Crittografia  I cifrari storici Monica Bianchini monica@ing.unisi.it

Crittografia  1 La crittografia (dal greco kryptos, nascosto, e graphein, scrivere) è la scrittura segreta, ovvero l’arte di scrivere messaggi che possano essere letti e compresi solo dal legittimo destinatario Le sue origini risalgono alla più remota antichità, se già la Bibbia parla di un codice segreto per scrivere il nome, innominabile e sacrilego, di Babele  il codice Atbash Nel libro di Geremia, infatti, viene usato un semplicissimo codice monoalfabetico per cifrare la parola Babele; la prima lettera dell’alfabeto ebraico (א, Aleph) viene cifrata con l’ultima (ת, Taw), la seconda (ב, Beth) viene cifrata con la penultima (ש, Shin) e così via; da queste quattro lettere è derivato il nome di Atbash (A con T, B con SH) per questo codice

Crittografia  2 La scitala lacedemonica è un antico esempio di un sistema per cifrare messaggi tramite l’utilizzo di un bastone cilindrico, che opera come un cifrario a trasposizione (secondo gli scritti di Plutarco, in uso dai tempi di Licurgo, IX sec a.C.) Una sottile striscia di carta veniva avvolta su un bastone di diametro ben definito, misura di cui era a conoscenza anche il destinatario; sulle spire di papiro affiancate veniva scritto il messaggio da criptare Terminata la scrittura, il papiro veniva svolto e inviato al destinatario Il destinatario poteva ricomporre il messaggio, avvolgendo la striscia di papiro sul suo bastone di diametro identico a quello usato per crittografare il testo

Crittografia  3 Per secoli la crittografia è stata appannaggio quasi esclusivo dei militari e dei diplomatici, e i metodi crittografici erano specifici per l’invio di messaggi affidati a corrieri Nel XX secolo però, prima l’invenzione della radio, poi quella del computer hanno cambiato in modo radicale lo scenario Il periodo d’oro della crittografia coincide con la seconda guerra mondiale, quando Alan Turing, il padre dell’informatica teorica, insieme al gruppo di ricerca di Bletchley Park, formalizzò la teoria necessaria per uno studio sistematico dei cifrari Nel 1918, infatti, Arthur Scherbius aveva inventato la macchina Enigma, una macchina cifrante che i tedeschi impiegarono per le loro comunicazioni segrete durante la seconda guerra mondiale

Crittografia  4 La macchina Enigma consentiva di cifrare un testo scegliendo tra 1757661003917915001016, 10 milioni di miliardi, di combinazioni distinte

Crittografia  5 Dal gruppo di Bletchley Park, nel 1943, nasce il primo calcolatore elettronico, il computer Colossus, utilizzato per decifrare le comunicazioni “segrete” dei tedeschi, e che permise la violazione del codice Enigma e la vittoria anglo americana sull’Atlantico Nel 1949, Claude Shannon, l’ideatore della moderna teoria dell’informazione, pubblicò un articolo rimasto nella storia della crittografia “Communication theory of secrecy systems”

Crittografia  6 Con l’avvento del computer, che ha di colpo resi inaffidabili e superati quasi tutti i metodi classici, nascono i metodi specifici per l’uso informatico come il DES (Data Encryption Standard, 1975) della IBM, e il rivoluzionario RSA (Rivest, Shamir, Adelman, 1977), capostipite dei cifrari a chiave pubblica I cifrari a chiave pubblica sono intrinsecamente sicuri poiché si basano sulla soluzione di problemi matematici “difficili”, derivati dalla teoria dei numeri, dalla teoria delle curve ellittiche, etc.

Crittografia  7 Negli attuali sistemi informativi distribuiti, e più in generale nel settore delle telecomunicazioni, la crittografia ha assunto un rilievo ed un interesse crescenti nelle infrastrutture di sicurezza La ragione è evidente: un numero considerevole di messaggi viaggia sui canali più disparati, dalla posta al telefono, alle comunicazioni via etere, al telex, fino alle linee di trasmissione dati Altrettanto enorme è l’informazione immagazzinata nelle memorie di massa dei calcolatori e nelle banche dati Se da un lato il progresso tecnologico agevola la manipolazione (e l’intercettazione) dei dati, dall’altro facilita anche l’applicazione della crittografia per proteggere l’informazione stessa

