Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Sistemi di Supporto alle Decisioni I Lezione 2 Chiara Mocenni Corso di laurea L1 in Ingegneria Gestionale e L2 in Ingegneria Informatica III ciclo

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Il processo di scelta razionale Il soggetto deve essere in grado di: Determinare linsieme di scelta (le azioni); Una relazione che lega le azioni alle conseguenze; Ordinare tutte le conseguenze possibili; Selezionare lazione migliore

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Contesti (1/3) 1. Scelta in condizioni di certezza: ad ogni azione e associata una ed una sola conseguenza. Nellambito del processo di scelta razionale questo problema diventa banale una volta che il decisore abbia definito linsieme delle scelte ed ordinato tutte le possibili conseguenze.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Contesti (2/3) 2. Scelta in condizioni di incertezza: ad ogni azione sono associate piu conseguenze, in base ad una distribuzione di probabilita data. Lincertezza e esogena. –Se la probabilita e oggettiva ->> SCELTA IN CONDIZIONI DI RISCHIO –Se la probabilita e soggettiva ->>SCELTA IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Scelte in condizioni di incertezza PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo. Lincertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura. Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Contesti (3/3) 3. Scelta in condizioni di interazione strategica: ad ogni azione sono associate piu conseguenze, ma ora cio dipende dalle scelte effettuate da altri soggetti razionali. Lincertezza non e esogena.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Il processo di scelta razionale Principio della massima utilita attesa: Il decisore razionale massimizza la propria utilita attesa (oggettiva o soggettiva).

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Le basi della teoria dellutilita Se restringiamo lattenzione alle sole azioni che influenzano la quantita di denaro vediamo che gli agenti mostrano una preferenza monotona per il denaro. Ma non siamo ancora in grado di confrontare lotterie anche se queste coinvolgono quantita di denaro.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Esempio Supponiamo che abbiate trionfato sugli avversari in un gioco televisivo. Il presentatore vi offre una scelta: prendere il milione di euro che avete vinto o puntare tutto sul lancio di una moneta: se esce testa perdete tutto, se esce croce vincete 3 milioni di euro. ->>> Accettate? E che cosa dovrebbe fare un decisore razionale?

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Il valore atteso dellazzardo e 0.5(0)+0.5( )= , Mentre il valore atteso del premio originale e Supponiamo che k sia la vostra ricchezza corrente e che S n sia lo stato in cui la ricchezza e n.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa E(L1)=0.5U(S k )+0.5U(S k ) E(L)=U(S k ) Se ad esempio U(S k )=5; U(S k )=10; U(S k )=8 Caso1. E(L1)=7.5 >RIFIUTATE Caso2. In banca avete >> I benefici del 501-esimo milione saranno piu o meno gli stessi del 503-esimo ->>POTETE ACCETTARE

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Confronto tra lotterie il valore atteso di una lotteria non può essere preso a criterio universale (valido per tutti i decisori)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Cè da chiedersi cosa rappresenta il valore atteso di una lotteria in questo contesto. Infatti, si noti che stiamo qui parlando di una situazione in cui la decisione (tra L e L1) deve essere presa una tantum. Diverso sarebbe il discorso se si dovesse scegliere L o L1 sapendo di doverla poi giocare un numero molto elevato di volte. Infatti, ripetendo indefinitamente un processo aleatorio, potremmo prendere il valore atteso come stima del guadagno medio a ogni ripetizione.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa LA FUNZIONE UTILITA Il valore dellutilità, in generale, non è il semplice guadagno in termini monetari, ma dipende da vari fattori, tra cui la predisposizione del decisore. Infatti per ogni singolo decisore dovremo definire una (diversa) funzione di utilità i cui valori attesi rappresentano le sue preferenze specifiche. Assumeremo però che tali preferenze siano consistenti con certi assiomi di razionalità.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa LOTTERIE DEF. Una lotteria è una scelta il cui risultato è determinato da semplici meccanismi di fortuna. Si assume inoltre che il numero dei risultati (premi) sia finito. Sia linsieme dei possibili risultati, comprendente anche il premio nullo, cioè la perdita.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Le conseguenze devono essere: mutuamente esclusive (al piu se ne verifica una); esaustive (almeno una si verifica necessariamente).

