Metodo di risoluzione Per risolvere la disequazione ax2 + bx + c > 0 oppure ax2 + bx + c < 0 con a > 0: consideriamo la parabola y = ax2 + bx + c associata al trinomio al primo membro troviamo le sue intersezioni con l’asse x risolvendo l’equazione ax2 + bx + c = 0; si possono presentare i seguenti casi a seconda del valore del discriminante: Δ > 0: ci sono due intersezioni x1 e x2 con l’asse x ed il trinomio è positivo per x < x1 o x > x2 negativo per x1 < x < x2 Δ = 0: c’è una sola intersezione x1 con l’asse delle x ed il trinomio è: sempre positivo tranne per x = x1 dove si annulla Δ < 0: non ci sono intersezioni con l’asse x ed il trinomio è: sempre positivo scegliamo l’intervallo delle soluzioni a seconda del verso della disequazione: nella disequazione ax2 + bx + c > 0 ricerchiamo gli intervalli di positività nella disequazione ax2 + bx + c < 0 ricerchiamo gli intervalli di negatività.

1. Metodo di risoluzione ESEMPI Calcoliamo il discriminante e, se è positivo o nullo, troviamo le radici dell’equazione associata: Scegliamo l’intervallo delle soluzioni (stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo): Disegniamo la parabola corrispondente:

2. Metodo di risoluzione Calcoliamo il discriminante: Poiché Δ < 0, la parabola non interseca l’asse delle ascisse. II trinomio è sempre positivo e quindi, poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è negativo, la disequazione non è mai verificata:

3. Metodo di risoluzione Cambiamo i segni e il verso: Calcoliamo il discriminante: La parabola interseca l’asse x in un solo punto (corrispondente al vertice) dove assume valore zero ed è positiva in tutti gli altri punti. Poiché stiamo cercando gli intervalli in cui il trinomio è positivo (abbiamo cambiato segni e verso), la disequazione è verificata

Disequazioni frazionarie Ricordiamo che in una disequazione frazionaria non si devono mai eliminare i denominatori dei quali non si conosce il segno. Una volta scritta la disequazione nella forma oppure studiamo i segni dei fattori che si trovano al numeratore e al denominatore costruiamo la tabella dei segni deduciamo il segno finale della frazione in base alle regole sul prodotto dei segni individuiamo l’insieme delle soluzioni.

Disequazioni frazionarie ESEMPIO deve essere x ≠ 0 ∧ x ≠ 2 Il dominio della disequazione è R − {0, 2}. Studiamo il segno dei polinomi al numeratore e al denominatore: Poiché Δ < 0, la disequazione è verificata L’equazione associata ha soluzioni x = 0 ∨ x = 2, quindi la disequazione è verificata se x < 0 ∨ x > 2 continua

Disequazioni frazionarie Costruiamo la tabella dei segni: 2 R + − segno di x2 + 3 segno di x2 − 2x frazione S L’insieme delle soluzioni è quindi l’intervallo 0 < x < 2

Scomponiamo il polinomio al primo membro: Disequazioni di grado superiore al secondo Qualunque disequazione di grado superiore al secondo nella forma E(x) ≥ 0 oppure E(x) ≤ 0 si risolve scomponendo in fattori al più di secondo grado l’espressione E(x) e studiando poi il segno di ciascuno di tali fattori; se E(x) non è scomponibile, la disequazione non può essere risolta per via algebrica. ESEMPIO Scomponiamo il polinomio al primo membro: Studiamo il segno di ogni fattore del prodotto: 3 R + − segno di x2 + 1 segno di x − 3 prodotto S

S1 S2 Sistemi di disequazioni Un sistema di disequazioni è verificato nell’insieme intersezione delle soluzioni di ciascuna disequazione; conviene quindi: risolvere ciascuna disequazione costruire la tabella delle soluzioni in modo da mettere in evidenza le eventuali intersezioni. ESEMPIO Risolviamo la prima disequazione: S1 Risolviamo la seconda disequazione: S2 −1 8 R S1 S2 S Tabella delle soluzioni: Il sistema è verificato se 0 ≤ x ≤ 8