Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate Chiara Mocenni

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Probabilità condizionate Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate P(A|B)P(A|B) probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: ecografia Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino: M il nascituro è maschio F il nascituro è femmina EM lecografia prevede maschio EF lecografia prevede femmina

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: ecografia Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta): P(M,EM)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: ecografia Valgono le seguenti espressioni: P(M,EM) = P(M|EM) P(EM) P(M,EM) = P(EM|M) P(M)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Teorema di Bayes Quindi: P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M) ossia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: ecografia Supponiamo P(M) = 0.5 P(F) = 0.5 P(EM|M) = 0.9 P(EM|F) = 0.05 e di conseguenza P(EF|M) = 0.1 P(EF|F) = 0.95

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: ecografia Possiamo ora calcolare P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F) = = P(EF) = 1- P(EM) = Possiamo ora applicare la formula di Bayes

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: ecografia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM) = = 0.947

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: ecografia P(F|EF) = P(EF|F) P(F) P(EF) = = 0.904

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Teorema di Bayes In generale, dati due eventi A e B: P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Teorema di Bayes P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B) Probabilità a-priori Probabilità condizionate

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Teorema di Bayes È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Esempio: il concerto Supponiamo ora che sia disponibile ulteriore informazione sul tempo di domani Questa informazione non è perfetta Come determinare il valore di questa informazione?

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Attendibilità dellinformazione Caratterizziamo lattendibilità della nuova informazione in termini di probabilità condizionata: P(Sereno|Sereno) = 0.8 P(Pioggia|Pioggia) = 0.8

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Attendibilità dellinformazione Linformazione a-priori in questo caso è data da: P(Ser) = 0.4 P(Piog) = 0.6

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Attendibilità dellinformazione La probabilità che la nuova informazione indichi serenosarà: P(Ser) = P(Ser|Ser) P(Ser) + P(Ser|Piog) P(Piog) = = 0.44 P(Piog) = = 0.56

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Attendibilità dellinformazione Con Bayes possiamo calcolare = / 0.44 = P(Piog|Ser) = 1- P(Ser|Ser) = P(Ser|Ser) = P(Ser | Ser) P(Ser) P(Ser)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Attendibilità dellinformazione E analogamente = / 0.56 = P(Ser|Piog) = 1- P(Piog|Piog) = P(Piog|Piog) = P(Piog | Piog) P(Piog) P(Piog)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Valore dellinformazione imperfetta Per molti decisori il valore dellinformazione si determina ancora come differenza tra equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione Attenzione: ora le probabilità in gioco sono probabilità condizionate

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a aperto chiuso sereno (0.727) pioggia (0.273) portico aperto chiuso sereno (0.143) pioggia (0.857) portico Loracolo prevede sereno (0.44) Loracolo prevede pioggia (0.56) ,470 Informazione gratuita (Avi)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Il valore dellinformazione (Avi) Quindi il valore dellinformazione imperfetta per Avi è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 5,470 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 4,600 = 870

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Informazione e decisioni Il valore dellinformazione perfetta per Avi era di 2,000 Limperfezione nellinformazione determina un cambiamento di decisione (Portico anziché Aperto nel caso in cui loracolo preveda tempo sereno)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a aperto chiuso sereno (0.727) pioggia (0.273) portico aperto chiuso sereno (0.143) pioggia (0.857) portico Loracolo prevede sereno (0.44) Loracolo prevede pioggia (0.56) ,900 Informazione gratuita (Inat)

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Il valore dellinformazione (Inat) Quindi il valore dellinformazione imperfetta per Inat è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 5,900 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 4,800 = 1,110

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Confronto tra decisori: Avi Senza informazione: Chiuso Con informazione imperfetta: se loracolo prevede sereno, allora Portico, altrimenti Chiuso

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Confronto tra decisori: Inat Senza informazione: Portico Con informazione imperfetta: se loracolo prevede sereno, allora Aperto, altrimenti Chiuso

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Confronto tra decisori Il valore dellinformazione imperfetta per Inat è di 1,110, per Avi è di 870 Il motivo per cui Inat, pur essendo più propensa al rischio rispetto a Avi, sia disposta a pagare di più è che ancora, in assenza di informazione, le scelte sono diverse

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Analisi di sensibilità rivista Una volta introdotti il concetto di probabilità soggettiva e il teorema di Bayes, possiamo estendere lanalisi di sensibilità effettuata per la determinazione della funzione di utilità anche alla assegnazione delle probabilità soggettive. Riprendiamo perciò lesempio della tavola di decisione.

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a a1a1 Stati di natura 110 < -3 [-3,+2] > +2 a2a2 a3a Decisioni probabilità

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a I valori di utilita degli eventi elementari erano: u(90)=0 u(100)=0.4 u(105)=0.6 u(110)=0.8 u(115)=0.95 u(120)=1

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Osserviamo nuovamente che P( 2 ) = P( 3 ). Supponiamo che il decisore abbia espresso qualche dubbio sul fatto che effettivamente queste due probabilità fossero uguali. Poniamo allora P( 2 ) = p P( 3 ) = q

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a P( 1 ) = 1 - p - q Inoltre U[ a 1 ] = 0.8, U[ a 2 ] = 0.7, U[ a 3 ] = U[ a 1 ] > U[ a 2 ] 0.8 > (1-p-q)* p* q* > 4p+11q Ne consegue che

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a U[ a 1 ] > U[ a 3 ] 0.8 > (1-p-q)*0.0 + p* q*1 4 > 2p + 5q U[ a 2 ] > U[ a 3 ] (1-p-q)* p* q*0.95 > (1-p-q)* p*0.4 + q*1 8 > 4p+9q Analogamente

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a D C B A (0.4,0.4) p + q = 1 p q 4p + 9q = 8 2p + 5q = 4 4p + 11q = 8

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Nella regione A si ha U[ a 1 ] > U[ a 2 ] > U[ a 3 ] Nella regione B si ha U[ a 2 ] > U[ a 1 ] > U[ a 3 ] Nella regione C si ha U[ a 2 ] > U[ a 3 ] > U[ a 1 ] Nella regione D si ha U[ a 3 ] > U[ a 2 ] > U[ a 1 ]

Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a Il punto (0.4,0.4) si trova allinterno della regione A. Quindi linvestimento a 1 sembra essere il più conveniente, coerentemente con quanto visto in precedenza. Quello che dobbiamo verificare, e che in questo caso è evidente, è che per piccole variazioni di p e q il punto stimato (0.4,0.4) rimanga allinterno della regione A.