Lezione IV: Giochi e Strategie Una decisione può essere definita strategi-ca se è basata su di un’ipotesi relativa al comportamento di altri soggetti e/o mira ad influenzarlo. Ex: la scelta dei titoli di prima pagina del-l’edizione di domani del Corriere della Sera. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) GIOCO: Modello stilizzato di comportamento strategico, nel quale i risultati (payoff) di un soggetto decisore (giocatore) dipendono dalle sue azioni ma anche dalle azioni di altri soggetti (ed essi sono consa-pevoli di tale interazione). In generale, il comportamento ottimale di un gio-catore dipende dunque dalle sue congetture circa il comportamento altrui. Ex: i comportamenti degli oligopolisti (decisioni di prezzo, qualità, quantità, etc.) IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Elementi di un Gioco nella sua “Forma Normale”: 1) Insieme dei giocatori 2) Insieme delle “Regole” (chi può fare co-sa, quando e con quali informazioni) 3) Insieme delle funzioni di payoff, ovvero dei valori di utilità che i giocatori ottengono in funzione dei vari risultati possibili (combinazioni strategiche) IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Ex: Dilemma del Prigioniero Regola: scelte “simulta-nee” Le righe sono intestate al giocatore 1 (cui si riferisce il primo valore di cella) e le colonne al giocatore 2 (cui si riferisce il secondo valore di cella). Si noti che i risultati di-pendono dalle azioni di entrambi i giocatori 1\2 S D A 5,5 3,6 B 6,3 4,4 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Nel caso del Dilemma del Prigioniero (DP): 1) due giocatori: 1 e 2 2) S e D: strategie del giocatore 2 A e B: strategie del giocatore 1 (A, S), (A, D), (B, S) e (B, D): “combinazioni strategiche” cui sono associati i 4 risultati possibili 3) (5, 5), (3, 6), (6, 3) e (4, 4): valori dei payoff IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Per esempio: (3, 6) significa che se 1 scegliesse A e 2 scegliesse D, cosicché a realizzarsi sarebbe la combinazione strategica (A, D) con le conseguenze materiali che ne derivano, la valutazione di tali risultati in termini di uti-lità individuale sarebbe di 3 per il gioca-tore 1 e di 6 per il giocatore 2. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Si noti che: La regola della simultaneità delle scelte non deve essere necessariamente interpretata in senso stretto. Vale piuttosto come “assenza di informazio-ni sul comportamento della controparte nel momento in cui si deve decidere”. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Come scegliere? Un caso semplice (e improbabile): le Strategie Dominanti (SD) Una strategia si dice dominante se fornisce i risultati migliori indipendentemente da quanto fanno gli altri giocatori! Ex: B è una strategia dominante per 1 nel DP (e D è una SD per 2 nello stesso gioco, che è simmetrico). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Ne segue che la combinazione strate-gica (B, D) è un Equilibrio in Stra-tegie Dominanti, ed è ovviamente la soluzione del DP (ogni decisore razio-nale dovrebbe adottare la sua strategia dominante, se questa esiste (se esiste una SD per un giocatore in un certo gioco, allora questa è unica, a meno che ne esistano altre sostanzialmente coincidenti)). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Il DP ha una soluzione ovvia. Perché è così famoso? Perché illustra chiaramente la tensione tra l’interesse individuale e i risultati collettivi. Infatti (B, D) è l’unica combinazione strate-gica Pareto-inefficiente nel DP! Si tratta di una caso analogo a quello del cosiddetto “free riding”: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Ex: La costruzione della Scuola 1\2 I NI v – c/2, v – c/2 v – c, v v, v – c 0,0 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