Terminologia  1 In un sistema crittografico, il testo in chiaro viene trasformato, secondo regole, nel testo in cifra o crittogramma; tale operazione si chiama cifratura Il testo cifrato viene quindi trasmesso al destinatario attraverso un opportuno canale di comunicazione Il canale non sarà completamente affidabile: lungo il percorso può trovarsi una spia che può intercettare il crittogramma e tentare di decriptarlo Il destinatario legittimo decifra il crittogramma e riottiene il testo in chiaro: se il sistema di cifra, o cifrario, è ben congegnato, l’operazione di decifrazione o decifratura deve risultare semplice al destinatario legittimo, ma di complessità proibitiva alla spia  possibile in quanto gli interlocutori legittimi possiedono un’informazione che deve rimanere inaccessibile alla spia, la chiave del cifrario

Cifratura (C), decifrazione (D1) e decrittazione (D2) Terminologia  2 Il modello delineato è schematizzato in figura: Si noti la distinzione tra decifrazione e decrittazione : quest’ultima è l’operazione illegittima in cui non ci si può avvalere della chiave Cifratura (C), decifrazione (D1) e decrittazione (D2)

Terminologia  3 Il problema della distribuzione delle chiavi è un punto di importanza cruciale in qualsiasi cifrario: si dice che la chiave è comunicata al destinatario tramite un corriere Per rendere nota la chiave segreta ci si può affidare ad un canale speciale assolutamente fidato; ma se così è, esso potrebbe essere usato per trasmettere il crittogramma o il messaggio in chiaro     In realtà, l’uso di un canale speciale è costoso ed inoltre esso potrebbe essere disponibile solo per brevi intervalli di tempo e/o in determinati momenti

Terminologia  4 I metodi di costruzione di un cifrario non possono essere disgiunti dallo studio degli eventuali metodi per demolirlo, ovvero non ci si può occupare di crittografia (la parte costruttiva) senza occuparsi di crittoanalisi (la parte distruttiva): insieme esse costituiscono una disciplina unitaria detta crittologia Nell’uso corrente si usa crittografia là dove si dovrebbe parlare di crittologia

Terminologia  5 Alcuni sistemi crittografici si affidano esclusivamente alla segretezza degli algoritmi utilizzati  solo di interesse storico, inadeguati per le applicazioni reali Tutti i moderni algoritmi utilizzano una chiave per controllare sia cifratura che decifratura; un messaggio può cioè essere letto solo se la chiave di decifrazione “corrisponde in qualche modo” a quella di cifratura Esistono due classi di algoritmi: Simmetrici, o a chiave segreta  utilizzano la stessa chiave per cifrare e decifrare (o la chiave di decifrazione è facilmente ottenibile a partire da quella di cifratura) Asimmetrici, o a chiave pubblica  utilizzano due chiavi diverse e la chiave di decifrazione non può essere ricavata a partire dalle informazioni contenute nella chiave di cifratura    

Terminologia  6 Gli algoritmi simmetrici possono essere suddivisi in cifrari di blocco e cifrari di flusso I cifrari di flusso codificano un singolo carattere del messaggio alla volta, mentre i cifrari di blocco trasformano l’informazione a blocchi (di varia granularità) I cifrari asimmetrici permettono la pubblicazione della chiave di cifratura, consentendo a chiunque di cifrare messaggi con tale chiave, mentre solo il legittimo destinatario (colui che conosce la chiave di decifrazione) può decifrare il messaggio La chiave di cifratura è anche detta chiave pubblica e la chiave di decifrazione chiave privata

Crittografia classica  1 Scopo della crittografia è permettere a due persone, Alice e Bob, di comunicare attraverso un canale insicuro, in modo tale che una spia, Oscar, non possa comprendere il contenuto del messaggio Il canale può essere una normale linea telefonica, la rete, etc. L’informazione che Alice invia a Bob, il plaintext, o testo in chiaro, può essere testuale, numerica, etc. Alice “cripta” il plaintext, utilizzando una chiave predefinita, ed invia il testo cifrato sul canale Oscar non può determinare il contenuto del messaggio, ma Bob, che conosce la chiave, può decifrare il testo cifrato e ricostruire il plaintext

Crittografia classica  2 Formalmente… Definizione 1 Un crittosistema è una quintupla (P,C,K,E,D) per cui valgono le seguenti condizioni P è un insieme finito di plaintext C è un insieme finito di testi cifrati K, lo spazio delle chiavi, è un insieme finito di possibili chiavi Per ogni kK, esiste una regola di codifica ekE ed una corrispondente regola di decodifica dkD; per ogni funzione ek: PC e dk: CP, dk(ek(x))=x, per ogni xP

