: sei due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali, allora il rapporto fra le misure delle grandezze che si corrispondono è costante, cioè non cambia al variare della coppia scelta se i due insiemi di grandezze sono inversamente proporzionali, allora il prodotto fra le misure delle grandezze che si corrispondono è costante. Il numero che esprime il rapporto costante viene detto costante di proporzionalità diretta; analogamente il numero che esprime il prodotto costante viene detto costante di proporzionalità inversa. ESEMPI: il perimetro di un quadrato di lato 1m è 4m, quello del quadrato di lato 5m è 20m, quello del quadrato di lato 6m è 24m; il rapporto fra il perimetro p e il lato l è sempre uguale a 4: per percorrere 200km occorrono 2 ore viaggiando a 100km/h, 4 ore viaggiando a 50km/h, 10 ore viaggiando a 20km/h; il prodotto fra il tempo t e la velocità v è sempre uguale a 200: v · t = 200 7

8 Proporzionalità diretta e inversa Per stabilire se due insiemi di grandezze sono direttamente proporzionali si può applicare il criterio generale: condizione necessaria e sufficiente affinché due insiemi di grandezze in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che: a grandezze uguali del primo insieme corrispondano grandezze uguali del secondo alla somma di due o più grandezze del primo insieme corrisponda la somma delle corrispondenti grandezze del secondo. ESEMPIO: archi e angoli al centro di una circonferenza sono insiemi di grandezze proporzionali Infatti: ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti alla somma di due angoli al centro corrisponde la somma dei rispettivi archi 8

9 Proporzionalità diretta e inversa Teorema. Se quattro segmenti sono in proporzione, il rettangolo dei medi è equivalente al rettangolo degli estremi. a : b = c : d R1 R2 Vale anche l’inverso. Teorema. Se due rettangoli sono equivalenti, i lati consecutivi dell’uno sono i medi e i lati consecutivi dell’altro sono gli estremi di una proporzione. 9

Il teorema di Talete Teorema (di Talete). Un fascio di rette parallele tagliate da due trasversali determina su di esse due insiemi di segmenti direttamente proporzionali. Teorema (inverso del teorema di Talete). Date due rette r e s tali che i loro punti siano ordinati e in corrispondenza biunivoca, se: i segmenti che hanno per estremi punti corrispondenti sono proporzionali le rette che congiungono due coppie di punti corrispondenti sono parallele allora tutte le rette che congiungono coppie di punti corrispondenti sono parallele alle prime due e fra loro. Applicazione ai triangoli: una parallela ad un lato di un triangolo divide gli altri due lati in parti proporzionali viceversa, se una retta interseca due lati di un triangolo e li divide in parti proporzionali, essa è parallela al terzo lato. 10

Il teorema di Talete teorema (della bisettrice dell’angolo interno). La bisettrice di un angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. CAD ≅ DAB DB : AB = CD : CA teorema (della bisettrice dell’angolo esterno). La bisettrice di un angolo esterno di un triangolo, se non è parallela al lato opposto, incontra la retta di quest’ultimo in un punto che individua con quel lato segmenti proporzionali agli altri due lati. BAP ≅ PAR, AP non parallela a BC CP : CA = PB : BA 11

Le aree dei poligoni Dal teorema sulla misura dell’area del rettangolo e dai teoremi di equivalenza tra poligoni possiamo derivare le principali formule per il calcolo delle aree: d1 · d2 p · r poligono di semiperimetro p circoscritto a circonferenza di raggio r rombo di diagonali d1 e d2 (B + b) · h trapezio di basi b e B e altezza h b · h triangolo di base b e altezza h oppure, se p è il semiperimetro e a, b, c i lati (formula di Erone) parallelogramma di base b e altezza h l2 quadrato di lato l rettangolo di dimensioni b e h 12

13 Teoremi di Pitagora ed Euclide Riformuliamo da un punto di vista metrico alcuni teoremi sui triangoli rettangoli. Teorema di Pitagora: in ogni triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle misure dei cateti è uguale al quadrato della misura dell’ipotenusa; in simboli: c2 = a2 + b2 Primo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura di un cateto è uguale al prodotto della misura dell’ipotenusa per la misura della proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa; in simboli: a2 = c · d 13

14 Teoremi di Pitagora ed Euclide Secondo teorema di Euclide: in ogni triangolo rettangolo il quadrato della misura dell’altezza relativa all’ipotenusa è uguale al prodotto delle misure delle proiezioni dei cateti sull’ipotenusa; in simboli: h2 = d · m 14

15 Relazioni metriche Conseguenze del teorema di Pitagora: indicata con l la misura del lato di un quadrato e con d quella della sua diagonale si ha che Conseguenze del teorema di Pitagora: indicata con l la misura del lato di un triangolo equilatero e con h quella della sua altezza si ha che Analoghe relazioni valgono nei triangoli rettangoli che hanno gli angoli acuti di 45° oppure di 30° e 60° che sono rispettivamente la metà di un quadrato e la metà di un triangolo equilatero 15

Relazioni metriche indicata con r la misura del raggio di una circonferenza e con l la misura del lato del quadrato inscritto si ha che indicata con r la misura del raggio di una circonferenza, con l la misura del lato del triangolo equilatero inscritto e con h quella della sua altezza si h a: il lato dell’esagono inscritto in una circonferenza di raggio r è lungo r 16

La lunghezza della circonferenza Dall’assioma: ogni arco di circonferenza è maggiore della corda che lo sottende e minore della somma dei due segmenti di tangente condotti dagli estremi dell’arco fino al loro punto di intersezione : AB < AB < AP + PB possiamo dedurre che se consideriamo un qualunque poligono inscritto nella circonferenza e un qualunque poligono circoscritto, accade che: il perimetro p del poligono inscritto è minore della lunghezza della circonferenza il perimetro p’ del poligono circoscritto è maggiore della lunghezza della circonferenza Alla lunghezza di una circonferenza possiamo allora associare il segmento che si ottiene considerando il perimetro del poligono in essa inscritto o quello del poligono ad essa circoscritto con un numero infinito di lati; a tale segmento si dà il nome di circonferenza rettificata. Due circonferenze rettificate sono proporzionali ai rispettivi diametri. 17

Area del cerchio Analogamente si può definire l’area del cerchio come il “confine” fra le aree dei poligoni inscritti e le aree dei poligoni circoscritti al crescere del numero dei lati. Teorema. Un cerchio ha la stessa area di un triangolo che ha per base la circonferenza rettificata e per altezza un segmento congruente al raggio della circonferenza. Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e la lunghezza l dei corrispondenti archi si deduce la relazione: Dalla proporzionalità fra la misura in gradi degli angoli al centro α e l’area T dei corrispondenti settori circolari si deduce la relazione: 18