1 CORSO DI LAUREA IN FINANZA E ASSICURAZIONI Corso integrato di Statistica e Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità a cura di Maurizio Brizzi

2 2 – Variabili aleatorie

3 Operatori matematici utili: valore assoluto e parte intera Il valore assoluto |x| Il valore assoluto del numero reale x è il valore numerico di x con il segno “+”. Pertanto: | -2 | = +2, | +3,5 | = +3,5, | 0 | = 0. La parte intera [x] La parte intera di un numero reale x è il più grande numero intero che non supera x. Pertanto: - se x è intero, [x] = x. Esempi: [13] = 13; [-4] = se x è positivo non intero, [x] è il numero che si ottiene togliendo a x la parte decimale. Esempi: [5,7] = 5; [0,95] = 0. - se x è negativo non intero, [x] è il numero negativo immediatamente inferiore. Esempi: [-2,9] = -3; [0,15] = -1.

4 La nozione di variabile aleatoria Una variabile aleatoria (reale) è una funzione che associa un numero reale a ciascun evento elementare di un esperimento aleatorio. Generalmente le variabili aleatorie (il termine viene consuetamente abbreviato con la sigla v.a.), vengono indicate con lettere latine maiuscole situate nella parte finale dell’alfabeto: T, U, W, X, Y, Z. In particolare, una variabile aleatoria si dice discreta quando lo spazio degli eventi associato al corrispondente esperimento aleatorio è finito o numerabile. L’insieme dei valori che una generica v.a. discreta X può assumere con probabilità maggiore di zero, che – per quanto detto – è un insieme finito o, al più, numerabile, è detto il supporto di X. Salvo eccezioni molto particolari, le variabili discrete sono espresse da numeri interi. Una variabile aleatoria si dice continua se riferita a un esperimento che prevede un’infinità continua di risultati possibili, e ciò in genere avviene nei processi di misurazione e nelle valutazioni monetarie.

5 Esempi di variabili aleatorie discrete Il numero di esami che uno studente riuscirà a superare nei prossimi sei mesi. Il numero di punti di una squadra di calcio al termine di un campionato. Il numero di telefonate che arrivano in un giorno al mio numero di cellulare. Il numero di sedute borsistiche necessarie al raggiun-gimento di un valore di riferimento di un titolo azionario. Il numero di mensilità percepite da un pensionato fino al suo decesso. Il numero di azioni che un investitore riuscirà ad acquistare durante una sottoscrizione.

6 Esempi di variabili aleatorie continue Il valore raggiunto da un titolo al termine di una seduta borsistica. Il reddito annuo che verrà proposto in un’offerta di impiego. La distanza percorsa da un taxista durante una giornata di lavoro. Il tempo impiegato da un atleta per concludere una Maratona. Il guadagno/perdita di un investitore in un anno.

7 La funzione di ripartizione Si definisce funzione di ripartizione (in breve F.d.R.) associata alla v.a. X la funzione che, per ciascun valore reale x 0, fornisce la probabilità che la X non superi il valore x 0. Essa si può definire così: F X (x 0 ) = P { X≤ x 0 }. La funzione di ripartizione di una v.a. discreta è una funzione a gradini, con un gradino in corrispondenza di ogni punto del supporto. L’altezza del gradino equivale alla probabilità del punto corrispondente. La funzione di ripartizione di una v.a. continua è invece una funzione continua.

8 Esempio di F.d.R. Sia X una variabile aleatoria che assume i valori X=1 e X=2 con probabilità rispettivamente uguali a 1/3 e 2/3. La funzione di ripartizione corrispondente è la seguente: Si ha dunque un gradino di altezza 1/3 nel punto X=1 e un gradino di altezza 2/3 nel punto X=2.

9 Proprietà della F.d.R. Data una v.a. X (discreta o continua), la funzione di ripartizione associata F X (x) gode delle seguenti proprietà: - è definita su tutto l’asse reale - è non decrescente, per cui, dati due punti a, b con a < b vale la disuguaglianza F X (a) ≤ F X (b) - è continua a destra, per cui in ogni punto x 0 vale il limite: - si parte sempre da zero e si arriva sempre a 1, per cui valgono i due limiti:

10 Supporto e funzione di probabilità L’insieme dei valori che la v.a. discreta X può assumere (con probabilità non nulla) è detto il supporto di X. L’insieme delle probabilità dei valori dei punti del supporto costituisce la funzione di probabilità (f.d.p.), che può essere indicata per punti o mediante una funzione sintetica generale. Esempio: se considero la v.a. X “numero di teste nel lancio di due monete” (il supporto è l’insieme: { 0, 1, 2 }), posso rappresentare la f.d.p. per punti P(X=0) = ¼ ; P(X=1) = ½ ; P(X=2) = ¼ oppure mediante la funzione: P(X=x) = che equivale, punto per punto, alla descrizione precedente.

