La Programmazione Lineare Un Esempio

Il Problema Economia delle Supply Chain Il caseificio “Fior di Latte” produce due tipi di formaggio: i formaggi A e B. L’azienda casearia deve decidere quante tonnellate produrre di ciascun tipo di formaggio. L’azienda trasforma esclusivamente il latte proveniente da alcune stalle della zona che possono garantire ogni anno 2880 tonnellate di latte. Da un punto di vista della trasformazione, i due formaggi si differenziano per la quantità di latte e per il lavoro necessari alla produzione di un’unità di prodotto trasformato. Infatti per produrre 1 tonn. di formaggio A sono necessari 12 tonn. di latte e 9 ore di lavoro; mentre, per produrre 1 tonn. di formaggio B servono 16 tonn. di latte e 6 ore di lavoro. Il caseificio ha una capacità massima di 200 tonnellate di formaggio. Le ore di lavoro disponibili sono 1566. Il profitto che può ricevere il caseificio dalla vendita del formaggio è pari a 350 euro per il formaggio A e 300 euro per il formaggio B. La domanda è: quanto formaggio A e B deve produrre il caseificio per poter ottenere il massimo profitto?

Economia delle Supply Chain I problemi di scelta In qualsiasi contesto economico dove le risorse da utilizzare sono disponibili in quantità limitata, si pone un problema di scelta della quantità e combinazioni di fattori da impiegare per ottenere il migliore risultato possibile. Ad esempio, l’attività imprenditoriale ha come motivazione principale la continuità della propria impresa e la remunerazione dei fattori della produzione. L’imprenditore compie la sua attività di organizzazione al fine di individuare quella combinazione di fattori in grado di fornire il profitto più elevato. Nel campo della logistica dei trasporti, l’obiettivo è trovare la strada più breve per raggiungere un certo luogo o il sistema di trasporto delle merci che riesca a minimizzare i costi dell’impresa.

La formulazione del problema Economia delle Supply Chain La formulazione del problema Per risolvere ogni tipo di problema di programmazione lineare, prima di tutto bisogna cercare di formularlo in termini algebrici seguendo queste regole: Comprendere il problema; Identificare le variabili di decisione; Individuare la funzione obiettivo come combinazione lineare delle variabili decisionali; Formulare i vincoli del problema come combinazione lineare delle variabili di decisione.

Comprendere il problema Economia delle Supply Chain Comprendere il problema Prima di cimentarsi con la formulazione matematica di ogni problema è fondamentale soffermarsi sul contesto in cui dovremo sviluppare un modello di programmazione matematica e domandarci: Qual è l’obiettivo a cui dovremmo rispondere attraverso lo sviluppo di un modello di programmazione matematica? Esistono delle variabili decisionali che possono influenzare l’obiettivo? Quali sono i fattori o le risorse disponibili impiegati nel processo di trasformazione tecnico-economica? Quali sono i tempi richiesti per dare un supporto al processo decisionale? E’ realmente necessario sviluppare un modello di programmazione matematica?

Identificare le variabili decisionali Economia delle Supply Chain Identificare le variabili decisionali Se abbiamo compreso i termini del problema, allora possiamo individuare le variabili decisionali, cioè quelle grandezze che attraverso l’uso delle risorse disponibili in quantità limitata determinano i risultati del problema. Le variabili sono quegli elementi del problema che devono essere calcolati in modo da ottenere il miglior risultato possibile. Solitamente le variabili di un problema di PL sono individuate dalle lettere X1, X2, X3, … , Xn Nel nostro esempio, le variabili decisionali sono implicite nella domanda finale: quante tonnellate di formaggio A e B bisogna produrre per ottenere il massimo profitto? Le variabili sono: Formaggio A X1 Variabili decisionali del problema di PL Formaggio B X2

Obiettivo= massimizzare (max) il Profitto Totale Economia delle Supply Chain La Funzione Obiettivo Dopo aver individuato le variabili decisionali del problema, bisogna formulare in termini matematici l’obiettivo che ci poniamo attraverso la costruzione e risoluzione di un problema di PL. Domanda: cosa deve essere massimizzato/minimizzato? La funzione obiettivo rappresenta in termini algebrici l’obiettivo di chi vuole ottimizzare una certa situazione attraverso un modello di PL. Nel nostro esempio la funzione obiettivo è data dalla massimizzazione del profitto totale del caseificio, vale a dire: Profitto Totale = 350 X1 + 300 X2 Obiettivo= massimizzare (max) il Profitto Totale Funzione Obiettivo = max Profitto Totale = max 350 X1 + 300 X2

