I cifrari a chiave pubblica: Introduzione alle curve ellittiche Monica Bianchini monica@ing.unisi.it

I cifrari a chiave pubblica  1 Se l’uso di tecniche crittografiche per proteggere i documenti è antico quanto la scrittura stessa, solo l’avvento del computer ha permesso la realizzazione pratica dei sistemi crittografici di nuova concezione, basati su principi impossibili da applicarsi con sistemi manuali o meccanici Si tratta di una nuova classe di cifrari che godono di importanti proprietà: sono molto sicuri, ma al contempo facili da gestire sono immuni dai principali problemi dei sistemi di crittografia classici, primo fra tutti quello della gestione e distribuzione delle chiavi sono in grado di fornire “servizi” aggiuntivi quali la firma elettronica e la certificazione del mittente

I cifrari a chiave pubblica  2 Tutti si basano sul concetto di chiave asimmetrica, del tutto assente nella crittografia classica Infatti, lo svantaggio principale dei metodi a chiave privata è che richiedono la comunicazione della chiave fra mittente e ricevente, su un canale sicuro, prima della trasmissione di qualsiasi messaggio cifrato… POTREBBE ESSERE MOLTO DIFFICILE DA REALIZZARE! Per esempio, se i corrispondenti vivono lontani e decidono di comunicare via email, non avranno accesso a nessun canale ragionevolmente sicuro per lo scambio della chiave

I cifrari a chiave pubblica  3 Cifrario simmetrico Cifrario asimmetrico

I cifrari a chiave pubblica  4 Le basi teoriche della crittografia moderna risalgono a meno di 40 anni fa, a partire dal 1969, con le prime ricerche di James Ellis, del quartier generale governativo delle comunicazioni britanniche (GCHQ) L’idea dei crittosistemi a chiave pubblica è dovuta a Withfield Diffie e Martin Hellman (1976), mentre la prima realizzazione pratica si ha l’anno successivo, ad opera di Ronald Rivest, Adi Shamir e Leonard Adleman, ricercatori al MIT (Massachusetts Institute of Technology) che formularono RSA

I cifrari a chiave pubblica  5 Diffie ed Hellman, pubblicarono un lavoro teorico fondamentale nel quale, ipotizzando di poter disporre di un cifrario asimmetrico, dimostravano la fattibilità di sistemi crittografici di nuovo tipo, adatti alla crittografia di massa, basati sull’impiego di chiavi pubbliche Con i cifrari a chiave pubblica si inizia a parlare di strong encryption, crittografia forte Nella pratica, un cifrario a chiave pubblica è dotato di due chiavi distinte, che sono una l’ “inversa” dell’altra: se una viene usata per la cifratura, la seconda deve essere usata in decifratura, e viceversa Punto fondamentale del crittosistema è che le due chiavi devono essere indipendenti: ossia la conoscenza di una delle due chiavi non deve dare alcuna informazione utile alla ricostruzione dell’altra

I cifrari a chiave pubblica  6 I crittosistemi a chiave pubblica rendono il calcolo di dk, a partire da ek, computazionalmente irrealizzabile  ek può essere resa pubblica Il mittente potrà inviare il messaggio cifrato utilizzando ek, ma solo il ricevente autorizzato sarà in grado di decifrarlo, poiché sarà l’unico a conoscere dk

I cifrari a chiave pubblica  7 Vantaggi La chiave pubblica può essere trasmessa tramite un canale insicuro, in quanto la sua conoscenza da parte di terzi non è sufficiente a mettere in pericolo la sicurezza dei dati cifrati con essa; ciascuna chiave segreta resta sotto la responsabilità del solo utente proprietario In un sistema a chiave segreta per ogni possibile coppia di utenti deve esistere una chiave: per n utenti occorrono n(n1)/2 chiavi In un sistema a chiave pubblica, deve esistere una coppia di chiavi per ogni possibile utente, ovvero per n utenti occorrono 2n chiavi