Crittografia classica  3 Alice e Bob impiegheranno il seguente protocollo per realizzare uno specifico crittosistema Scelta di una chiave k: deve avvenire quando Alice e Bob sono nello stesso posto e non osservati da Oscar, ovvero quando possono utilizzare un canale sicuro Se Alice vuole comunicare a Bob il messaggio, rappresentato dalla stringa x=x1x2…xn, n  1, ciascun xi viene codificato per mezzo della regola ek, cioè yi=ek(xi), ed il testo cifrato trasmesso è rappresentato dalla stringa y=y1y2…yn Quando Bob riceve il messaggio y, lo decifra usando la funzione di decodifica dk, ricostruendo il plaintext x

Crittografia classica  4 Canale sicuro Bob Chiave Oscar k Codifica y Decodifica x Alice Note Le funzioni di codifica sono iniettive: se esistessero x1x2 tali che y=ek(x1)=ek(x2), Bob non potrebbe decodificare univocamente il messaggio Se P=C, il testo cifrato viene composto utilizzando caratteri tratti dallo stesso alfabeto del plaintext x, organizzati diversamente a formare la stringa y

I gruppi  1 Un gruppo è un insieme G munito di un’operazione binaria che ad ogni coppia di elementi a,b di G associa un elemento ab, e che gode delle seguenti proprietà: proprietà associativa: dati a,b,cG, vale (ab)c = a(bc) esistenza dell’elemento neutro: esiste in G un (unico) elemento neutro rispetto a , cioè tale che ae = ea = a per ogni a G esistenza dell’inverso: ad ogni elemento a di G è associato un elemento b, detto inverso di a, tale che ab = ba = e

I gruppi  2 ab = ba per ogni coppia a,b di elementi di G Esempi: I numeri interi sono un gruppo rispetto all’addizione Le potenze di un qualsiasi numero costituiscono un gruppo rispetto alla moltiplicazione (l’elemento neutro è 1) Un gruppo si dice commutativo, o abeliano, se vale anche la proprietà commutativa ab = ba per ogni coppia a,b di elementi di G

Aritmetica modulare  1 Definizione 2 Definizione 3 Siano a e b interi ed m intero positivo; ab (mod m), se m divide ba, cioè a è congruo b modulo m; l’intero m è il modulo Definizione 3 L’aritmetica modulo m è costituita dall’insieme Zm degli interi {0,1,…,m1} dotato delle operazioni di somma e moltiplicazione; le operazioni producono risultati ridotti modulo m Esempio 1 In Z16, l’operazione 1113 produce come risultato il numero 143 (mod 16)=15

Aritmetica modulare  2 Proprietà delle operazioni modulari L’insieme Zm è chiuso rispetto all’addizione ed alla moltiplicazione, cioè per ogni a,b Zm, ab, ab  Zm L’addizione e la moltiplicazione godono delle proprietà commutativa e associativa 0 è l’elemento neutro per l’operazione di addizione, 1 è l’elemento neutro per la moltiplicazione Per ogni a  Zm, ma è l’opposto di a, cioè vale la relazione a(ma)=(ma)a=0 La moltiplicazione gode della proprietà distributiva (destra e sinistra) rispetto all’addizione, cioè per ogni a,b,cZm, (ab)c=acbc, a(bc)=abac Zm è un gruppo abeliano rispetto all’operazione di somma e, grazie alla presenza della moltiplicazione, con le proprietà sopra descritte, è un anello

Aritmetica modulare  3 Dato che Zm contiene l’opposto, rispetto alla somma, di ogni elemento dell’insieme, è ivi definita anche l’operazione di sottrazione ab = amb (mod m ) Esempio 2 Per calcolare 1118 in Z31, si esegue l’operazione di somma 1113 (mod 31), ottenendo 24 Teorema 1 (Piccolo teorema di Fermat) Sia p un numero primo t.c. xp = x mod(p); se x non è divisibile per p, allora xp1 = 1 mod(p) Esempio: 23 = 2 (mod 3)  8 = 2 (mod 3) 22 = 1 (mod 3)  4 = 1 (mod 3)