Economia delle Supply Chain I Vincoli In ogni problema di scelta esistono dei limiti ai valori che possono assumere le variabili decisionali. In particolare, in ogni problema di PL bisogna tener conto dei fattori limitanti, ovvero delle risorse disponibili in quantità limitata. Inoltre, in molti problemi di scelta è necessario considerare i vincoli tecnologici, ovvero i legami esistenti tra variabili e tra le variabili e i fattori limitanti. Nel problema di PL assunto come esempio possiamo individuare 3 vincoli principali. I vincolo. La capacità del caseificio Ogni anno il caseificio può contenere sino ad un massimo di 200 tonnellate di formaggio. Quindi: X1 + X2 ≤ 200 La quantità prodotta del formaggio A sommata alla quantità del formaggio B non può superare le 200 tonnellate prodotte.

Economia delle Supply Chain I Vincoli II vincolo. Il vincolo tecnologico di disponibilità di latte Il caseificio utilizza il latte di alcuni allevatori per produrre i due tipi di formaggi, cioè: 12X1 + 16X2 ≤ 2880 Per produrre un’unità (tonnellata) di formaggio A occorrono 12 tonnellate di latte; mentre per produrre il formaggio B occorrono 16 tonnellate di latte. La quantità di latte che può entrare nel ciclo produttivo ogni anno è pari a 2880 tonnellate di latte. III vincolo. Il vincolo della disponibilità di lavoro L’ammontare massimo di ore che possono essere destinate all’attività di trasformazione costituisce un ulteriore vincolo al problema. Infatti: 9X1 + 6X2 ≤ 1566 Sono 9 le ore che devono essere destinate alla produzione di 1 t. di formaggio A e 6 quelle necessarie alla produzione del formaggio B.

Economia delle Supply Chain I Vincoli Infine, per dare coerenza alle soluzioni del problema con la realtà osservata ed evitare soluzioni inverosimili, ai problemi di PL si aggiungono i cosiddetti vincoli di non-negatività riferiti alle variabili del problema. Così nel nostro esempio sarebbe alquanto strano ottenere soluzioni con valori negativi delle variabili decisionali. Per tale ragione, il problema è integrato dai seguenti 2 vincoli: X1 ≥ 0 Vincoli di non-negatività X2 ≥ 0 I due vincoli assicurano che la risoluzione del problema restituisca valori realistici ancorché ottimi.

Economia delle Supply Chain Il Problema di PL Ora siamo in grado di poter scrivere il problema di PL in modo completo, nella formulazione algebrica seguente: F. Obiettivo Soggetto a V. Capacità caseificio V. Latte fornito V. Lavoro V. non-negatività 1 V. non-negatività 2 Attività 1 Attività 2

Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica I vincoli di un problema di PL definiscono l’insieme delle soluzioni ammissibili, cioè la regione delle soluzioni ammissibili del problema (feasible region). Il nostro compito è di determinare quale punto della regione ammissibile corrisponde al valore ottimo della funzione obiettivo. Soggetto a

Soluzione Grafica x2 x1 Rappresentiamo il primo vincolo Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Rappresentiamo il primo vincolo x2 (0,200) 200 150 100 50 (200,0) x1 50 100 150 200

Linea del limite superiore della capacità del caseificio Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Rappresentiamo il primo vincolo x2 (0,200) 200 150 Linea del limite superiore della capacità del caseificio 100 50 (200,0) x1 50 100 150 200

Linea del limite superiore della disponibilità di latte Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2 250 (0,180) 200 150 Linea del limite superiore della disponibilità di latte 100 50 (240,0) x1 50 100 150 200 250

Linea del limite superiore della disponibilità di latte Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2 250 (0,180) 200 150 Linea del limite superiore della disponibilità di latte 100 50 (240,0) x1 50 100 150 200 250

Linea del limite superiore della disponibilità di lavoro Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2 (0,261) 250 200 Linea del limite superiore della disponibilità di lavoro 150 100 50 (174,0) x1 50 100 150 200 250

