Alessandra Del Piccolo La meravigliosa storia della radice quadrata di 2 Alessandra Del Piccolo 14 marzo 2011 IMS "Berti"

Radice quadrata di 2 Numero che, moltiplicato per se stesso, dà 2 Lunghezza del lato del quadrato di area 2

Capitolo I: Appunti di storia Greci Arabi Babilonesi XIX – XVI a.C. VI a.C. – III d.C. VIII – XIV d.C.

1900 – 1600 a.C. Rapporto tra diagonale e lato del quadrato Costante fondamentale Incredibile accuratezza YBC 7289 (Yale Babylonian Collection)

errore dall'ottava cifra decimale Cina V sec.d.C. 24.576 lati! Tsu Ch’ung-chih errore dall'ottava cifra decimale

Scuola Pitagorica di Crotone VI-V sec. a.C. Pitagora di Samo (VI sec a.C.) esigenza dimostrativa “tutto è numero” aritmogeometria scoperta delle grandezze incommensurabili “La scoperta dell’incommensurabilità reciproca di certe lunghezze, prima fra tutte la diagonale del quadrato e il suo lato, dovette rappresentare fin dal primo momento un vero scandalo logico, uno scoglio temibile, indipendentemente dal fatto che fosse opera del Maestro o dei suoi discepoli. […] Se la scuola pitagorica ebbe mai dei misteri riservati ai soli iniziati, l’incommensurabilità dovette quindi farne parte”. Paul Tannery - 1882

La scuola di Atene - dettaglio Dialoghi platonici Menone (380 a.C.) SOCRATE: Coloro che se ne intendono chiamano questa linea diagonale; sicché, se essa ha nome diagonale, allora dalla diagonale, come tu dici, o ragazzo di Menone, si può ottenere l'area doppia. RAGAZZO: Certamente, o Socrate. Teeteto (368 – 365 a.C.) TEETETO: Teodoro disegnava un qualcosa per noi intorno alle potenze, per esempio su quella di tre piedi e su quella di cinque, mostrando che per lunghezza queste potenze non si possono misurare con la lunghezza di un piede. E così scegliendo una per ciascuna le potenze giunse fino alla diciassettesima e in questa si trattenne. La scuola di Atene - dettaglio Raffaello Sanzio (1508-11)

EVCLIDE MEGARENSE PHILOSOPHO, SOLO INTRODVTTORE DELLE SCIENTIE MATHEMATICE. DILIGENTEMENTE RASSETTATO, ET ALLA integrità ridotto, per il degno professore di tal Scientie Nicolo Tartalea Brisciano. SECONDO LE DVE TRADOTTIONI. CON VNA AMPLA ESPOSITIONE dello istesso tradottore di nuovo aggiunta. TALMENTE CHIARA, CHE OGNI MEDIOCRE ingegno, senza la notitia, ouer suffragio di alcun'altra scientia con facilità serà capace a poterlo intendere. IN VENETIA. Appresso Curtio Troiano 1565 Euclide – 300 a.C. ca. La proposizione 9 del libro X stabilisce per via geometrica l’irrazionalità dei numeri di tipo per ogni intero n che non sia un quadrato perfetto. La scuola di Atene - dettaglio Raffaello Sanzio (1508-11)

Medioevo (476 caduta di Roma, 1453 caduta di Costantinopoli) Grande fioritura della cultura islamica (750 – 1400) traduzioni e commenti dei classici (Euclide, Tolomeo, Archimede, Apollonio…) Mohammed ibn Musa al-Khowârizmî (780 – 850) Astronomo; scrive Al-jabr w’al muqâbala Omar Al-Khayyam (1048 - 1123) soluzione geometrica delle equazioni di terzo grado critica alla teoria euclidea delle parallele

Algebra al-Khowârizmî algoritmo Al-jabr “aggiustare” sequenza finita e non ambigua di istruzioni che portano ad un risultato. al-Khowârizmî algoritmo Algebra Al-jabr “aggiustare” Don Chisciotte della Mancia (1605-1615) algebrista = conciaossa

