Analisi di covarianza L'analisi di covarianza è un'analisi a metà strada tra l'analisi di varianza e l'analisi di regressione. Nell'analisi di covarianza abbiamo oltre alla variabile dipendente anche un'altra variabile detta covariata. Quando si deve usare l'analisi di covarianza? L'analisi di covarianza conviene in quei casi in cui oltre alla variabile dipendente è possibile individuare un'altra variabile almeno, che è correlata con la variabile dipendente. Se esiste una forte correlazione tra la var. dipendente e la covariata, allora è possibile estrarre dalla varianza d'errore la quota di varianza dovuta alla covariata. L'analisi di covarianza, perciò, ha una potenza del test maggiore dell'analisi di varianza.

Esempio: Alcuni ricercatori sono interessati a stabilire se due metodi d'ipnosi, detti metodo A e metodo B, hanno la stessa efficacia nell'indurre lo stato ipnotico nelle persone. A tal scopo, è stato creato un gruppo di 20 soggetti, metà dei quali assegnati casualmente al gruppo sottoposto al metodo A e l'altra metà al gruppo B. L'induzione ipnotica è misurata con una scala quantitativa da 1 a 50 (maggiore è il punteggio, maggiore è l'induzione). I ricercatori, però, sanno che l'efficacia dell'induzione ipnotica dipende da quanto ognuno di noi è suscettibile all'ipnosi. Per cui sottopongono tutti i soggetti dell'esperimento ad un test sulla suscettibilità all'ipnosi. Maggiore è il punteggio al test, maggiore è la suscettibilità all'ipnosi.

Tabella dei dati dell'esperimento: Se analizziamo i dati con un semplice test sull'analisi di varianza Il cui modello é: y = m + a + e Ricaviamo che: F1,18 = 0,164 – p = 0,69 Cioè non esiste alcuna differenza significativa tra i gruppi. Ma è veramente così?

Dall'analisi di covarianza emerge un quadro diverso. Il modello per l'analisi di covarianza è: y = m + a + c + e trattamento covariata Dal modello di covarianza si osserva che viene ridotta la varianza d'errore, in quanto è possibile estrarre anche la quota di varianza della covariata.

SUGGEST: suggestione all'ipnosi (var. indipendente) IPNOSI: induzione all'ipnosi (var. dipendente) Il modello spiega il 64,5% di varianza di IPNOSI

Analisi di covarianza: Analisi di varianza: 540,18 + 122,32 = 662,5

Nel caso di più covariate (k covariate o trattamenti) è necessario che:b1 = b2 = ... = bk per assumere l'omogeneità di regressione tra la variabile dipendente e la covariata, ossia è necessario che le pendenze delle rette siano uguali per ciascun trattamento. Ciò significa che deve esserci indipendenza tra la variabile indipendente e la covariata (interazione nulla) perchè il modello di regressione rimanga invariato da trattamento a trattamento. b1 = b2 In caso contrario, diventa difficile l'analisi della covarianza per i diversi trattamenti.

Y Nel caso dell'esperimento sull'ipnosi, si osserva l'indipendenza della covariata dal trattamento (metodo A e B). Metodo A t-test per la differenza tra coefficienti di regressione: Metodo B X YA = 16.423 + 0,975 XA YB = 15.109 + 0,722 XB Errori standard della stima Varianze dei predittori

Metodo A Metodo B tcrit = 2,262; p = 0,0598, per cui il t calcolato non è significativo. Quindi non c'è differenza tra le pendenze delle rette.