11 Mediana di una v.a. discreta Sia X una v.a. discreta. Se esiste un punto x* in cui la F.d.R. raggiunge e supera il valore ½, allora x* è il valore mediano (o più semplicemente la mediana) della v.a. X, e si indica con Me(X). Esempio Se considero il numero T di teste nel lancio di due monete, trovo: F T (0)= ¼, F T (1)= ¾, per cui nel punto T=1 si “salta” dal valore ¼ al valore ¾. Dunque si ha Me(T) = 1. Se invece esiste un punto x* nel quale la F.d.R. raggiunge il valore ½ senza superarlo, cosa che avviene nel punto successivo x** del supporto, allora si considera, per convenzione, come punto mediano la semisomma di x* e x**. Esempio Se considero il punteggio W nel lancio di un dado equo, trovo: F W (3)= ½, F W (4)=2/3, per cui la F.d.R: vale ½ nell’intero intervallo [3, 4). Per convenzione si ha Me(W) = 3,5.

12 Quantili di una v.a. discreta Nel calcolo della mediana il valore di riferimento è, evidentemente F X (x)= 1/2, e il punto ottenuto “divide in due” la distribuzione di X. Per esempio, considerando il lancio di un dado (valore mediano = 3,5) si possono distinguere due categorie di punteggi: punteggi “bassi” (1,2,3) e punteggi “alti” (4,5,6). Il procedimento può essere esteso considerando, anziché il valore centrale, il valore corrispondente a F X (x)= 1/4 (che prende il nome di primo quartile della distribuzione), o a un qualunque altro valore della F.d.R. compreso tra zero e uno. In generale, quando si considera il punto che corrisponde a F X (x)= k/100, si parla di k-esimo centile (o percentile).

13 Esempi di calcolo dei quantili In base alle previsioni degli esperti, il titolo azionario Alfa raggiungerà, al termine della settimana, la quotazione X (in euro) con le seguenti probabilità: P(X=11)=0,10 P(X=12)=0,25 P(X=13)=0,30 P(X=14)=0,20 P(X=15)=0,10 P(X=16)=0,05. - La quotazione mediana è Me(X)=13. Infatti, si ha: F X (12)= 0,10 + 0,25 = 0,35; F X (13)= 0,10 + 0,25 + 0,30 = 0,65 (nel punto X=13 la F.d.R. raggiunge e supera 1/2) - Il primo quartile è X=12. Infatti, la F.d.R. nel punto X=12 “salta” da 0,10 a 0,35 superando il valore ¼. Analogamente, si ricava che il terzo quartile è pari a Il 90° centile è il valore X=15. Infatti si ha: F X (14)=0,85 ( 90%)

14 Valore atteso e sue proprietà Sia X una v.a. discreta, definita sul supporto S con funzione di probabilità P(X=x). Si dice valore atteso di X, e si indica con E(X), la media aritmetica dei valori del supporto, ponderati con le rispettive probabilità: E(X) = Il valore atteso rappresenta l’ordine medio di grandezza della v.a. X, ed è l’equivalente probabilistico della media aritmetica. Se il supporto S è un insieme limitato, per cui esiste un valore minimo S’ e un valore massimo S’’, vale la disuguaglianza: S’ ≤ E(X) ≤ S’’. Ad esempio, truccando come si vuole un dado con le facce numerate da 1 a 6, il valore atteso sarà sempre un numero compreso tra 1 e 6.