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Confronto tra lotterie (II) Si consideri linsieme R dei possibili risultati certi x 1 x 2 … x r Una generica lotteria L può rappresentarsi come L =

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Confronto tra lotterie (II) Un risultato certo x i è equivalente a una particolare lotteria: x i ~ Si vuole definire un ente matematico in grado di rappresentare le preferenze di un decisore, anche relativamente a diverse lotterie

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Associamo a ogni risultato certo un valore u( ) che ne indica il gradimento, ossia tale che u(x 1 ) u(x 2 ) … u(x r ) Usando queste utilità elementari, è possibile far corrispondere a qualsiasi lotteria un valore di utilità

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità (attesa) di una lotteria L U[L] = p 1 u(x 1 ) + p 2 u(x 2 ) + … + p r u(x r ) Si considerino due lotterie L,M L = M =

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità (attesa) di una lotteria L Vogliamo individuare una funzione u( ) dei risultati tale che: L M se e solo se

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Decisioni in condizioni di incertezza PROBLEMA. Prendere una decisione in cui le conseguenze sono incerte e tale incertezza è quantificabile in modo non ambiguo. Lincertezza dipende dalla presenza di più di uno stato di natura. Si assume che le probabilità con cui i vari stati si verificano sia nota. Cominceremo ad affrontare il problema delle lotterie.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Riassumendo… Vogliamo individuare una funzione u che permetta di: I)definire un ordinamento nellinsieme dei risultati X di una lotteria; II)scegliere tra lotterie in base alla regola dellutilità attesa. u è definita su un insieme A che contiene linsieme dei premi X e linsieme delle lotterie L, ma vedremo che contiene anche altri tipi di lotterie, quindi:

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa L A X u: A R

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Esistenza della funzione u Una simile funzione u( ) esiste? Assiomi della razionalità riguardanti il comportamento dei decisori (Von Neumann e Morgenstern 1947)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Esistenza della funzione u X è linsieme dei risultati certi x 1, x 2, …, x i,…, x r L rappresenta linsieme di tutte le lotterie che si possono definire su X

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Ordinamento debole Dati due elementi a, b A è sempre possibile confrontarli, ossia vale una tra queste: a b b a a ~ b Inoltre a b, b c implica a c

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Non banalità Si consideri linsieme X dei possibili risultati certi x 1 x 2 … x r allora x 1 x r

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Riduzione di lotterie composite (I) Consideriamo una lotteria composita (cioè una lotteria i cui premi sono altre lotterie) L = che dà diritto alla partecipazione a s lotterie semplici, t.c. L j =, j = 1,…,s. Sia L = t.c. p i = q 1 p 1i +q 2 p 2i +…+q s p si, i = 1,…,r. Allora L L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Le preferenze del decisore dipendono solo dai risultati finali e dalle probabilità con cui questi possono essere ottenuti e non dalle modalità con cui vengono di volta in volta organizzate le lotterie.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Consideriamo la lotteria L = che assegna il premio x i con probabilità 1. Allora x i L Q uesto corollario dellassioma 3 (che qui non dimostriamo) permette di stabilire che il decisore non prova gusto semplicemente nel partecipare ad una lotteria, ma unicamente nel vincere il premio che vi è associato. 3. Riduzione di lotterie composite (II)

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Lotterie composite (esempio) Una lotteria i cui premi sono altre lotterie L L1L1 L2L2 L3L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Lotterie composite Probabilità di avere +10: L1L1 L2L2 L3L3 L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa * * 0.3 = 0.25 L1L1 L2L2 L3L3 L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa La lotteria L è equivalente a L L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Sostituibilità Se a ~ b, allora due lotterie identiche tranne che per il fatto che a è sostituito da b, sono equivalenti: L = L

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Lotterie di riferimento Sono di particolare importanza le lotterie di riferimento: L p 1-p x1x1 xrxr

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa LOTTERIE DI RIFERIMENTO DEF. Si chiamano lotterie di riferimento le lotterie del tipo x 1 px r =. Queste lotterie appartengono ad A\(X L). DEF. Si definisce esperimento di riferimento linsieme delle lotterie di riferimento x 1 px r A, 0 p 1.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Monotonicità L p 1-p x1x1 xrxr L p x1x1 xrxr L L p p

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Continuità xixi L uiui 1-u i x1x1 xrxr ~ Esiste un valore di probabilità u i tale che:

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Continuità Obiezione circa lesistenza del valore u i (facilmente confutabile) Difficoltà nella determinazione precisa del valore u i >>> Necessità di una analisi della sensibilità

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Teorema di von Neumann- Morgenstern Se il sistema di preferenze di un decisore rispetta tutti gli assiomi, allora esiste una funzione u: X [0,1] che per qualunque coppia di lotterie, L e M: –se L è preferita a M U[L] > U[M] –se M è preferita a L U[M] > U[L] –se L e M sono indifferenti U[L] = U[M]

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità elementari Diamo convenzionalmente valore 1 e 0 allutilità dei due risultati estremi, ossia u(x 1 ) = 1 u(x r ) = 0

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Utilità di una lotteria di riferimento xixi L uiui 1-u i x1x1 xrxr ~ u(x i ) = u i u(x 1 ) + (1- u i )u(x r )

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa u(x i ) = u i u(x 1 ) + (1- u i )u(x r ) = 1= 0