I cifrari a chiave pubblica  8 Svantaggi Gli algoritmi simmetrici e quelli asimmetrici necessitano di chiavi di lunghezza diversa per raggiungere lo stesso grado di sicurezza teorica Generalmente, gli algoritmi asimmetrici sono molto più lenti da eseguire, rispetto a quelli simmetrici, e pertanto di uso poco agevole per la cifratura di messaggi lunghi

I cifrari a chiave pubblica  9 Dal 1977, sono stati formalizzati diversi crittosistemi a chiave pubblica, la cui sicurezza è affidata alla difficoltà di risoluzione di problemi matematici diversi RSA (1977)  la sicurezza è basata sulla difficoltà nella fattorizzazione di interi “grandi” MerkleHellman Knapsack (1978)  la sicurezza del sistema è basata sulla NPcompletezza del problema della somma di sottoinsiemi Dato un insieme di interi, è possibile enucleare un sottoinsieme di somma nulla? Tutti i crittosistemi di questo tipo si sono rivelati insicuri, tranne il crittosistema di ChorRivest

I cifrari a chiave pubblica  10 McEliece (1978)  è basato sulla teoria algebrica dei codici, ed è a tutt’oggi ritenuto sicuro; la sicurezza è dovuta alla difficoltà del problema di decodificare un codice lineare (che è NPcompleto) ElGamal (1984)  la sicurezza è basata sulla difficoltà del calcolo del logaritmo discreto in campi finiti Curve ellittiche  sono crittosistemi che traggono origine da sistemi tipo ElGamal, ma operano sulle curve ellittiche piuttosto che sui campi finiti; sono i sistemi più sicuri, anche per chiavi piccole

I cifrari a chiave pubblica  11 I sistemi a chiave pubblica non possono garantire la sicurezza incondizionata, poiché una spia, essendo venuta in possesso di un testo cifrato y, può codificare ogni possibile testo in chiaro x, utilizzando ek, che è pubblica, fino a trovare l’unico x tale che y=ek(x) Per i sistemi a chiave pubblica è sensato studiare la “sicurezza computazionale” A questo scopo, può essere concettualmente utile pensare ad un sistema a chiave pubblica, in termini astratti, come ad una funzione unidirezionale

I cifrari a chiave pubblica  12 La funzione pubblica di codifica ek deve essere semplice da calcolare, ma difficile da invertire, per tutti tranne che per il ricevente: una funzione siffatta è una funzione oneway (unidirezionale)  ek deve essere una funzione iniettiva e oneway Le funzioni unidirezionali giocano un ruolo fondamentale nella costruzione di crittosistemi a chiave pubblica Sfortunatamente, anche se vi sono varie classi di funzioni che sono ritenute unidirezionali, non esiste per nessuna di esse una prova certa

I cifrari a chiave pubblica  13 Sia n il prodotto di due numeri primi “grandi”, p e q, e sia b un intero positivo : ZnZn definita da (x) = xb (mod n) è ritenuta essere una funzione unidirezionale (e, di fatto, è la funzione di codifica in RSA) Tuttavia, l’essere oneway non è una proprietà sufficiente per , poiché il ricevente autorizzato deve essere in grado di decifrare i messaggi in maniera efficiente

I cifrari a chiave pubblica  14 Il ricevente deve possedere una trapdoor  una sorta di canale preferenziale, una “scappatoia”  che gli permetta di accedere rapidamente all’informazione codificata, cioè di decifrare facilmente il testo cifrato, grazie alla sua conoscenza di informazione aggiuntiva su k  ek deve essere iniettiva, oneway, trapdoor

Riassumendo... I principali problemi sui quali si basano i sistemi crittografici moderni sono: Il problema della fattorizzazione di interi grandi (Integer Factorization Problem – IFP ) Il problema del calcolo del logaritmo discreto su campi finiti (Discrete Logarithm Problem – DLP ) Il problema del calcolo del logaritmo discreto su curve ellittiche (Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem – ECDLP )