Linea del limite superiore della disponibilità di lavoro Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Rappresentiamo il secondo vincolo x2 (0,261) 250 200 Linea del limite superiore della disponibilità di lavoro 150 100 Regione Ammissibile (Feasible region) 50 (174,0) x1 50 100 150 200 250

Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica La regione ammissibile rappresenta la nuvola dei punti rispetto ai quali il valore assunto dalle variabili non contrasta con i vincoli del problema. x2 250 200 Regione Ammissibile 150 100 50 x1 50 100 150 200 250

Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica La regione ammissibile offre una infinita nuvola di punti nella quale dovremo individuare la coppia di valori che producono il massimo profitto. Per tale ragione esistono un infinito numero di valori della funzione obiettivo che soddisfa i vincoli del problema. Tuttavia, solo un punto restituisce il valore massimo della funzione obiettivo. La ricerca di questo punto deve seguire il criterio di saturazione della disponibilità dei fattori, cioè è necessario individuare quella soluzione che riesca ad utilizzare pienamente le risorse scarse. Per tale ragione, la soluzione del nostro problema dovrà essere cercata nelle zone più estreme della regione ammissibile. Questi punti in PL, si trovano all’intersezione delle rette dei vincoli, vale a dire nei punti d’angolo (corner point) della regione ammissibile.

Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Procediamo per tentativi e partiamo dal seguente valore della funzione obiettivo: 350x1 + 300x2 = 35000 Graficamente: x2 250 200 Funzione obiettivo 150 (0,116.67) 100 50 (100,0) x1 50 100 150 200 250

Nuova Funzione obiettivo Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Il valore della funzione obiettivo precedente soddisfa i vincoli, ma non massimizza il risultato perché abbiamo ancora disponibilità di fattori. Proviamo ora con un valore di FO pari a 52500 euro. Graficamente: x2 250 200 (0,175) Nuova Funzione obiettivo 150 100 50 (150,0) x1 50 100 150 200 250

Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Spostando la funzione obiettivo agli estremi della regione ammissibile il risultato economico continua ad aumentare. Il punto al di là del quale non è più possibile spostare la FO corrisponde al punto di ottimo. x2 250 200 150 Soluzione ottima (122,78) 100 50 x1 50 100 150 200 250

Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Per cercare la soluzione ottimale di un problema di PL è necessario studiare i punti d’angolo e determinare per ciascun punto il valore della funzione obiettivo. Il punto che restituisce il valore della FO più alto coincide con il punto di ottimo. x2 250 (0,180) FO=54000€ 200 (80,120) FO=64000€ 150 100 (122,78) FO=66100€ 50 (174,0) FO=60900€ (0,0) FO=0€ x1 50 100 150 200 250

Economia delle Supply Chain Problema di PL Risolvere graficamente il seguente problema di Programmazione Lineare. Soggetto a

Economia delle Supply Chain Soluzione Grafica Alcuni problemi di PL possono presentare delle soluzioni ottime multiple. x2 250 (0,180) FO=54000€ 200 (80,120) FO=72000€ 150 100 (122,78) FO=78300€ 50 (174,0) FO=78300€ (0,0) FO=0€ x1 50 100 150 200 250

Economia delle Supply Chain Problema di PL Risolvere graficamente il seguente problema di Programmazione Lineare. Soggetto a

Soluzione x2 x1 Rappresentiamo il primo vincolo: Economia delle Supply Chain Soluzione Rappresentiamo il primo vincolo: x2 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 (12,0) x1 2 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20

Soluzione x2 x1 Rappresentiamo il secondo vincolo: Economia delle Supply Chain Soluzione Rappresentiamo il secondo vincolo: x2 20 18 16 14 (0,10) 12 10 8 6 4 2 x1 2 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20

Soluzione x2 x1 Rappresentiamo il terzo vincolo: Economia delle Supply Chain Soluzione Rappresentiamo il terzo vincolo: x2 20 18 16 14 (0,12) 12 10 8 6 4 2 (18,0) x1 2 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20

Economia delle Supply Chain Soluzione Calcoliamo le soluzioni d’angolo per individuare la soluzione ottima. x2 20 18 16 14 (0,10) FO=40€ (3,10) FO=49€ 12 10 8 Soluzione Ottima 6 (12,4) FO=52€ 4 (12,0) FO=36€ (0,0) FO=0€ 2 x1 2 4 5 6 8 10 12 14 16 18 20