Shift cipher  1 Il crittosistema SHIFT cipher è definito in Z26, poiché 26 sono le lettere che compongono l’alfabeto inglese Per k=3, il crittosistema a shift è il Cifrario di Cesare, che lo utilizzava per comunicare con i generali delle sue legioni e per le comunicazioni familiari Siano P=C=K=Z26. Per 0  k  25, ek(x) = x  k (mod 26) dk(y) = y  k (mod 26) x,yZ26

Shift cipher  2 Per utilizzare Shift cipher per codificare testo, occorre stabilire una corrispondenza biunivoca fra le lettere dell’alfabeto ed il relativo numero d’ordine; quindi è necessario scegliere la chiave k Esempio 3 Sia k=11; la stringa plaintext we will meet at midnight può essere convertita nella sequenza di numeri 22 4 22 8 11 11 12 4 4 19 0 19 12 8 3 13 8 6 7 19 cui deve essere sommato il numero 11 (mod 26) 7 15 7 19 22 22 23 15 15 4 11 4 23 19 14 24 19 17 18 4 La sequenza di numeri ottenuta, nuovamente tradotta in caratteri, fornisce hphtwwxppelextoytrse

Shift cipher  3 Per decodificare il testo cifrato, Bob deve prima convertirlo nella corrispondente sequenza di interi, quindi sottrarre 11 (mod 26) da ognuno di essi, ed infine convertire gli interi così ottenuti nelle lettere corrispondenti Perché un crittosistema sia operativo, deve soddisfare certe proprietà: Le funzioni di codifica, ek, e di decodifica, dk, devono essere computazionalmente poco onerose Una eventuale spia non deve essere in grado di risalire alla chiave k né al plaintext x dall’osservazione del testo cifrato y La seconda proprietà esprime l’idea di “sicurezza”

Shift cipher  4 Il tentativo di determinare la chiave k, dato il testo cifrato y, costituisce la crittoanalisi : se Oscar può risalire a k, può anche decrittare y, come Bob, utilizzando dk  Il problema di determinare k deve essere almeno difficile quanto quello di decifrare x a partire da y Shift cipher è un crittosistema che non garantisce la sicurezza, poiché può essere crittoanalizzato attraverso il metodo ovvio di ricerca esaustiva della chiave (su solo 26 possibili…)

Shift cipher  5 Esempio 4 Dato il testo cifrato jbcrclqrwcrvnbjenbwrwn, provando in successione le chiavi k=1,2,… si ottiene iabqbkpqvbqumaidmavqvm hzapajopuaptlzhclzupul gyzozinotzoskygbkytotk fxynyhmnsynrjxfajxsnsj ewxmxglmrxmqiweziwrmri dvwlwfklqwlphvdyhvqlqh cuvkvejpkvkogucxgupkpg btujudijoujnftbwftojof a stitch in time saves nine  il plaintext è decifrato e k=9 In media, occorrono 26/2=13 tentativi per violare il crittosistema Un punto a tempo ne risparmia cento

Sicurezza Una condizione necessaria affinché il crittosistema sia sicuro è costituita dall’impossibilità di eseguire una ricerca esaustiva nello spazio delle chiavi Tuttavia, anche per |K| molto grande, la sicurezza non è garantita

Substitution cipher  1 Siano P=C=Z26 Sia K l’insieme delle permutazioni di {0,1,…,25} Per ogni K e(x) = (x) d(y) = 1 (y) x,yZ26 e 1 permutazione inversa di  Esempio 5 a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z e(a)=x, e(b)=n, etc. d(a)=d, d(b)=l, etc. x n y a h p o g z q w b t s f l r c v m u e k j d i

Substitution cipher  2 Una chiave per SUBSTITUTION cipher è una delle possibili permutazioni dei 26 caratteri dell’alfabeto Il numero di tali permutazioni è 26! > 4.01026  la ricerca esaustiva nello spazio delle chiavi è computazionalmente troppo onerosa anche per un computer Tuttavia, Substitution cipher può essere facilmente crittoanalizzato utilizzando metodi statistici (basati sulla frequenza delle lettere, dei digrammi, etc.) Nota Shift cipher è un caso speciale di Substitution cipher in cui vengono selezionate soltanto 26 delle 26! possibili permutazioni