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Funzione di utilità Lutilità del risultato x i è data dal valore di probabilità u i che rende indifferente x i rispetto alla lotteria di riferimento, ossia u(x i ) = u i

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Funzione di utilità Una funzione di utilità U[L] modella le preferenze di un particolare decisore Diversi decisori hanno in generale diverse funzioni di utilità, anche se alcune funzioni sono più usate

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Determinazione di u( ) Applicazione accurata dellassioma di continuità Esempio: un investitore deve scegliere tra 3 alternative (lotterie): a 1, a 2, a 3

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa a1a1 Variazione indice Dow-Jones (%) 110 < -3 [-3,+2] > +2 a2a2 a3a Decisioni

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment Ricavando la funzione di utilità per i sei risultati certi in esame, si potrà calcolare linvestimento più razionale per il decisore in questione

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Linsieme X dei risultati In questo caso X consiste di tutti i possibili risultati, vale a dire 120, 115, 110, 105, 100, 90 x 1 x r Le lotterie di riferimento hanno come premi 90 e 120

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment 110 L Lanalista pone domande del tipo: cosa sceglierebbe tra queste due?

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) Supponiamo che la risposta sia:110 sicuri Possiamo già escludere che lutilità di 110 sia inferiore 0.5

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) 110 L Lanalista pone allora la seguente alternativa

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) Supponiamo che stavolta la risposta sia: la lotteria Possiamo escludere che lutilità di 110 sia superiore a Si prosegue fino a individuare quel valore di probabilità per cui si ha indifferenza

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) 110 L ~ Supponiamo che si abbia per: Da cui, u(110)=0.8

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assessment (cont.) Procedendo allo stesso modo si può determinare lutilità degli altri valori, ad esempio u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(115)=0.95

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Verifica della consistenza 115 L U[L] = 0.75 * u(120) *u(110) = 0.75 * *0.8 = 0.95

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Verifica della consistenza Poiché era stato misurato che lutilità di 115 è pari a 0.95, posto di fornte alla scelta il decisore dovrebbe dichiararsi indifferente Se ciò non accade: –vanno rivisti i valori di utilità –il decisore rifiuta gli assiomi di von Neumann…

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Tavole di decisione, analisi di decisione e funzioni utilità Che relazione esiste tra la scelta tra lotterie e la scelta in condizioni di rischio? Cerchiamo di individuare una corrispondenza tra lotterie e tavole di decisione.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa a1a1 Stati di natura x 11 1 a2a2 a3a3 Decisioni Probabilità 2 3 P( 1 )P( 2 )P( 3 ) x 12 x 13 x 21 x 22 x 21 x 31 x 32 x 33

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Consideriamo la seguente lotteria semplice: L k = Allora a k l k

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa NOTE Nella precedente equivalenza abbiamo leggermente modificato la notazione introdotta per le lotterie. In particolare: 1. Non assumiamo che i premi siano ordinati secondo un ordine decrescente, cioè non assumiamo che x 1 x 2 … x r. Inoltre, le m lotterie che possono essere costruite a partire dalle azioni nella tavola di decisione hanno il seguente insieme dei premi: X = x ij | i=1,2,…,m ; j=1,2,…,n.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Ogni conseguenza che risulta impossibile sotto la scelta a k non appartiene allinsieme dei premi (cioè non si considerano premi che hanno probabilità nulla). 3. Che cosa succede se due scelte diverse conducono agli stessi risultati? Nella notazione precedente non avevamo posto assunzioni sul fatto che i premi fossero tutti distinti. Lassioma 4 Sostituibilità afferma che se due premi sono uguali (o ugualmente graditi), allora le lotterie che si possono costruire sono tra loro equivalenti.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Assioma 7. Equivalenza di situazioni di incertezza Sia data la tavola di decisione precedente e siano l i le m lotterie da essa estratte come mostrato. Allora il decisore considera la sua scelta nella tavola di decisione identica alla scelta tra le suddette m lotterie. In particolare, a i a k l i l k, i,k=1,2,…,m.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Corollario Dagli assiomi 1-6, dallAssioma 7 e dal Teorema di von Neumann-Morgenstern discende che

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Riassumendo DallAssioma di continuità discende che la funzione di utilità è univocamente determinata. La funzione di utilità è una funzione che permette di ordinare lotterie/decisioni assumendo il fatto che le utilità attese calcolate siano effettivamente coerenti con le preferenze del decisore.

Chiara Mocenni - Sistemi di Supporto alle Decisioni I – aa Teorema. Se u è una funzione di utilità su X, allora w = u + ( >0) è a sua volta una funzione di utilità che rappresenta le stesse preferenze. Viceversa, se u e w sono due funzioni di utilità su X che rappresentano le stesse preferenze, allora esistono >0 e t.c. w = u +.