La costruzione della Scuola v = valore individuale della Scuola c = costo di costruzione della Scuola c/2 = suddivisione del costo Regola: si costruisce se almeno uno dei giocatori si dichiara interessato alla costruzione, dividendo la spesa tra questi. Assunzione: c > v > c/2 Risultato: (NI, NI) è un equilibrio in SD ed è Pareto inefficiente! IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Strategie Dominate: un esempio 1 \ 2 S C D A 1, 1 2, 0 M 0, 0 0, 1 B 2, 1 1, 0 2, 2 (_, ) : “risposta ottima” giocatore 1; ( ,_) : “risposta ottima” giocatore 2; M è dominata IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Nel gioco precedente non ci sono strategie dominanti. Ma ci sono strategie DOMINATE. In un certo gioco, per un certo giocatore, una strategia si dice dominata se ne esiste un’altra che gli permette di ottenere risultati migliori qualunque cosa facciano gli altri giocatori. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Una strategia è una risposta ottima per un certo giocatore ad un dato comportamento degli altri giocatori se ottiene il risultato mi-gliore per il primo dato il comportamento dei secondi. Una strategia dominata non sarà mai (per nessun comportamento degli altri giocatori) una risposta ottima. Una SD è sempre (per qualunque comporta-mento degli altri giocatori) la risposta ottima. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) E’ facile vedere che nel gioco precedente M è una strategia dominata per 1. Il punto importante è che una strategia domina-ta non dovrebbe MAI essere adottata da un giocatore razionale. Dunque esse sono di fatto irrilevanti, sia per il giocatore per il quale sono disponibili, sia per gli altri giocatori, che non dovrebbero atten-dersi il loro utilizzo (questa affermazione si basa in realtà sull’assunzione che sia la forma normale del gioco che la razionalità di tutti giocatori sia di loro “conoscenza comune” secondo il linguaggio della logica formale). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Dunque le strategie dominate possono esse-re eliminate da una forma normale, così op-portunamente “semplificando” il gioco, e-ventualmente secondo una procedura itera-tiva. Ex: Se nel gioco precedente 2 è razionale, conosce i payoff, crede che anche 1 lo sia e che anche 1 conosca i payoff, allora dovreb-be dedurre che 1 non userà mai la strategia M. In tal caso il gioco diviene il seguente: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Strategie Dominate: continuazione dell’esempio 1 \ 2 S C D A 1, 1 2, 0 B 2, 1 1, 0 2, 2 C è (ora) dominata per 2. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Il processo può continuare: Dopo l’eliminazione della strategia M per il giocatore 1, la strategia C per il gioca-tore 2 diviene dominata. Se si è disposti ad assumere che il gioca-tore 1 è razionale, conosce i payoff e sa “che il giocatore 2 conosce i payoff e sa che il giocatore 1 è razionale e conosce i payoff”, allora C diviene irrilevante, e il gioco può essere di nuovo semplificato: IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Strategie Dominate: continuazione dell’esempio 1 \ 2 S D A 1, 1 B 2, 1 2, 2 A è (ora) dominata per 1; in effetti B è (ora) SD per 1 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Proseguendo ancora: Continuando ad iterare le ipotesi di conoscenza comune della razionalità reciproca e dei payoff si giunge dunque al gioco semplificato: 1 \ 2 S D B 2, 1 2, 2 nel quale (B, D) è (banalmente) un equilibrio in strategie dominanti dopo aver iterativamente eliminato le strategie dominate. Se si è disposti a considerare le strategie dominate come irrilevanti, (B, D) è anche la SOLUZIONE del gioco originario. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Le ipotesi sulla conoscenza comune della razionalità sono cruciali. Ex: 1 \ 2 S D A 1, 0 1, 1 B -100, 0 2, 1 D è SD per 2, ma voi giochereste B nei panni di 1? Bisognerebbe essere certi della razionalità di 2 e della sua conoscenza dei payoff! IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Spesso non esistono strategie domina-te: cosa fare in tal caso? Ex: 1 \ 2 S C D A 2, 1 1, 4 0, 3 M 1, 3 2, 2 1, 1 B 0, 1 0, 0 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Ogni concetto di soluzione dovrebbe avere al-meno 2 caratteristiche: 1) Ciascun giocatore “fa del suo meglio” sulla base delle sue congetture sul com-portamento degli altri (ovvero, utiliz-za una sua “risposta ottima”); 2) Le congetture di ciascun gioca-tore risultano coerenti col com-portamento degli altri giocatori. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Ogni combinazione strategica che soddisfi le precedenti proprietà è detta Equilibrio di Nash (NE). Una definizione alter-nativa è che un NE è una combinazione strategica tale che nessun giocatore possa migliorare unilateral-mente (cioè dato il comportamento degli altri) il proprio pay-off. Un’altra è che un NE è una combinazione strategica fatta di vicendevoli risposte ottime. (B, D) è un NE del gioco precedente, ed è l’unico. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Ogni NE è 1) Internalmente coerente, come “previ-sione di comportamento” dei giocatori; 2) Stabile, come indicazione di una “con-venzione comportamentale”. Comunque, l’NE non è necessariamente UNICO. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Ex: la Battaglia dei Sessi 1 \ 2 S D A 1, 2 0, 0 B 2, 1 La battaglia dei sessi illustra un gioco di coordinamento con preferenze differenziate. Non esiste una soluzione ovvia ((A, S) e (B, D) sono entrambe NE), come nel caso di molti processi di standardizzazione. In questi contesti è talora il “caso”, o forse “la storia” a rendere “saliente” (“focale”) una certa combinazione (path dependency?) IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Un caso più semplice: un gioco di PURO coordinamento: 1\2 a b c d e f 1,1 0,0 g 3,3 h 2,2 i l Tutte le combinazioni strategiche sulla diagonale maggiore sono NE. Ma (g, b) sembra il punto focale (è l’unica posizione Pareto efficiente). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Le cose possono essere molto più complesse. Ex: la Caccia al Cervo 1 \ 2 S D A 9, 9 1, 7 B 7, 1 6, 6 (A, S) e (B, D) sono NE. (A, S) è Pareto efficiente e Pareto domina (B, D). Giochereste A (o S)? IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Precisazioni: 1) Ogni Equilibrio in SD è anche un NE (si verifichi tale proprietà sui giochi considerati in precedenza). 2) Una strategia dominata non sarà mai parte di un NE. 3) Nonostante alcuni aspetti problematici so-pra menzionati, faremo sempre riferimento al NE. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Giochi Sequenziali in Forma Estesa Nei giochi simultanei ciascun giocatore decide senza conoscere le scelte degli altri. In altri contesti, le scelte sono sequenziali, nel senso che i giocatori possono decidere in funzione delle scelte effettuate in precedenza dagli altri (se ne sono informati). Per illustrare questo tipo di giochi si può far ricor-so all’Albero delle Decisioni, ovvero alla cosid-detta Forma Estesa del gioco. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Ex 1: un gioco di “entrata” sul mercato “Nodi decisionali” e r nr 1 = -10 2 = -10 1 ne 2 1 = 10 2 = 20 1 = 0 2 = 50 Payoffs Albero delle decisioni Mosse di 1 Mosse di 2 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Nell’esempio, le decisioni di 2 (impresa incum-bent) posso essere viste come funzioni delle deci-sioni di 1 (impresa “entrante”). Si noti che in un gioco in forma estesa, le strategie sono piani d’azione completi (“contingenti”). Coin-cidono con le mosse solo se i giocatori scelgono una volta sola (come nell’esempio del gioco di entrata). Ci sono due NE = {(e, nr), (ne, r)}, come può facil-mente essere verificato (per esempio usando la for-ma normale corrispondente, nella quale i giocatori scelgono simultaneamente le strategie). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

La forma normale del gioco d’entrata: 1 \ 2 r nr e -10, -10 10, 20 ne 0, 50 Si noti che, nell’esempio, le strategie di 2 non producono effetti se 1 non entra. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Tuttavia l’NE (ne, r) appare insoddisfacente: In effetti, la “mossa” r da parte del gioca-tore 2 non è credibile, in quanto non sareb-be conveniente metterla davvero in pratica. Si dice in gergo che la mossa r è basata su di una minaccia non credibile (r dopo e). Un modo per vederlo è risolvere a ritroso il gioco (backward induction), sfruttando la forma estesa del gioco. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Dopo aver osservato la mossa e da parte di 1: La mossa ottimale di 2 è chiaramente nr. Ne segue che il gioco potrebbe essere “ri-solto a ritroso” riducendolo a: e 1 ne 1 = 10 2 = 20 1 = 0 2 = 50 Payoffs “di continuazione” Dunque l’unica soluzione ragione-vole, ottenuta collezionando le mosse ottimali, è (e, nr)! IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Ex 2: la Battaglia dei Sessi (statica) 1, 2 2 D 0, 0 2, 1 1 A B Insieme Informativo (II)   Il gioco è “simultaneo” nel senso che il giocatore 2 non può distinguere tra i nodi decisionali  e  che appartengono al medesimo II, poiché non sa cosa ha scelto 1 . Come sappiamo, NE = {(A, S), (B, D)}. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Ex 3: la Battaglia dei Sessi dinamica 1, 2 2 D 0, 0 2, 1 1 A B   Gli II coincidono coi singoli nodi decisionali In questo caso il giocatore 2 quando sceglie sa esat-tamente cosa ha scelto il giocatore 1 (può distinguere tra  e  ). Si noti che perciò dispone di 4 strategie alternative: [S; S], [S; D], [D; S] e [D; D]. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Le strategie, in quanto piani contingenti alle informazioni disponibili ai decisori: Sono combinazioni di mosse, una per ciascun insieme informativo al quale un giocatore è chiamato a compiere una scelta. Possono dunque essere indicate semplicemente tramite l’elenco delle mosse suddette. Si noti inoltre che ogni nodo decisionale corrisponde ad una precisa sequenza di azioni scelte dai giocatori in precedenza. Ancorare le strategie agli insiemi in-formativi è dunque un modo naturale di condizionar-le alle informazioni a disposizione dei giocatori (quando devono scegliere). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

La forma normale della battaglia dei sessi dinamica: 1\2 S;S S;D D;S D;D A 1,2 0,0 B 2,1 Ci sono dunque 3 NE = {(A, [S; S]), (B, [S; D]), (B, [D;D])}. Ma l’unico sensato è naturalmente (B, [S; D]), nel quale il giocatore 2 “segue” 1, come si può vedere usando l’induzione a ritroso sulla forma estesa. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) In generale, è sempre possibile risolvere a ritroso un gioco in forma estesa. Tuttavia, talora a una prima mossa seguono uno o più veri e propri “sottogiochi”. In tal caso risolve-re “per induzione a ritroso” significa trovare prima l’NE del sottogioco rilevante, e poi risalire. Gli NE così determinati (un sottoinsieme di quelli che si potrebbero identificare usando la forma nor-male) si dicono “perfetti rispetto ai sottogiochi” (SPNE), e sono esemplificati da (e, nr) nel gioco d’entrata e da (B, [S; D]) nella battaglia dei sessi dinamica. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Il risultato del gioco d’entrata suggerisce che la capacità di impegnarsi credibilmente (to commit) ad un certo comportamento possa avere un cruciale valore strategico. Supponiamo che il giocatore 2 possa predeterminare per sé stesso un costo se non dovesse decidere di rea-gire nel caso di entrata del concorrente. Possiamo pensare per semplicità ad un impegno contrattuale (diciamo dal notaio). Sembra folle? È come bruciarsi i ponti alle spalle nella tattica militare … IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) nr 1 = -10 2 = -10 1 ne 2 1 = 10 2 = -20 1 = 0 2 = 50 2 = 20 i ni Supponendo che la penale sia – 40: Le mosse ottimali di 2 sono rispettivamente r e nr nel sot-togioco di sinistra e in quello di destra. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

1 = 0 2 = 50 e 1 = -10 2 = -10 1 ne 1 = 10 2 = 20 2 i ni Risolvendo a ritroso Payoffs di continuazione Le mosse ottimali di 1 sono rispettivamente ne e e nel sottogioco di sinistra e in quello di destra. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Dunque: 1 = 0 2 = 50 1 = 10 2 = 20 2 i ni Payoffs di continuazione Naturalmente, conviene (e molto) al giocatore 2 scegliere la mossa i (ottiene un payoff di 50 inve-ce che di 20!). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) 2 Mosse ottimali in linea continua: ni i 1 1 e ne e ne 1 = 0 2 = 50 2 1 = 0 2 = 50 2 r nr r nr 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = -20 1 = -10 2 = -10 1 = 10 2 = 20 IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Tirando le somme: Ne segue che l’SPNE di questo gioco è: ([ne; e], [i; r; nr]). Si noti che il giocatore 1 dispone di 4 stra-tegie (ogni combinazione delle mosse e/ne nei due sottogiochi) e il giocatore 2 di 8 strategie (ogni combinazione delle mosse i/ni e r/nr). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) (ne; e) è, per esempio, la strategia del giocatore 1 secondo la quale egli non entra se ha visto il gio-catore 1 impegnarsi (ovvero nel sottogioco di sini-stra) e invece entra in caso contrario (ovvero nel sottogioco di destra). Analogamente, (i; r; nr) è la strategia che detta al giocatore due di impegnarsi e reagire nel caso di entrata, e di non reagire nel caso in cui non si fos-se impegnato e vi fosse stata entrata (che il com-portamento debba essere definito anche in tale contesto controfattuale è parte della definizione di strategia come piano completo d’azione ed è ne-cessario per l’analisi giochistica). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) E’ facile verificare sulla forma normale che vi sono molti NE nel gioco in esame. Ma, come abbiamo visto, uno solo risulta “credibi-le” (perfetto rispetto ai sottogochi). Si tratta di un risultato “tipico”: la possibilità di utilizzare la forma estesa permette di ridurre un’immotivata molteplicità di risultati possibili (questo non sempre risolve il problema della mol-teplicità degli equilibri: per esempio, nella Batta-glia dei sessi “statica”, entrambi i NE sono tecni-camente SPNE poiché non ci sono di fatto veri e propri sottogiochi). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

La corrispondente forma normale: 1\2 i;r;r i;r;nr i;nr;r i;nr;nr ni;r;r ni;r;nr ni; nr;r ni;nr;nr e;e -10, -10 10, -20 -10, -10 10, 20 e; ne 0, 50 ne;e ne; ne IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Cosa non va negli altri NE? Almeno una delle strategie che lo compongono non prevede (almeno in un caso) una mossa ot-timale nel caso dovesse essere effettivamente ope-rata. In questo senso non risulta “credibile”, non do-vrebbe pertanto essere creduta, non passa l’ap-plicazione dell’induzione a ritroso e non può es-sere parte di un equilibrio perfetto. Si noti che, nondimeno, soddisfano la definizione di NE (le mosse subottimali hanno luogo fuori dal “sentiero di equilibrio” del gioco). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Si noti che, modellisticamente, la capacità di impe-gnarsi credibilmente può essere rappresentata da una scelta (irreversibile) operata in anticipo e osservata dagli altri giocatori. Ex: e 1 = -10 2 = -10 1 ne 1 = 0 2 = 50 1 = 10 2 = 20 2 r nr IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Il SPNE è ([ne; e], r), sostanzialmente equivalente al precedente. 1 = -10 2 = -10 1 ne 1 = 0 2 = 50 1 = 10 2 = 20 2 r nr IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Si noti che il valore della capacità di impegnarsi sorge proprio poiché ci si impegna a qualcosa che non sareb-be altrimenti conveniente, cambiando così le aspetta-tive degli altri giocatori. Ex: 1 \ 2 S D A 0, 1 3, 2 B 1, 3 5, 1 B è SD per 1 (nel gioco in scelte simultanee), e l’NE è (B, S). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Tuttavia, se 1 potesse scegliere a quale comportamen-to impegnarsi credibilmente opterebbe per A, poiché l’esito sarebbe allora (A, D), per lui più vantaggioso! La situazione corrisponderebbe a: S 0, 1 2 D 3, 2 1, 3 5, 1 1 A B il cui SPNE è (A, [D; S]). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

NE = {(A, [D; S]), (B, [S; S])}. Si noti che nella forma normale di quest’ultimo gio-co (nel quale 1 può “impegnarsi”) il giocatore 2 ha 4 strategie e la strategia A non è dominata per 1. 1\2 S;S S;D D;S D;D A 0,1 3,2 B 1,3 5,1 NE = {(A, [D; S]), (B, [S; S])}. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Giochi a più stadi La sequenza delle azioni gioca un ruolo importan-te nei giochi a più stadi. L’idea è che scelte operate in uno stadio preceden-te, se successivamente osservate, influenzano le scelte successive e debbano perciò essere effet-tuate strategicamente. Per esempio, scelte di lungo periodo, come quelle relative alla capacità produttiva, influenzano le successive scelte di breve periodo relative a prezzi e quantità. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

La rappresentazione modellistica utilizza in questi casi delle forme cosiddette “semiestese” Forma normale I: lungo periodo Forma normale II: Breve periodo Il punto essenziale è che i payoff dei giocatori dipendono sia dalle scelte di breve (adeguabili più rapidamente) che dalle scelte di lungo (più lente da modificare), e che quelle di breve possono essere condizionate a quelle di lungo, che dunque vanno effettuate strategicamente. Esempi di scelte di lungo periodo sono ad esempio quel-le relative alla capacità produttiva, alla differenziazione di prodotto e all’entrata su di un mercato. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Giochi Ripetuti In un gioco effettivamente dinamico è possibile effettuare (e subire) ritorsioni/retribuzioni per il comportamento tenuto in passato (se osservato). Si tratta di un elemento strategico fondamentale che non può essere adeguatamente modellato in un gioco statico (one shot). Questo fenomeno è invece modellabile immagi-nando che una certa forma normale “one shot” (cosiddetto gioco costitutivo) si ripeta una o più volte. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Per esempio, si consideri la seguente lieve modifica di un DP: 1 \ 2 S C D A 5, 5 3, 6 0, 0 M 6, 3 4, 4 B 1, 1 NE = {(M, C), (B, D)} (M, C) Pareto domina (B, D) (entrambe sono Pareto inefficienti) IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Si supponga ora che tale gioco sia ripetuto 1 volta (cioè giocato due volte), assumendo che il payoff finale sia la somma dei payoff di ciascuna “partita”, e che i risultati della prima partita divengano noti prima della seconda. Si noti che nel gioco ripetuto ciascun giocatore dispone di 3 x 39 = 310 = 59049 strategie! Si possono infatti combinare le tre mosse disponi-bili nel gioco durante la prima partita con le tre mosse disponibili nella ripetizione condizionabili a ciascuno delle 9 combinazioni strategiche che pos-so aver avuto luogo nella prima partita (si tratta del numero delle disposizioni con ripetizione di lunghezza 10 possibili per 3 oggetti). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

Nel gran numero di comportamenti possibili, c’è spazio per strategie: 1) stazionarie (o indipendenti dalla “sto-ria”), tipo ‘scegli due volte M’, oppure ‘scegli la prima volta M e la seconda volta B’ per il giocatore 1; 2) dipendenti dalla storia, tipo ‘scegli S e poi la risposta ottima (nel gioco costitutivo) a quello che ha scelto nella prima partita il giocatore 1’ per il giocatore 2. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) C’è dunque spazio per strategie che incorporino una reazione ai comportamenti passati degli altri giocatori Si noti che: 1) La ripetizione “stazionaria” di mosse che costituiscono un NE nel gioco costitutivo è un NE anche del gioco ripetuto. Ex: (s1): gioca due volte M; (s2): gioca due volte C; (s1, s2) è un NE. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Ci sono risultati di equilibrio nel gioco ripetuto che non sarebbero stati possibili nel gioco costitutivo: 2) si considerino le seguenti strategie, che incorpo-rano una certa idea di “ritorsione” in caso di devia-zioni da un comportamento “collaborativo”: s1: gioca A; poi gioca M se nella prima partita si è realizzata la combinazione strategica (A, S), altrimenti gioca B; s2: gioca S; poi gioca C se nella prima partita si è realizzata la combinazione strategica (A, S), altrimenti gioca D. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

(s1, s2) costituiscono un NE (in effetti, un SPNE) del gioco ripetuto! Per capire perché, si consideri che per la seconda partita, qualunque cosa sia successo nella prima, le strategie indicano di giocare un NE del gioco co-stitutivo (o (A, S) oppure (B, D)). Dunque non sa-rebbe unilateralmente possibile fare meglio (e tale comportamento risulta credibile). Nella prima partita, seguendo la strategia indicata i giocatori ottengono un payoff complessivo di 9. Utilizzando qualunque altro comportamento i giocatori non potrebbero ottenere più di 6 + 1 = 7. IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Risulta dunque possibile “sfuggire” (nella pri-ma partita) al risultato di inefficienza del DP “statico”! L’intuizione è che la minaccia di una ritor-sione nella seconda partita (B invece di M, oppure D invece di C) sostiene un comporta-mento “cooperativo” nella prima. Il punto fondamentale è che il vantaggio di un comportamento opportunistico nella prima partita (6 – 5) sarebbe più che compensato dalla punizione ricevuta nella seconda (1- 4). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)

IO: IV Lezione (P. Bertoletti) Utilizzando un comportamento strategico che incorpori future “punizioni” e/o “ricompense”: Si può mostrare che risulta credibile anche per giocatori autointeressati (“egoisti”) astenersi (per un po’: c’è il problema dell’ultimo perio-do) da comportamenti opportunistici. In effetti simili spiegazioni sono alla base della teoria del funzionamento dei cartelli e in gene-rale dei meccanismi di collusione tra imprese (capitolo 8). IO: IV Lezione (P. Bertoletti)