Affine cipher  1 Per AFFINE cipher, l’insieme delle funzioni di codifica è ristretto alla classe delle trasformazioni affini (in aritmetica modulare) e(x)=axb (mod 26) a,bZ26 Per a=1, Affine cipher coincide con Shift cipher Per poter decifrare un testo cifrato mediante Affine cipher è necessario che la funzione e() sia iniettiva, cioè che la congruenza axb  y (mod 26) ammetta un’unica soluzione Teorema 2 La congruenza axb (mod m) ha un’unica soluzione in Zm, per ogni bZm, se e solo se MCD(a,m)=1

Affine cipher  2 Infatti, in Z26… Supponiamo che MCD(a,26)=d>1, allora la congruenza ax0 (mod 26) ammette almeno due soluzioni distinte in Z26, cioè x=0 e x=26/d  la funzione di codifica e(x)=axb (mod 26) non è iniettiva Esempio 6: Se a=4, MCD(4,26)=2 e, per e(x)=4x7, e(3)=19, e(16)=71=19, ovvero x, x e x13 producono lo stesso valore per e(x) Viceversa, sia MCD(a,26)=1 e siano x1x2, tali che ax1ax2 (mod 26); allora a(x1x2)0 (mod 26); in base alle proprietà della divisione, se il MCD(a,26)=1 e a(x1x2) è divisibile per 26, (x1x2) è divisibile per 26, cioè x1x2 (mod 26) Poiché 26=213, possibili valori per aZ26 sono 1,3,5,7,9,11,15,17,19,21,23,25, mentre b può assumere qualsiasi valore in Z26  Affine cipher dispone di 1226=312 chiavi possibili (…è sicuramente insicuro!)

Affine cipher  3 Definizione 4 Siano a ed m interi tali che a1 e m2; se MCD(a,m)=1 allora a ed m sono relativamente primi fra loro. Il numero degli interi in Zm che sono primi rispetto ad m è rappresentato dalla funzione di Eulero (m) Teorema 3 Sia m =  pi con pi fattori primi distinti di m ed ei>0. Allora (m)=  (pi  pi )  Il numero di chiavi per Affine cipher in Zm è m(m) Esempio 7 Per m=60=2235, (m)=224=16 e |K|=960 n ei i=1 n ei ei1 i=1

Affine cipher  4 Per decifrare il testo codificato tramite Affine cipher occorre risolvere la congruenza yaxb (mod 26) rispetto ad x, che ha soluzione unica quando MCD(a,26)=1 Definizione 5 Sia aZm; l’inverso di a, a1 Zm, è tale che aa1  a1a  1 a ha un inverso modulo m se e solo MCD(a,m)=1 e, se un inverso esiste, è unico Se p è un numero primo, allora ogni elemento 0 di Zp ammette un inverso; un anello con questa proprietà è un campo Esistono algoritmi efficienti per il calcolo dell’inverso; tuttavia, in Z26 l’inverso può essere calcolato per tentativi Ad esempio, 71=15, 111=19, 251=25; infatti 715=1051 (mod 26), 1119=2091, 2525=6251

a1(ax)a1(yb) (mod 26)  xa1(yb) (mod 26) Affine cipher  5 Sia yaxb (mod 26), da cui axyb (mod 26); poiché MCD(a,26)=1, a ammette un inverso modulo 26; pertanto, moltiplicando entrambi i membri della congruenza, per a1… a1(ax)a1(yb) (mod 26)  xa1(yb) (mod 26) Siano P=C=Z26, K ={(a,b)Z26Z26: MCD(a,26)=1} Per k=(a,b)K, siano ek(x) = axb (mod 26) dk(y) = a1 (yb) (mod 26) x,yZ26

dk(ek(x))=dk(7x3)=15(7x3)19=x4519=x Affine cipher  6 Esempio 8 Sia k=(7,3); 71 (mod 26)=15; la funzione di codifica è ek(x)=7x3 mentre la corrispondente funzione di decodifica risulta dk(y)=15(y3)=15y19 Si può verificare che dk(ek(x))=x, xZ26, infatti… dk(ek(x))=dk(7x3)=15(7x3)19=x4519=x Esempio 9 Supponiamo di dover convertire il plaintext hot, che corrisponde alla sequenza di cifre 7 14 19; la funzione di codifica restituisce 773 (mod 26)=52 (mod 26)=0 7143 (mod 26)=101 (mod 26)=23 7193 (mod 26)=136 (mod 26)=6 da cui il testo cifrato axg

