Analisi delle Decisioni Funzioni di utilita’ e lotterie Chiara Mocenni Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Il processo di scelta razionale Il soggetto deve essere in grado di: Determinare l’insieme di scelta (piani, azioni); Una relazione che lega le azioni alle conseguenze; Ordinare tutte le conseguenze possibili; Selezionare l’azione migliore Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Contesti (1/3) 1. Scelta in condizioni di certezza: ad ogni azione e’ associata una ed una sola conseguenza. Nell’ambito del processo di scelta razionale questo problema diventa banale una volta che il decisore abbia definito l’insieme delle scelte ed ordinato tutte le possibili conseguenze. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Contesti (2/3) 2. Scelta in condizioni di incertezza: ad ogni azione sono associate piu’ conseguenze, in base ad una distribuzione di probabilita’ data. L’incertezza ‘e esogena. Se la probabilita’ e’ oggettiva ->> SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO Se la probabilita’ e’ soggettiva ->>SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Scelte in condizioni di incertezza PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo. L’incertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura. Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Contesti (3/3) 3. Scelta in condizioni di interazione strategica: ad ogni azione sono associate piu’ conseguenze, ma ora cio’ dipende dalle scelte effettuate da altri soggetti razionali. L’incertezza non e’ esogena. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Il processo di scelta razionale Principio della massima utilita’ attesa: Il decisore razionale massimizza la propria utilita’ attesa (oggettiva o soggettiva). Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Le basi della teoria dell’utilita’ Se restringiamo l’attenzione alle sole azioni che influenzano la quantita’ di denaro vediamo che gli agenti mostrano una preferenza monotona per il denaro. Ma non siamo ancora in grado di confrontare lotterie anche se queste coinvolgono quantita’ di denaro. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Confronto tra lotterie il valore atteso di una lotteria non può essere preso a criterio universale (valido per tutti i decisori) C’è da chiedersi cosa rappresenta il valore atteso di una lotteria in questo contesto. Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una situazione in cui la decisione (tra A e B) deve essere presa una tantum. Diverso sarebbe il discorso se si dovesse scegliere A o B sapendo di doverla poi giocare un numero molto elevato di volte. Infatti, ripetendo indefinitamente un processo aleatorio, potremmo prendere il valore atteso come stima del guadagno medio a ogni ripetizione. Se cioè ciascuna delle due lotterie venisse giocata N volte (con N grande), scegliendo A otterrei un guadagno all’incirca di 0.2N, mentre con B di 0.5N, e tale stima è tanto più attendibile quanto più grande è N. Ma così non è, e quindi tocchiamo già con mano che il carattere on/off della decisione fa sì che non possiamo definire un criterio universale, valido per tutti i decisori, in base al quale una lotteria è preferibile a un’altra. Ogni decisore avrà le sue preferenze – e le sue buone ragioni! Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 C’è da chiedersi cosa rappresenta il valore atteso di una lotteria in questo contesto. Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una situazione in cui la decisione deve essere presa una tantum. Diverso sarebbe il discorso se si dovesse scegliere una lotteria sapendo di doverla poi giocare un numero molto elevato di volte. Infatti, ripetendo indefinitamente un processo aleatorio, potremmo prendere il valore atteso come stima del guadagno medio a ogni ripetizione. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 LA FUNZIONE UTILITA’ Il valore dell’utilità, in generale, non è il semplice guadagno in termini monetari, ma dipende da vari fattori, tra cui la predisposizione del decisore. Infatti per ogni singolo decisore dovremo definire una (diversa) funzione di utilità i cui valori attesi rappresentano le sue preferenze specifiche. Assumeremo però che tali preferenze siano consistenti con certi assiomi di razionalità. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 LOTTERIE DEF. Una lotteria è una scelta il cui risultato è determinato da semplici meccanismi di fortuna. Si assume inoltre che il numero dei risultati (premi) sia finito. Sia l’insieme dei possibili risultati, comprendente anche il premio nullo, cioè la perdita. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Assunzioni sulle conseguenze Le conseguenze devono essere: mutuamente esclusive (al piu’ se ne verifica una); esaustive (almeno una si verifica necessariamente). Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Confronto tra lotterie Si consideri l’insieme R dei possibili risultati certi x1  x2  …  xr Una generica lotteria L può rappresentarsi come L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr > Introduciamo un minimo di formalismo per poter trattare lotterie e risultati certi (quelli che prima abbiamo informalmente chiamato “conseguenze” o “risultati”) in modo unitario. Qui r indica l’insieme dei possibili risultati, e può essere anche un numero molto alto. Inoltre, si noti che anche se il nostro universo di situazioni comprende r elementi, una lotteria può avere come possibili risultati un sottoinsieme molto piccolo di essi (ossia, molti dei pi nell’espressione di L possono essere uguali a 0). Indicheremo sempre con x1 e xr rispettivamente il risultato più desiderabile e meno desiderabile rispettivamente, nell’ambito dell’insieme di situazioni in cui ha senso il nostro problema decisionale. Ad esempio, se stiamo considerando alternative di investimento riguardanti una somma di 1000 euro, potrebbe essere x1 =+2000€ (guadagno di 2000 euro, supponendo che questa sia la prospettiva più rosea cui possiamo aspirare) e xr =-1000€ (perdita di 1000 euro, il caso più pessimistico). Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Osservazioni r indica l’insieme dei possibili risultati, e può essere anche un numero molto alto. Anche se il nostro universo di situazioni comprende r elementi, una lotteria può avere come possibili risultati un sottoinsieme molto piccolo di essi (molti dei pi nell’espressione di L possono essere uguali a 0). Indicheremo sempre con x1 e xr rispettivamente il risultato più desiderabile e meno desiderabile, rispettivamente, nell’ambito dell’insieme di situazioni in cui ha senso il nostro problema decisionale. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Confronto tra lotterie Un risultato certo xi è equivalente a una particolare lotteria: xi ~ < 0,x1 ; 0,x2 ; …; 1,xi ;…; 0,xr > Si vuole definire un ente matematico in grado di rappresentare le preferenze di un decisore, anche relativamente a diverse lotterie Per brevità, spesso ometteremo dall’espressione di una lotteria i termini cui corrisponde una probabilità nulla. Il nostro scopo ultimo è quello di definire una funzione (funzione di utilità) che esprima le preferenze di un particolare decisore relativamente a qualsiasi lotteria. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Associamo a ogni risultato certo un valore u(•) che ne indica il “gradimento”, ossia tale che u(x1)  u(x2)  …  u(xr) Usando queste “utilità elementari”, è possibile far corrispondere a qualsiasi lotteria un valore di utilità Supponiamo di associare (in che modo, lo vedremo più tardi) a ciascuno degli r risultati certi, un numero che ne esprime il livello di gradimento. Per ora, diciamo solo che questi numeri sono tali per cui a un risultato più gradito corrisponde un valore più alto, da cui l’ordinamento indicato. Questi numeri rappresentano delle “utilità elementari”, che come ora vedremo – sotto determinate condizioni -- ci consentiranno di esprimere in modo quantitativo il livello di gradimento di un decisore nei confronti di qualsiasi lotteria. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Osservazioni Supponiamo di associare (in che modo, lo vedremo più tardi) a ciascuno degli r risultati certi, un numero che ne esprime il livello di gradimento. Per ora, diciamo solo che questi numeri sono tali per cui a un risultato più gradito corrisponde un valore più alto. Questi numeri rappresentano delle “utilità elementari”, che come ora vedremo – sotto determinate condizioni -- ci consentiranno di esprimere in modo quantitativo il livello di gradimento di un decisore nei confronti di qualsiasi lotteria. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Utilità (attesa) di una lotteria L U[L] = p1 u(x1) + p2 u(x2) + … + pr u(xr) Si considerino due lotterie L,M L = < p1,x1 ; p2,x2 ; … ; pr,xr > M = < q1,x1 ; q2,x2 ; … ; qr,xr > L’espressione in alto prende il nome di utilità attesa di una lotteria L. Come si vede, questa è una quantità soggettiva, in quanto dipende dai valori di utilità che il decisore ha attribuito agli r risultati certi. Inserendo i valori di probabilità che definiscono ciascuna lotteria, si può calcolare l’utilità attesa di qualsiasi lotteria per un particolare decisore. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Osservazioni L’espressione precedente prende il nome di utilità attesa di una lotteria L. Come si vede, questa è una quantità soggettiva, in quanto dipende dai valori di utilità che il decisore ha attribuito agli r risultati certi. Inserendo i valori di probabilità che definiscono ciascuna lotteria, si può calcolare l’utilità attesa di qualsiasi lotteria per un particolare decisore. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Utilità (attesa) di una lotteria L Vogliamo individuare una funzione u(•) dei risultati tale che: L  M se e solo se Se i valori della funzione u sono scelti in modo da garantire che l’utilità attesa di una lotteria L è superiore a quella di un’altra lotteria M se e solo se L è preferita a M, abbiamo trovato quello che cercavamo: uno strumento matematico in grado di esprimere in modo quantitativo le preferenze di un particolare decisore relativamente non solo ai risultati certi, ma anche alle lotterie. Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010

Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010 Riassumendo… Vogliamo individuare una funzione u che permetta di: definire un ordinamento nell’insieme dei risultati X di una lotteria; scegliere tra lotterie in base alla regola dell’utilità attesa. u è definita su un insieme A che contiene l’insieme dei premi X e l’insieme delle lotterie L, ma vedremo che contiene anche altri tipi di lotterie, quindi: Chiara Mocenni – Analisi dlle Decisioni – aa. 2009-2010