Algebra Geometria Aritmetica Diagonale e lato del quadrato sono incommensurabili Geometria Algebra Radice quadrata di 2 è la soluzione (positiva) dell’equazione Aritmetica Radice quadrata di 2 è irrazionale

The square root of two = 1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070 388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999 505011527820605714701095599716059702745345968620147285174186408891986095523292304843087143214508397626 036279952514079896872533965463318088296406206152583523950547457502877599617298355752203375318570113543 746034084988471603868999706990048150305440277903164542478230684929369186215805784631115966687130130156 185689872372352885092648612494977154218334204285686060146824720771435854874155657069677653720226485447 015858801620758474922657226002085584466521458398893944370926591800311388246468157082630100594858704003 186480342194897278290641045072636881313739855256117322040245091227700226941127573627280495738108967504 018369868368450725799364729060762996941380475654823728997180326802474420629269124859052181004459842150 591120249441341728531478105803603371077309182869314710171111683916581726889419758716582152128229518488 472089694633862891562882765952635140542267653239694617511291602408715510135150455381287560052631468017 127402653969470240300517495318862925631385188163478001569369176881852378684052287837629389214300655869 568685964595155501644724509836896036887323114389415576651040883914292338113206052433629485317049915771 756228549741438999188021762430965206564211827316726257539594717255934637238632261482742622208671155839 599926521176252698917540988159348640083457085181472231814204070426509056532333398436457865796796519267 292399875366617215982578860263363617827495994219403777753681426217738799194551397231274066898329989895 386728822856378697749662519966583525776198939322845344735694794962952168891485492538904755828834526096 524096542889394538646625744927556381964410316979833061852019379384940057156333720548068540575867999670 121372239475821426306585132217408832382947287617393647467837431960001592188807347857617252211867490424 977366929207311096369721608933708661156734585334833295254675851644710757848602463600834449114818587655 554286455123314219926311332517970608436559704352856410087918500760361009159465670676883605571740076756 905096136719401324935605240185999105062108163597726431380605467010293569971042425105781749531057255934 984451126922780344913506637568747760283162829605532422426957534529028838768446429173282770888318087025 339852338122749990812371892540726475367850304821591801886167108972869229201197599880703818543332536460 211082299279293072871780799888099176741774108983060800326311816427988231171543638696617029999341616148 786860180455055539869131151860103863753250045581860448040750241195184305674533683613674597374423988553 285179308960373898915173195874134428817842125021916951875593444387396189314549999906107587049090260883 517636224749757858858368037457931157339802099986622186949922595913276423619410592100328026149874566599 688874067956167391859572888642473463585886864496822386006983352642799056283165613913942557649062065186 021647263033362975075697870606606856498160092718709292153132368281356988937097416504474590960537472796 524477094099241238710614470543986743647338477454819100872886222149589529591187892149179833981083788278 153065562315810360648675873036014502273208829351341387227684176678436905294286984908384557445794095986 260742499549168028530773989382960362133539875320509199893607513906444495768456993471276364507163279154 701597733548638939423257277540038260274785674172580951416307159597849818009443560379390985590168272154 034581581521004936662953448827107292396602321638238266612626830502572781169451035379371568823365932297 823192986064679789864092085609558142614363631004615594332550474493975933999125419532300932175304476533 964706627611661753518754646209676345587386164880198848497479264045065444896910040794211816925796857563 784881498986416854994916357614484047021033989215342377037233353115645944389703653166721949049351882905 806307401346862641672470110653463493916407146285567980177933814424045269137066609777638784866238003392 32437047411533187253190601916599645538115788841380843323210533767461812178014296092832411362752540887…

Capitolo II: Esperienze sensoriali

Cheese!

Moltiplicare ogni lato Duplicazione del quadrato Duplicazione di qualsiasi poligono Moltiplicare ogni lato per equivale a raddoppiare l’area del poligono.

Ogni passaggio equivale a dividere per il raggio del diaframma, quindi a dimezzare l’area del diaframma.