Vigenere cipher  1 Sia Substitution che Affine cipher, una volta selezionata la chiave, mappano in modo univoco ciascuna lettera dell’alfabeto  sono crittosistemi monoalfabetici VIGENERE cipher, da Blaise de Vigenere (15231596), è invece un crittosistema polialfabetico Sia m un intero fissato e siano P=C=K=(Z26)m Per k=(k1,k2,…,km)K, definiamo ek(x1,x2,…,xm) = (x1k1,x2k2,…,xmkm) dk(y1,y2,…,ym) = (y1k1,y2k2,…,ymkm) dove tutte le operazioni sono eseguite modulo 26

vpxzgiaxivwpubttmjpwizitwzt Vigenere cipher  2 Esempio 10 Sia m=6 e sia k=CIPHER o, in maniera equivalente, k=(2,8,15,7,4,17); supponiamo che il plaintext sia costituito dalla stringa this cryptosystem is not secure, corrispondente a… 19 7 8 18 2 17 24 15 19 14 18 24 18 19 4 12 8 18 13 14 19 18 4 2 20 17 4 19 7 8 18 2 17 24 15 19 14 18 24 18 19 4 12 8 18 13 14 19 18 4 2 20 17 4  2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17 2 8 15 7 4 17 2 8 15 = _______________________________________________________________________ 21 15 23 25 6 8 0 23 8 21 22 15 20 1 19 19 12 9 15 22 8 25 8 19 22 25 19 vpxzgiaxivwpubttmjpwizitwzt

Vigenere cipher  3 Il numero complessivo di chiavi di lunghezza m è 26m  anche per m piccolo la ricerca esaustiva è computazionalmente onerosa Ad esempio, per m=5, |K|>107: la ricerca a mano è preclusa, ma il computer può ragionevolmente realizzarla In Vigenere cipher, con chiave di m caratteri, ciascuna lettera dell’alfabeto può essere mappata in base ad uno qualsiasi degli m caratteri possibili (se la chiave è costituita da tutti caratteri distinti) La crittoanalisi di sistemi polialfabetici è generalmente molto più difficile

Hill cipher  1 HILL cipher fu inventato nel 1929 da Lester S. Hill ed è un crittosistema polialfabetico Sia m un intero e siano P=C=(Z26)m; l’operazione di codifica avviene considerando m combinazioni lineari di m caratteri consecutivi nel plaintext, e producendo gli m caratteri corrispondenti del testo cifrato Esempio 11 Sia m=2; una sezione elementare del plaintext può essere rappresentata da (x1,x2), ed il corrispondente testo cifrato da (y1,y2), dove y1=11x13x2 y2= 8x17x2 o, in notazione matriciale… (y1,y2)T=(x1,x2) ( ) 11 8 3 7

Hill cipher  2 In generale, si considera una matrice K, mm, quale chiave per Hill cipher, e la funzione ek(x) viene calcolata come ek(x)=(y1,y2,…,ym)T=(x1,x2,…,xm) In altre parole y=xTK: il testo cifrato è ottenuto dal plaintext attraverso una trasformazione lineare Se l’inversa della matrice K esiste in Z26, per decifrare il testo cifrato e ricostruire il plaintext, si applica la trasformazione xT=yK1 Esempio 12 = ( ) k11 k12 … k1m k21 k22 … k2m km1 km2 … kmm … … ( ) 1 ( ) 11 8 3 7 7 18 23 11

( ) ( ) Hill cipher  3 Esempio 13 Supponiamo di voler codificare il plaintext july, cui corrisponde la sequenza di numeri (9,20,11,24) (9,20) =(9960,72140)=(3,4) (11,24) =(12172,88168)=(11,22)  Il testo cifrato è delw ( ) 11 8 3 7 ( ) 11 8 3 7

Hill cipher  4 Una matrice reale K possiede l’inversa se e solo se det(K)0 In Z26, K ammette un’inversa se e solo se MCD(det(K),26)=1; infatti… Sia MCD(det(K),26)=1; per 1im, 1jm, sia Kij la matrice ottenuta da K eliminando la riga iesima e la colonna jesima; sia K* tale K*ij=(1)i+j det(Kji)  K* è l’aggiunta di K; si può dimostrare che K1=(det(K))1 K*  K è invertibile Viceversa, se K ammette l’inversa K1, si ha 1=det(I)=det(KK1)=det(K) det(K1)  det(K) è invertibile in Z26  MCD(det(K),26)=1