I campi vettoriali  1 Un campo è un insieme G che soddisfa le seguenti proprietà: Sono definite due operazioni, genericamente indicate con + e  (e che nel caso dei reali/complessi sono effettivamente la somma e il prodotto) La somma ed il prodotto sono operazioni interne al campo Valgono le proprietà commutativa e associativa per somma e prodotto Vale la proprietà distributiva tra prodotto e somma (sia destra che sinistra) Esiste, ed è unico, l’elemento neutro, sia per la somma che per il prodotto (0 ed 1, rispettivamente) Per ciascun elemento del campo, esiste l’elemento inverso relativamente a somma e prodotto (l’opposto per la somma, il reciproco per il prodotto)

I campi vettoriali  2 La cardinalità dell’insieme G viene indicata con |G| ed è chiamata ordine del campo: se questa è finita allora G è un campo finito Sia Zn={0, 1, 2, 3, ... , n1} un campo finito Se n=pq, dove p è un numero primo e q un intero positivo, p e q sono detti rispettivamente caratteristica e grado di estensione del campo g è un generatore per il campo finito Zn se ogni elemento di Zn può essere scritto come potenza di g (escluso lo 0)

Il crittosistema RSA  1 RSA è realizzato in Zn, dove n è il prodotto di due numeri primi distinti p e q  (n)=(p1)(q1) (numero degli interi positivi minori di n primi con n) Sia n =pq, con p e q numeri primi. Siano P=C=Zn Sia K ={(n,p,q,a,b): n =pq, p,q primi, ab1 (mod (n))} Per k=(n,p,q,a,b): ek(x) = xb (mod n) dk(y) = ya (mod n) x,y  Zn I valori di n e b sono pubblici, p,q ed a segreti

(xb)a  xt(n)+1 (mod n)  (x(n))t x (mod n) Il crittosistema RSA  2 Le operazioni di codifica e decodifica sono inverse Infatti, poiché ab1 (mod (n)), ab=t(n)+1, per qualche intero t  1 Sia Zn* l’insieme dei residui modulo n primi con n Sia xZn*, allora… (xb)a  xt(n)+1 (mod n)  (x(n))t x (mod n) 1t x (mod n)  x (mod n) (x(n)=1 per il teorema di Eulero che asserisce che Zn* è un gruppo moltiplicativo di ordine (n))

Esempio di sistema RSA insicuro  1 Supponiamo che siano p=101 e q=113  n=11413 e (n)=100112=11200 Poiché 11200=26527, un intero b può essere utilizzato quale esponente di codifica se e solo se b non è divisibile per 2, 5 o 7 Il proprietario della chiave privata non fattorizzerà (n), verificherà solo che MCD((n),b)=1 utilizzando l’algoritmo di Euclide Supponiamo che scelga b=3533; allora l’algoritmo di Euclide calcola b1=6597 (mod 11200)  l’esponente di decodifica è a=6597

Esempio di sistema RSA insicuro  2 Il proprietario della chiave privata pubblica n=11413 e b=3533 Supponiamo che il suo corrispondente voglia inviargli il testo 9726, egli calcolerà 97263533 (mod 11413)=5761 ed invierà il testo cifrato 5761 sul canale Quando il proprietario della chiave privata riceve y=5761, utilizza l’esponente di decifratura segreto a per calcolare 57616597 (mod 11413)=9726

Sicurezza di RSA La sicurezza del crittosistema RSA è basata sulla “speranza” che ek(x)=xb (mod n) sia oneway, così da rendere computazionalmente impossibile, per una spia, decrittare il testo cifrato La scappatoia (trapdoor) che permette al proprietario della chiave privata di decifrare il crittogramma è costituita dalla conoscenza della fattorizzazione di n=pq Dato che il proprietario della chiave privata conosce p e q, può calcolare (n)=(p1)(q1) e quindi l’esponente di decifratura a, utilizzando l’algoritmo di Euclide esteso