15 Calcolo del valore atteso Sia X la quotazione del titolo Alfa dell’esempio precedente, le cui probabilità erano: P(X=11)=0,10 P(X=12)=0,25 P(X=13)=0,30 P(X=14)=0,20 P(X=15)=0,10 P(X=16)=0,05. Il valore atteso, ossia la quotazione media del titolo, è pari a: E(X) = 11·0, ·0, ·0, ·0, ·0, ·0,05 = = 1,10 + 3,00 + 3,90 + 2,80 + 1,50 + 0,80 = 13,10 ° Sia T il numero di “6” nel lancio di due dadi. I valori del supporto sono 0, 1, 2 e le rispettive probabiltà sono: P(T=0)= 25/36, P(T=1) = 10/36, P(T=2) = 1/36. Il valore atteso di T è pari a E(T) = 0+ 10/36 + 2/36= 12/36 = 1/3.

16 Variabile aleatoria trasformata Applicando una funzione g(.) alla v.a. X si ottiene una nuova v.a. g(X) che si dice trasformata della v.a. X. Sia X il valore delle azioni Alfa. Se ho acquistato 200 azioni e le spese di vendita delle azioni sono pari a 50 euro, il valore delle mie azioni al netto delle spese di vendita è dato dalla trasformata g(X) = 200 X – 50 = 50 (4X –1) Se, per esempio, si ha X=14 (ciascuna azione vale 14 euro) il capitale complessivo netto è g(14) = 2800 – 50 = Le trasformate del tipo g(X) = aX + b (a, b costanti reali) si dicono trasformate lineari. Le trasformate del tipo g(X) = aX 3 + bX 2 + cX + d si dicono invece trasformate polinomiali. Analogamente si parla di trasformate esponenziali, logaritmi- che, trigonometriche ecc.

17 Valore atteso di una trasformata Se X è una v.a. con funzione di probabilità P(X=x), il valore atteso della trasformata h(X) è ottenuto attribuendo a ciascun valore trasformati h(x) la probabilità del punto originario x: E[h(X)]= Esempio. Se possiedo 300 azioni della Società “Beta” e i costi fissi di negoziazione e di vendita sono pari a 60 euro, se X è la quotazione dell’azione, il valore medio complessivo ricavabile dalla vendita dell’intero pacchetto azionario è: E[300·X-60] = E [60·(5X-1)]=

18 Proprietà del valore atteso Il valore atteso di una costante c è pari alla stessa costante: E( c ) = c Se si cambia unità di misura, per cui si trasforma la variabile mediante un fattore moltiplicativo k, si ha: E( k · X ) = k · E(X) Operando una trasformazione lineare, il valore atteso subisce la medesima trasformazione: E( aX + b ) = a E(X) + b Esempio: il valore atteso della trasformata dell’esempio precedente è: E(300X-60) = 300 E(X) – 60 Pertanto, se è E(X) = 25 (valore medio del titolo azionario), si avrà: E(300X-60) = 300·25 – 60 = 690 (ricavato medio dalla vendita del pacchetto azionario posseduto). Esempio

19 Varianza e scarto di una v.a. discreta Se X è una v.a. con funzione di probabilità P(X=x), la varianza, indicata con V(X), è una misura di dispersione attorno al valore atteso E(X). La varianza equivale al valore atteso della trasformata E[X-E(X)] 2, ed è pertanto così calcolata: V(X) = Sviluppando il quadrato, dopo semplici passaggi si ottiene: V(X) = La radice quadrata della varianza è lo scarto della variabile X: S(X) = La

20 Proprietà della varianza e dello scarto Aggiungendo o togliendo una costante reale c, la varianza e lo scarto rimangono invariati: V(X+c) = V(X-c) = V(X); S(X+c) = S(X-c) = S(X), Moltiplicando la variabile X per una costante k, la varianza risulta moltiplicata per il quadrato di k: V(k·X) = E(k 2 ·X 2 )- [E(k·X)] 2 = k 2 · E(X 2 ) - [k· E(X)] 2 = k 2 (E(X 2 ) - E(X) 2 ) = k 2 · V(X) Lo scarto, a sua volta, risulta moltiplicato per |k| S(k·X) = [k 2 · V(X)] 1/2 = |k| S(X) In particolare, la varianza e lo scarto di –X coincidono con quelli di X: V(-X) = (-1) 2 · V(X) = V(X); S(-X) = |-1| · S(X) = S(X); Esempio. Se si considera la trasformata lineare T = 2 – 3X, si ha: V(T) = V(2-3X) = V(-3X) = (-3) 2 ·V(X) = 9·V(X); S(T) = |-3|· S(X) = 3· S(X)