( ) ( ) ( ) ( ) Hill cipher  5 Esempio 14 Nel caso particolare m=2, A1=(det(A))1 Considerando la matrice degli esempi precedenti… det =11783 (mod 26)=7724 (mod 26) =53 (mod 26)=1 Inoltre 11 (mod 26)=1 e quindi = ( ) a22 a12 a21 a11 ( ) 11 8 3 7 ( ) ( ) 1 11 8 3 7 7 18 23 11

Hill cipher  6 Sia m un intero positivo fissato Siano P=C=(Z26)m Sia K={matrici invertibili mm in Z26} Per ogni AK eK(x) = xTA dK(y) = yA1 dove tutte le operazioni sono eseguite modulo 26

Permutation cipher  1 Tutti i crittosistemi descritti finora presuppongono la sostituzione dei caratteri del plaintext con caratteri differenti che costituiscono il testo cifrato L’idea sottesa a PERMUTATION cipher è quella di mantenere i caratteri del plaintext inalterati, cambiandoli di posizione Permutation (o Transposition) cipher è stato usato per oltre 400 anni: già nel 1536, G. B. Porta ne evidenziò le differenze rispetto ai cifrari per sostituzione Sia m un intero positivo fissato. Siano P=C=(Z26)m K insieme delle permutazioni di {0,1,…,m1}. Per ogni K e(x1,x2,…,xm) = (x(1),x(2),…x(m)) d(y1,y2,…,ym) = (y (1), y (2),… y (m)) 1 permutazione inversa di  1 1 1

Permutation cipher  2 Esempio 15 Sia m=6 e sia k= la permutazione:  1: Se dunque il plaintext è rappresentato dalla stringa she sells sea shells by the sea shore… shesel lsseas hellsb ythese ashore  eeslsh salses lshble hsyeet hraeos cioè eeslshsalseslshblehsyeethraeos Il testo cifrato può essere decifrato applicando la permutazione inversa 1 3 4 2 6 5 1 3 2 4 5 6

Permutation cipher  3 Permutation cipher è un caso particolare di Hill cipher; infatti, ad ogni permutazione , può essere associata una matrice di permutazione K definita come Kij = Una matrice di permutazione è ottenuta permutando  per righe o per colonne  la matrice identità I Hill cipher realizzato attraverso una matrice di permutazione K produce esattamente Permutation cipher con permutazione ; inoltre (K )1=K , cioè l’inversa della matrice K è la matrice di permutazione definita da 1  { 1 se i=(j) 0 altrimenti    -1 

( ) ( ) Permutation cipher  4 Esempio 16 Alla permutazione : ed alla sua inversa 1: corrispondono, rispettivamente, le matrici K = K = 1 3 4 2 6 5 1 3 2 4 5 6 ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0   -1

Stream cipher  1 Nei crittosistemi visti finora, i caratteri (o le stringhe) successivi che costituiscono il plaintext vengono codificati utilizzando la stessa chiave k, cioè il testo cifrato viene ottenuto come y=y1y2…=ek(x1)ek(x2)… Crittosistemi di questo tipo sono detti cifrari a blocchi Un approccio alternativo presuppone l’utilizzo di STREAM cipher, in cui un flusso di chiavi z=z1,z2… viene progressivamente generato ed utilizzato per codificare il plaintext Fissata una chiave kK, Stream cipher genera la successione di chiavi zi=fi (k,x1,…,xi1) che vengono impiegate per ottenere il testo cifrato y=y1y2…=ez (x1)ez (x2)… 1 2

Stream cipher  2 Formalmente... Definizione 6 Un cifrario di flusso è rappresentato da una tupla (P,C,K,L,F,E,D) per cui valgono le seguenti condizioni P è un insieme finito di plaintext C è un insieme finito di testi cifrati K, lo spazio delle chiavi, è un insieme finito di possibili chiavi L è l’alfabeto finito del flusso di chiavi F=(f1, f2,…) è il generatore del flusso di chiavi fi: KPi1  L Per ogni zL, esiste una regola di codifica ezE ed una corrispondente regola di decodifica dzD; per ogni funzione ez: PC e dz: CP, dz(ez(x))=x, per ogni xP

Stream cipher  3 Un cifrario a blocchi è un caso particolare di Stream cipher in cui il flusso di chiavi è costante, zi=k, i1 Stream cipher è sincrono se il flusso di chiavi è indipendente dal plaintext, cioè la funzione f dipende solo da k; k è il “seme” che viene espanso in un flusso di chiavi Stream cipher è periodico, con periodo d, se zid=zi, i1 Vigenere cipher, con chiave di lunghezza m, è uno Stream cipher periodico con periodo m e con z=(z1,z2,…zm); in quest’ottica, le funzioni di codifica e di decodifica di Vigenere cipher corrispondono con quelle di Shift cipher ez(x) = x  z dz(y) = y  z