Il logaritmo discreto  1 La potenza di un numero in aritmetica finita si definisce come ab=x (mod n) Come nell’aritmetica ordinaria, è possibile definire un’operazione inversa rispetto all’esponente: il logaritmo Per definizione, il logaritmo è l’esponente a cui si deve elevare la base a per ottenere il valore x: b=loga x (mod n) Tale logaritmo si dice logaritmo discreto Se il calcolo della potenza è relativamente semplice, il calcolo del logaritmo è computazionalmente molto complesso, può avere più soluzioni o nessuna

Il logaritmo discreto  2 Per esempio, in Z7, si ha: 20 = 1 21 = 2 22 = 4 23 = 1 24 = 2 25 = 4 26 = 1 e quindi, il log24 è pari a 2 ma anche a 5; viceversa non esistono log23, log25, log26 In generale, si ritiene che il problema del calcolo del logaritmo discreto sia “difficile” come il problema della fattorizzazione di numeri grandi, anche se non esiste attualmente una dimostrazione dell’asserto

Metodo di DiffieHellman per lo scambio di chiavi  1 È realizzato in Zn, con n numero primo e g generatore di Zn, e si basa sulla difficoltà di calcolo dell’intero k tale che p=gk (mod n), noti p, g, ed n Alice e Bob vogliono scambiarsi un messaggio Siano n e g due numeri interi che soddisfano le seguenti proprietà: n è un numero primo grande (100200 cifre) g<n MCD(g,n1)=1: g e n primi fra loro n e g noti ad Alice e Bob Alice sceglie keyprivAlice=a<n e calcola h=ga (mod n) Bob sceglie keyprivBob=b<n e calcola k=gb (mod n)

Metodo di DiffieHellman per lo scambio di chiavi  2 Alice e Bob pubblicano rispettivamente keypubAlice=h e keypubBob=k Alice calcola keyAliceBob=ka (mod n) e la usa come chiave per crittare i messaggi diretti a Bob Bob calcola keyBobAlice=hb (mod n) e la usa come chiave per crittare i messaggi diretti ad Alice keyAliceBob=keyBobAlice ? ka (mod n)=(gb (mod n))a (mod n)=gba (mod n) =gab (mod n)=(ga (mod n))b (mod n) =hb (mod n) k_s=keyAliceBob=keyBobAlice è la chiave di sessione

Metodo di DiffieHellman per lo scambio di chiavi  3 Dopo che Alice e Bob hanno generato una chiave di sessione, possono scambiarsi messaggi utilizzando un qualsiasi cifrario simmetrico Il metodo di DiffieHellman è di fatto un protocollo “sicuro” per lo scambio di chiavi, da utilizzarsi in crittosistemi simmetrici Ma… quanto “sicuro” ? Il problema del calcolo del logaritmo discreto è computazionalmente intrattabile con la potenza di calcolo attuale, almeno per n intero “sufficientemente grande”  lungo qualche centinaio di bit

Il crittosistema di ElGamal ElGamal è realizzato in Zn, con n numero primo e g generatore di Zn Sia n un numero primo. Siano P=C=Zn Sia K ={(n,g,a,c,b,d,h): g generatore di Zn, a=gc, b=gd} Per k=(n,g,a,c,b,d,h): (gh (mod n), ek(x)=xbh (mod n)) dk(y) = (gh (mod n))d (y (mod n)) x,y  Zn I valori di n, g, a, e b sono pubblici, c, d ed h segreti

