Il sistema di Lorenz Permette di descrivere, entro i limiti delle approssimazioni fatte, il comportamento dinamico di uno strato di fluido che presenta moti convettivi a causa di una differenza di temperatura applicata fra la superficie inferiore e quella superiore Le temperature delle due superfici sono fissate Assenza di flusso attraverso le 2 superfici Spiegarlo come ruota coi secchi … se aumento il fluido… Importanza atmosferica e flusso magma Rè il numero di rayleigh, relazionato con convezione/conduzione L’andamento non perodico è causato dai due termini non lineari –xz e xy. Notare alla grande che prese due traiettorie vicinissime dopo un po’ perdono ogni tipo di parentela [Vulpiani disse al corso che il loro allontanamento è esponenziale, come due palline in cima ad un monte che sono spinte giù e dopo un po’ prendono 2 direzioni opposte, solo che essendo un sistema dinamico caotico il fondo valle non esiste] R<1 un solo punto fisso (0,0,0), poi 1<r<24.74 (0,0,0)instabile e si formano due altri punti fissi

Le equazioni X è proporzionale all'intensità del moto convettivo, Y è proporzionale alla differenza di temperatura fra le correnti ascendenti e quelle discendenti,  Z è proporzionale alla distorsione dalla linearità del profilo verticale di temperatura. , r, b possono assumere solo valori positivi

Soluzioni di equilibrio Punti di equilibrio del sistema di Lorenz Si ottengono risolvendo il sistema: Le soluzioni di equilibrio sono tre:

Gli autovalori, di J(S2) e J(S3) in funzione di r Analisi di stabilita’ Esisatono tre autovalori per ogni soluzione di equilibrio, gli atuovalori di J(S2) e J(S3) coincidono, ed gli autovettori associati ad essi sono linearmente indipendenti. Gli autovalori, di J(S2) e J(S3) in funzione di r In prossimità del valore di r pari a 24.74 le parti reali dei tre autovalori non risultano essere tutte negative. Da questo punto in poi entriamo in un regime caotico. Successivamente per r > 30,1 entriamo in un regime caotico alternato da finestre di periodicità

regime caotico alternato con finestre di periodicità Attrattore di Lorenz Schema riassuntivo delle soluzioni e della loro stabilità: r S l stabilità   S1 l1, l2 , l3 < 0 attrattiva 0<r<1 S2 S3 r=1 l1, l2 <0 , l3 >0 repulsiva 1<r<24,74 attattiva 24,74<r<30,1 regime caotico r>30,1 regime caotico alternato con finestre di periodicità

La mappa di biforcazione

Gli esponenti di Lyapunov

Significato fisico degli esponenti λ < 0 The orbit attracts to a stable fixed point or stable periodic orbit. Negative Lyapunov exponents are characteristic of dissipative or non-conservative systems (the damped harmonic oscillator for instance). Such systems exhibit asymptotic stability; the more negative the exponent, the greater the stability. λ = 0 [The orbit is a neutral fixed point. A Lyapunov exponent of zero indicates that the system is in some sort of steady state mode. A physical system with this exponent is conservative. Such systems exhibit Lyapunov stability. Take the case of two identical simple harmonic oscillators with different amplitudes. Because the frequency is independent of the amplitude, a phase portrait of the two oscillators would be a pair of concentric circles. The orbits in this situation would maintain a constant separation, like two flecks of dust fixed in place on a rotating record. λ > 0 The orbit is unstable and chaotic. Nearby points, no matter how close, will diverge to any arbitrary separation. All neighborhoods in the phase space will eventually be visited. These points are said to be unstable. Although the system is deterministic, there is no order to the orbit that ensues.

una previsione “miope” Due traiettorie vicine si allontanano esponenzialmente e la formula indica la loro distanza con epsilon distanza iniziale e landa dato dalla pendenza del grafico del logaritmo della distanza in funz del tempo. Nb: qui epsilon è10alla-15