Stream cipher  4 Gli Stream cipher sono spesso descritti per mezzo dell’alfabeto binario, cioè P=C=L=Z2, con funzioni di codifica/decodifica date da ez(x) = x  z (mod 2) dz(y) = y  z (mod 2) L’addizione modulo 2 realizza l’operazione di XOR, quindi le funzioni di codifica/decodifica possono essere implementate in hardware in modo molto efficiente

Stream cipher  5 Un altro metodo per generare il flusso di chiavi consiste, a partire dal seme (k1,k2,…,km), nell’utilizzare una relazione di ricorrenza lineare zim=  cjzij (mod 2) con c0,c1,…,cm1Z2 costanti predefinite; senza perdita di generalità, c0=1 La chiave k consiste dei 2m valori (k1,k2,…,km,c0,c1,…,cm1) Se (k1,k2,…,km)=(0,0,…,0) il flusso di chiavi è completamente costituito da 0: situazione da evitare! Viceversa, mediante un’opportuna scelta delle costanti c0,c1,…,cm1, per qualsiasi altro valore del vettore di inizializzazione (k1,k2,…,km), si ottiene un flusso periodico, con periodo 2m1 Un “seme breve” produce uno Stream cipher con periodo lungo… difficile da violare m1 j=0

Stream cipher  6 Esempio 17 Sia m=4 e (k1,k2,k3,k4)=(1,0,0,0); utilizzando la regola di ricorsione lineare zi4=zi+zi1 (mod 2) con (c0,c1,c2,c3)=(1,1,0,0), si ottiene il flusso di chiavi, di periodo 15, 1,0,0,0,1,0,0,1,1,0,1,0,1,1,1,… Qualsiasi altro vettore di inizializzazione diverso da 0, a parità di ci, i=0,…,3, produrrà una permutazione ciclica dello stesso flusso di chiavi

La crittoanalisi  1 Analizzando il contenuto di un testo cifrato, e non conoscendo l’algoritmo di cifratura, attraverso tecniche statistico/matematiche si possono comunque ottenere informazioni sul testo in chiaro Per fortuna ciò non è sempre possibile: la maggior parte dei cifrari moderni è ancora al sicuro da tecniche di crittoanalisi La storia ci insegna però che non esistono cifrari inviolabili

La crittoanalisi  2 I tipi di attacco alla sicurezza dei crittosistemi si distinguono in… Ciphertextonly  l’intruso è venuto a conoscenza di una stringa di testo cifrato y Known plaintext  l’intruso conosce una stringa di plaintext x, ed il corrispondente testo cifrato y Chosen plaintext  l’intruso ha ottenuto accesso temporaneo al meccanismo di cifratura: può quindi scegliere un plaintext x e costruire il corrispondente testo cifrato y Chosen ciphertext  l’intruso ha ottenuto accesso temporaneo al meccanismo di decifratura: può quindi scegliere un testo cifrato y e costruire il corrispondente plaintext x

Un esempio di crittoanalisi  1 Crittoanalisi statistica del cifrario di Cesare Il cifrario di Cesare, come la maggior parte dei cifrari storici basati su trasposizioni e traslazioni, può essere facilmente violato utilizzando tecniche statistiche (crittoanalisi statistica) Si analizzano le frequenze relative dei caratteri nel testo cifrato e le si confrontano con quelle di una lingua conosciuta, ad esempio l’italiano

Un esempio di crittoanalisi  2 Testo in chiaro: prova di trasmissione Crittogramma: surbdgnzudvpnvvnrqh Le frequenze relative al testo cifrato risultano s(1/19), u(2/19), r(2/19), b(1/19), d(2/19), g(2/19), n(3/19), z(1/19), v(3/19), p(1/19), h(1/19) Si confrontano tali frequenze con quelle delle singole lettere nella lingua italiana: a(0.114), e(0.111), i(0.104), o(0.099), t(0.068), r(0.065),...

Un esempio di crittoanalisi  3 Con queste informazioni si ottiene, in prima approssimazione, la stringa srobagizravpivvioqh, a partire dalla quale si può reiterare il procedimento