Crittografia e curve ellittiche Negli ultimi tempi l’interesse degli appassionati di teoria dei numeri verso le curve ellittiche è andato crescendo, forse a causa del loro impiego per la famosa dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat da parte di Andrew Wiles I cifrari basati sulle curve ellittiche furono proposti in maniera indipendente da Victor Miller e Neal Koblitz verso la metà degli anni ottanta Le curve ellittiche possono interpretarsi come una “versione analogica” del concetto di gruppo moltiplicativo in un campo finito Per comprendere come questa particolare classe di cubiche possa essere impiegata per costruire una categoria di metodi crittografici, attualmente ritenuti i più sicuri, occorre introdurne le proprietà matematiche fondamentali

y2cy=x3axb curva supersingolare Le curve ellittiche  1 Definizione 1 Sia K un campo di caratteristica p2,3 e sia x3+ax+b, con a,bK, un polinomio cubico privo di radici multiple; una curva ellittica su K è l’insieme costituito dalle coppie (x,y) con x,yK che soddisfano l’equazione y2=x3axb più un punto isolato O, detto punto all’infinito Se p=2, l’equazione delle curve ellittiche può assumere le due forme… y2cy=x3axb curva supersingolare y2xy=x3axb curva non supersingolare …e per p=3 y2=x3ax2bxc

Le curve ellittiche  2 Grafici delle curve ellittiche sul campo  di equazione (a) y2=x3x, (b) y2=x31, (c) y2=x35x6

Le curve ellittiche  3 Definizione 2 Sia E una curva ellittica su , e siano P e Q punti di E; si definiscono l’opposto di P e la somma PQ, in base alle seguenti regole Se P coincide con il punto all’infinito O, allora P=O e PQ=Q, cioè O è l’elemento neutro per l’addizione di punti Altrimenti, l’opposto P di P è il punto con ascissa x uguale a quella di P ed ordinata opposta, cioè P=(x,y) Se Q=P, PQ= O

Le curve ellittiche  4 Se P e Q hanno ascisse distinte, allora r= PQ interseca la curva E esattamente in un ulteriore punto R (se r non è tangente ad E in P, nel qual caso R=P, o in Q, così che R=Q); se R è distinto da P e Q, PQ=R.

Le curve ellittiche  5 Se P=Q, sia t la tangente alla curva in P e sia R (l’unico) ulteriore punto di intersezione di t con la curva, allora PQ=2P=R

y3= y1[(y2y1)/(x2x1)](x1x3) Le curve ellittiche  6 Come si calcolano le coordinate di PQ ? Se P=(x1,y1) e Q=(x2,y2) con x1x2, sia y=x l’equazione della retta r per P e Q (che non è verticale); in questo caso, =(y2y1)/(x2x1) e =y1x1; i punti di r, (x,x), giacciono anche sulla curva ellittica E se e solo se soddisfano l’uguaglianza x3(x)2axb=0 Due soluzioni dell’equazione cubica sono note e corrispondono ai punti P e Q; poiché in un polinomio monico di grado n, la somma delle radici coincide con il coefficiente del termine di grado n1, 2=x1x2x3, da cui… x3=[(y2y1)/(x2x1)]2x1x2 e y3= y1[(y2y1)/(x2x1)](x1x3)

Le curve ellittiche  7 Se P=Q, =dy/dx=[f(x,y)/x]/[f(x,y)/y]|P, con f(x,y)=y2(x3axb), cioè =(3x12  a)/2y1, da cui… x3=[(3x12  a)/2y1]2 2x1 e y3= y1[(3x12  a)/2y1](x1x3) I punti di una curva ellittica E formano un gruppo abeliano relativamente all’operazione di somma Come in ogni gruppo abeliano, si userà la notazione nP, per indicare l’operazione di somma del punto P con se stesso effettuata n volte, se n>0, ovvero la somma di P con se stesso effettuata n volte, per n negativo Per definizione, il punto all’infinito O rappresenta il “terzo punto di intersezione” delle rette verticali con la curva E

Curve ellittiche su campi finiti Sia K il campo finito Zn, costituito da n = pq elementi Sia E una curva ellittica definita su Zn E è composta da al più 2n1 punti, il punto all’infinito O e 2n coppie (x,y)ZnZn, ovvero per ciascuna delle n possibili ascisse xZn esistono al più 2n ordinate yZn che soddisfano l’equazione di E In realtà, vale il seguente… Teorema di Hasse Sia N il numero di punti in Zn appartenenti ad una curva ellittica E, definita su Zn; vale la disuguaglianza |N  (n1)| 2n

