Cammini minimi con una sorgente Problema dei cammini minimi Varianti e archi negativi Sottostruttura ottima di un cammino minimo Algoritmo di Dijkstra Complessità dell’algoritmo Rappresentazione dei cammini minimi

Problema dei cammini minimi Input: un grafo G=(V,E) orientato e pesato, con una funzione peso w: E → R, che associa ad ogni arco in E un peso a valore nei reali. 1 9 1 8 1 2 1 2 1 1 1 3 1 3 3 3 6 6 1 6 1 4 4 4 1 -3 5 5 1 -1

Problema dei cammini minimi Il peso di un cammino p= <v1, v2, …,vk> è la somma dei pesi degli archi che lo costituiscono. p1= <PO, FI, SI> = 15 min + 50 min = 65 min p2 = <PO, FI, AR, SI> = 15 min + 35 min + 40 min = = 90 min p3 = <PO, FI, PI, LI, GR, SI> = 160 min MC 50 PT 20 35 LU 20 25 PO 20 15 PI 60 FI 35 LI 50 AR 65 SI 40 70 GR

Problema dei cammini minimi Il peso di un cammino minimo dal vertice u al vertice v è definito da: Un cammino minimo dal vertice u al vertice v è definito come un qualunque cammino p con peso w(p) = δ(u,v). Può non essere unico! δ(6,1) = 7 p1 = <6, 2, 3, 1 > w(p1) = 7 p2 = <6, 1> w(p2) = 9 p3 = <6, 5, 6, 2, 3, 1 > w(p3) = 9 p4 = <6, 5, 4, 3, 1 > w(p4) = 7 9 8 1 2 1 3 3 3 3 6 3 4 -2 5 -1

Vari problemi Problema di cammini minimi con sorgente singola: si vuole trovare un cammino minimo da un dato vertice sorgente s ad ogni vertice v in V. Problema di cammini minimi con destinazione singola: si vuole trovare da ogni vertice v in V un cammino minimo ad un dato vertice destinazione t. Problema di cammini minimi tra una coppia: si vuole trovare un cammino minimo da u a v. Problema di cammini minimi tra tutte le coppie: determinazione di un cammino minimo per ogni coppia di vertici u e v.

Archi con pesi negativi Un possibile problema può essere rappresentato dalla presenza di pesi negativi sugli archi e di cicli che contengano archi con pesi negativi. Se il peso di un ciclo è negativo, allora tutti i nodi raggiungibile dal ciclo hanno un cammino minimo infinitamente negativo (-∞). Ciclo <6,5> negativo. Ogni volta che compio un giro diminuisco il peso del cammino che passa per il ciclo. δ(6,1) = -∞ 9 8 1 2 1 3 3 3 3 6 3 4 -2 5 -7

Sottostruttura ottima di un cammino minimo Sottocammini di cammini minimi sono cammini minimi Dato un grafo G=(V,E) con funzione peso w:E→ R, sia p= <v1, v2, …,vk> un cammino minimo da v1 a vk. Per ogni i e j tali che 1 ≤ i ≤ j ≤ k, ha che il sottocammino pij= <vi, vi+1, …,vj> è un cammino minimo. w(pij)=δ(i,j) 1 i j k p’ij Dato un altro sottocammino da i a j p’ij, necessariamente w(pij ) ≤ w(p’ij), altrimenti il cammino minimo passa per p’ij.

Sottostruttura ottima di un cammino minimo Di conseguenza: Si supponga che un cammino minimo p da una sorgente ad un vertice v passi per l’arco (u,v) con peso w(u,v). Il peso del cammino minino da s a v è δ(s,v) = δ(s,u) + w(u,v). δ(s,u) cammino minimo tra u e v δ(s,v) = δ(s,u) + w(u,v). w(u,v) i u v Più in generale, se esiste un arco (u,v), allora si ha: δ(s,v) ≤ δ(s,u) + w(u,v).