“Quando due cerchi toccano un medesimo quadrato in quattro punti, uno è il doppio dell’altro.” “Quando due quadrati toccano lo stesso cerchio in quattro punti, uno è il doppio dell’altro.”

Leonardo da Vinci: Uomo vitruviano – 1490 ca. Rettangolo diagonale “Le simmetrie migliori per definire le dimensioni di un atrio, elemento essenziale dell’abitazione romana, sono tre, e corrispondono ai rapporti 5/3 per la prima e 3/2 per la seconda; nel terzo si descriva la larghezza in un quadrato di lati eguali, e in questo quadrato si tiri la diagonale; e questo sarà lo spazio della detta linea, tanta sia la lunghezza dell’atrio.” Marco Vitruvio De architectura cap 4, libro IV

“Le più belle e proporzionate maniere di stanze, e che riescono meglio sono sette: percioche ò si faranno ritonde, e queste di rado: ò quadrate; ò la lunghezza loro sarà per la linea diagonale del quadrato della larghezza; ò d’un quadro & un terzo; ò d’un quadro e mezo; ò d’un quadro, e due terzi; ò di due quadri” I quattro libri dell’architettura libro I, cap. XXI Delle loggie, delle entrate, delle stanze: & della forma loro. Andrea di Pietro (1508-1580) 1 Risoluzione 259 – 16/10/10: Andrea Palladio è il "Padre" dell'architettura americana

Michel Ventrone (1936 – 2001) Porta di Armonia – 1997 Il rettangolo diagonale è lungo 9,20 metri e largo 6,50 m. Si trova ad Annemasse, in Alta Savoia.

è uguale al doppio del suo reciproco? Qual è quel numero che è uguale al doppio del suo reciproco? Ogni rettangolo diagonale contiene due rettangoli diagonali con i lati scambiati di posizione.

1975: formato a norma internazionale ISO126 Massa di un foglio A0 = 80 g Massa di un foglio A4 = 5 g

“Fa diesis non è musica ma matematica, e cioè la somma di cinques più cinques!” Alessandro Bergonzoni

" … mentre passava dinanzi all'officina di un fabbro, per sorte divina udì dei martelli che, battendo il ferro sopra l'incudine, producevano echi in perfetto accordo armonico tra loro, eccettuata una sola coppia. Egli riconobbe in quei suoni gli accordi di ottava, di quinta e di quarta e notò che l'intervallo tra quarta e quinta era in se stesso dissonante ma tuttavia atto a colmare la differenza di grandezza tra i due. Rallegrato che con l'aiuto di un dio il suo proposito fosse giunto a compimento, entrò nell'officina e dopo molto prove scoperse che la differenza nell'altezza dei suoni dipendeva dalla massa dei martelli “ Giamblico - Vita di Pitagora

"Il vero miracolo non è che i numeri hanno effetto sulle cose, quanto piuttosto che essi possono esprimere la natura delle cose.“ Johannes Kepler (1571-1630) 1597 - Mysterium cosmographicum 1609 – Astronomia nova 1619 - Harmonices mundi

Scala a temperamento equabile All’interno di ogni ottava si inseriscono undici note intermedie tali che sia costante il rapporto tra le frequenze associate a due note consecutive 1 2 Clavicembalo ben temperato 1722-1744

Capitolo III: Nemiciamici

f è medio proporzionale tra 1 rettangolo diagonale rettangolo aureo f è medio proporzionale tra 1 e il successivo di f è medio proporzionale tra 1 e il successivo di 1

f è il successivo del suo reciproco è il doppio del suo reciproco f è il successivo del suo reciproco

Spirale degli irrazionali Teodoro di Cirene (465 a.C. - ?) Spirale logaritmica Jacob Bernoulli (1654 – 1705)

Sviluppo in frazioni continue

1593: Variorum de rebus mathematicis responsorum liber VIII François Viète (1540-1603) 1655: Arithmetica infinitorum John Wallis (1616-1703)

1682: serie di Gregory-Leibniz James Gregory (1639-1675) 1748: Introductio in analysin infinitorum Leonard Euler(1707-1783)

www.polymath.it FINE