Da plaintext a punti su E  1 Supponiamo di codificare il plaintext x come un intero r Sia E una curva ellittica definita su Zn, con n=pq, numero intero “grande” e dispari Un metodo probabilistico (non esistono algoritmi deterministici per risolvere questo problema!) per codificare r mediante Pr può essere schematizzato come segue: Si sceglie k (≤50 è sufficiente); sia 0≤r<R, e n>Rk Gli interi compresi fra 1 ed Rk possono essere scritti nella forma rkj, con 1≤j<k  si stabilisce una corrispondenza biunivoca fra detti interi ed un sottoinsieme degli elementi di Zn Per esempio, ciascun numero 1≤i<Rk può essere scritto come un intero ad s cifre in base p, ciascuna cifra del quale rappresenta il relativo coefficiente di un polinomio di grado s1, corrispondente ad un elemento di Zn

Da plaintext a punti su E  2 Pertanto, dato r, per ogni 1≤j<k, si ottiene un elemento xcZn, coincidente con rkj Per tale xc, si calcola y2=xc3axcb, e si cerca di estrarre la radice quadrata per calcolare il corrispondente valore di yc Se si riesce a calcolare un yc, tale che yc2=f(xc), si ottiene Pr=(xc, yc) Se invece tale yc non esiste, allora si incrementa j di un’unità e si riprova a calcolare yc a partire xc=rkj1

Da plaintext a punti su E  3 Posto di riuscire a trovare un xc t.c. esiste yc calcolato come sopra, per j≤k, r può essere ricalcolato da Pr=(xc,yc) come r=[(x1)k)], con xcx (mod n) e x Zn Poiché f(x) è un quadrato in Zn approssimativamente nel 50% dei casi (tale probabilità vale esattamente N/2n, che è molto vicino ad ½), la probabilità che il metodo proposto fallisca nel calcolare il punto Pr la cui coordinata xc è compresa fra rk1 e rkk è  2k

Crittosistemi su curve ellittiche  1 I vantaggi dei crittosistemi costruiti attraverso curve ellittiche rispetto ai codici su campi finiti sono: Gran numero di gruppi abeliani (costituiti dai punti di una curva) che si possono costruire su uno stesso campo finito Non esistenza di algoritmi subesponenziali per risolvere il problema del logaritmo discreto su curve non supersingolari Chiavi più corte per garantire lo stesso grado di sicurezza

Crittosistemi su curve ellittiche  2 Le curve ellittiche permettono di formulare un problema analogo a quello del logaritmo discreto su un campo finito (DLP, Discrete Logarithm Problem) Problema Siano dati una curva ellittica E su Zn ed un punto BE; il problema del logaritmo discreto su E in base B (ECDLP, Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem) è dato PE trovare, se esiste, xZ tale che xB=P

Crittosistemi su curve ellittiche  3 Osservazioni Per i campi finiti esiste un algoritmo, detto index calculus, che permette di calcolare il logaritmo discreto (ovvero di risolvere il DLP) con complessità subesponenziale Tale algoritmo si fonda sulla definizione delle operazioni di somma e prodotto, e quindi non è applicabile sulle curve ellittiche che possiedono esclusivamente una struttura additiva La sicurezza dei crittosistemi su curve ellittiche risiede nell’attuale non conoscenza di algoritmi subesponenziali per risolvere l’ECDLP Esistono tuttavia algoritmi subesponenziali per particolari classi di curve ellittiche (in particolare per le curve supersingolari)