Algoritmo di Dijkstra L’algoritmo di Dijkstra risolve il problema dei cammini minimi con sorgente singola su un grafo orientato e pesato G=(V,E) nel caso in cui tutti i pesi degli archi siano non negativi. Ci sono due insiemi: S: dove d[v] = δ(s,v), quindi un cammino minimo tra s e v è stato determinato. Q = V-S: una coda a priorità dove d[v] ha il valore del cammino con peso minore finora scoperto. All’inizio, S contiene solo s, d[s]=0, mentre Q=V-{s} con d[v]=∞.

Algoritmo di Dijkstra DIJKSTRA(G,w,s) for ogni vertice u in V[G] // inizializzazione di ogni vertice do d[u] ← ∞ p[u] ← NIL d[s] ← 0 // si comincia dal vertice s Q ← V[G] // coda a priorità S ← Ø // insiemi dei cammini minimi trovati while Q≠Ø // termina quando la coda Q è vuota do u ← EXTRACT-MIN(Q) // prendi il cammino in Q più piccolo S ← S U {u} // inserisci u in S for ogni vertice v in Adj[u] // aggiorna cammini minimi in Q con v adiacente a u do if d[v] > d[u] + w(u,v) then d[v] ← d[u] + w[u,w] p[v] ← u

Esempio 10 u v 10 u v 10 u v 1 1 1 ∞ ∞ 10 ∞ 8 14 s 3 s 3 3 9 9 s 9 2 2 2 4 6 4 6 4 6 7 7 7 ∞ ∞ 5 ∞ 5 7 5 2 5 2 5 2 x y x y x y (a) (b) (c) 10 u v 10 u v 10 u v 1 1 1 8 13 8 9 8 9 s 3 s 3 3 9 9 s 9 2 2 2 4 6 4 6 4 6 7 7 7 5 7 5 7 5 7 5 2 5 2 5 2 x y x y x y (d) (e) (f)

Correttezza algoritmo Se si esegue un l’algoritmo di Dijkstra su un grafo orientato e pesato G=(V,E) nel caso in cui tutti i pesi degli archi siano non negativi, allora al termine vale d[v] = δ(s,v) per ogni v in V. Dimostrazione Supponiamo per assurdo che u sia il primo vertice ad entrare in S tale che d[u] ≠ δ(s,u). Prendiamo un cammino minimo da s a u, che può essere decomposto in s→x→y→u, con x in S, y in Q e (x,y) arco di G. S Può essere s = x o y = u s x y p1 p2 u

Correttezza algoritmo d[x] = δ(s,x) x è entrato prima di u in S. S s x y p1 p2 u Si ha anche d[y] = δ(s,y) = δ(s,x) + w(x,y), perché sottocamino di un cammino minimo. Inoltre d[y] = δ(s,y) ≤ δ(s,u) ≤ d[u]. Nell’algoritmo u viene scelto prima di y (EXTRACT-MIN(Q)), quindi deve valere l’uguaglianza: d[y] = δ(s,y) = δ(s,u) = d[u]. ASSURDO! δ(s,u) ≠ d[u].

Complessità Si consideri che la coda con priorità Q come un array lineare: Inizzializzazione tempo O(|V|) EXTRACT-MIN(Q): ricerca del minimo in Q. Bisogna vedere tutti i valori in Q, richiede tempo O(|V|) EXTRACT-MIN(Q) viene eseguito per ogni vertice quindi il tempo totale è O(|V|x|V|) = O(|V|2) Come in BFS vengono, si esamina la lista di adiacenza di ogni vertice v, che entra solo una volta in S. La somma di tutte liste di adiacenze è |E|. Il tempo totale dell’algoritmo di Dijkstra è O(|V|+|E|+|V|2).

Rappresentazione dei cammini minimi Come nella visita in ampiezza (BFS), l’algoritmo Dijkstra definisce un sottografo dei predecessori Tp=(Vp,Ep). L’albero che ne segue contiene i cammini minimi individuati da s ad ogni vertice raggiungibile v. Nota: questo vale solo al termine dell’algoritmo. 10 u v u v 1 1 8 9 8 9 s 3 3 9 s Tp=(Vp,Ep) 2 4 6 7 5 7 5 7 5 2 5 2 x y x y