DiffieHellman su curve ellittiche Supponiamo che Alice e Bob vogliano accordarsi su una chiave segreta da utilizzare per un crittosistema classico Alice e Bob devono fissare un campo finito Zn, dove n=pr, ed una curva ellittica E definita su questo campo Il passo successivo consiste nel rendere pubblico un punto BE, detto base (che avrà un ruolo analogo al generatore g nel caso del DiffieHellman classico); non è necessario che B sia un generatore di E, ma si suppone che abbia ordine o “sufficientemente” grande Alice sceglie un numero a costituito dallo stesso numero di cifre (o), che terrà segreto, ed invia pubblicamente a Bob la quantità aB Allo stesso modo, Bob sceglie b dello stesso ordine di grandezza ed invia ad Alice la quantità bB Entrambi possono calcolare abB che servirà da chiave segreta

Esempio Sia data la curva ellittica y2=x3x1 e il suo punto B(1;1) Alice sceglie a=2, calcola aB e lo pubblica  aB=(2;3) Bob sceglie b=3, calcola bB e lo pubblica  bB= (13;47) La chiave segreta è abB, cioè il punto di coordinate 7082/2209 e 615609/103823

ElGamal su curve ellittiche Viene fissata una curva ellittica E su un campo Zn ed un punto BE Ogni utente sceglie un intero casuale a, che rappresenterà la sua chiave segreta, e pubblica aB Se Alice vuole spedire a Bob il messaggio ME, si attua il protocollo seguente Alice sceglie un intero casuale k ed invia a Bob la coppia (kB, Mk(bB)), dove (bB) e la chiave pubblica di Bob Bob può decodificare il messaggio originale calcolando M=Mk(bB)b(kB) utilizzando la propria chiave segreta b È evidente che un intruso che sapesse risolvere il problema ECDLP potrebbe ricavare b e da questo risalire al paintext

PGP  1 “What one man can invent another can discover.” [Sherlock Holmes] The Adventure of the Solitary Cyclist, Sir Arthur Conan Doyle Il programma PGP (Pretty Good Privacy, Philip R. Zimmerman, 1991) è a chiave pubblica e utilizza il seguente protocollo di comunicazione: Un utente invia la propria chiave pubblica ad un corrispondente; l’eventuale intercettazione è irrilevante; chiunque vi abbia accesso, infatti, può spedire posta cifrata al proprietario della chiave privata, ma una volta effettuata la cifratura di un messaggio, nemmeno l’autore è in grado di rileggerlo Il corrispondente codifica il messaggio con la chiave pubblica ricevuta e lo invia al proprietario della chiave; se anche il messaggio venisse intercettato, solo il legittimo destinatario, in possesso della chiave privata, è in grado di decifrarlo

PGP  2 Chiave di sessione Poiché la cifratura asimmetrica è molto più lenta della crittografia simmetrica, la tecnologia PGP utilizza un approccio ibrido al problema della sicurezza: Il messaggio viene inizialmente cifrato con un algoritmo di cifratura a chiave segreta (IDEA o CAST): viene automaticamente creata una chiave casuale temporanea, detta chiave di sessione, che viene utilizzata per cifrare soltanto quel documento La chiave di sessione viene a sua volta cifrata mediante la chiave pubblica del ricevente (RSA o DiffieHellman) Quando il messaggio giunge a destinazione, il ricevente utilizza la propria chiave privata per decifrare la chiave di sessione, che poi impiega per decifrare il messaggio

PGP  3 Firma digitale Per essere certo della provenienza di un messaggio, il destinatario può richiedere al mittente di apporre al messaggio la propria firma digitale, utilizzando la propria chiave privata: viene così creato un file cifrato che non può essere duplicato in alcun modo Chiunque sia in possesso della chiave pubblica del mittente può leggere la firma ed identificare la provenienza del messaggio Un documento, cui sia stata apposta una firma digitale, non può essere falsificato, né disconosciuto La possibilità di autenticare la provenienza e la sicurezza dei messaggi digitali hanno aperto la strada all’ecommerce: la cifratura e le firme digitali, infatti, hanno reso “sicuri” i pagamenti via Internet tramite carta di credito